精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一下学期入学考试数学试题 一、单选题 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在区间内取得最小值1，，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 3. 下列函数中，是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A B. C. D. 4. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. 11 C. D. 6. 已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数f（x）的定义域为I， x，yI，f（x+y）=f（x）+f（y）.设满足条件的函数f（x）作为元素组成的集合记为A，则下面命题错误的是（　　） A. 0A B. 设集合B是所有奇函数组成的集合，则A B C. f（x）A， 有f（2x）A. D. 已知f（x）A，I=R，则kN，f（k）=kf（1），f（）=f（1） 8. 若函数在其定义域内对任意的不相等的实数都有，则称这个函数为下凸函数，以下为下凸函数的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 函数的部分图象如图所示.则以下关于性质的叙述正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 是偶函数 C. 是其一条对称轴 D. 是其一个对称中心 11. 已知函数，则（ ） A. ，使得是偶函数 B. 当时，函数有5个零点 C. 当时，函数在上最大值大于，则 D. 当时，设在上的最大值为，则的最小值为 三、填空题 12. 已知函数，若在上具有单调性，则的取值范围是______． 13. 记函数的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③已知，若函数具有性质，则 其中所有正确结论的序号是______． 14 已知函数则_____． 四、解答题 15. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 16. 已知都是锐角， （1）若，求的值； （2）若，求的值． 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，.求： （1）的表达式； （2）的零点. 18. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求的值： （2）求出函数在上的解析式： （3）若与有3个交点，求实数取值范围. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值. （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. （3）是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一下学期入学考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集即可. 【详解】由题意中的条件有. 故选：C 2. 若函数在区间内取得最小值1，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合一次函数的性质可得，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】由，则在上单调递减， 故，即， 又，则， 则， 又，故等号取不到， 故的取值范围为. 故选：C. 3. 下列函数中，是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及幂函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，设，则， 故为上偶函数，而在为增函数， 故A正确； 对于B，设，则，故为上奇函数，故B错误； 对于C，在上为减函数，故C错误； 对于D，，该函数为反比例函数，为 上的奇函数， 故D错误； 故选：A. 4. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数和对数函数的单调性，借助0，1和帮助判定即可得出答案. 【详解】由题可知， 所以， ， 因为，所以， 则，所以， 所以，故，即. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握指数和对数函数的单调性，从而得解. 5. 已知，，则（ ） A. B. 11 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方和关系求出，利用商数关系求出，结合化弦为切方法即可求解． 【详解】因为，所以，故， 可得，所以． 故选：A． 6. 已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可. 【详解】在同一坐标系内，作，图象，如图， 由图象可排除AB选项， 又, ， ， 所以由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点， 所以C错误，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间. 7. 已知函数f（x）的定义域为I， x，yI，f（x+y）=f（x）+f（y）.设满足条件的函数f（x）作为元素组成的集合记为A，则下面命题错误的是（　　） A. 0A B. 设集合B是所有奇函数组成的集合，则A B C. f（x）A， 有f（2x）A. D 已知f（x）A，I=R，则kN，f（k）=kf（1），f（）=f（1） 【答案】AB 【解析】 【分析】 分别令和得出，是奇函数，再由此依次判断每个选项. 【详解】令，则，即， 令，则，即，则是奇函数， 对于A，0不是A中的元素，故A错误，符合题意； 对于B，因为集合A是奇函数作为元素组成的集合，集合B是所有奇函数组成的集合，则，故B错误，符合题意； 对于C，，，即，则是奇函数，故，故C正确，不符合题意； 对于D，已知，时，成立，假设成立，那么，所以假设成立，，故D正确，不符合题意. 故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数 的相关问题，解题的关键是取特殊值求得，并判断出是奇函数，得出集合A是奇函数构成的集合. 8. 若函数在其定义域内对任意不相等的实数都有，则称这个函数为下凸函数，以下为下凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据下凸函数的定义逐项分析即可. 【详解】对于A：， 函数图象为直线，不为下凸函数图象，故A不符合； 对于B： ， 所以，故B不符合； 对于C： ， 因为，所以，所以，故C不符合； 对于D： ， 因为，所以，所以，故D符合； 故选：D. 二、多选题 9. 关于向量，下列说法正确是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】依据向量加法的三角形法则可判断A，依据向量的概念可判断BC，依据平行向量的概念可判断D. 【详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确； 当时，，B正确； 若和无法比较大小，C错误； 当时，与可能不共线，D错误. 故选：AB. 10. 函数的部分图象如图所示.则以下关于性质的叙述正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 是偶函数 C. 是其一条对称轴 D. 是其一个对称中心 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，从而可对各选项中函数的性质的正误进行判断. 【详解】由图象可知，，设函数的最小正周期为，则，则， ，此时，，， 得，，，则，得， ，A选项正确；该函数为非奇非偶函数，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. ，使得是偶函数 B. 当时，函数有5个零点 C. 当时，函数在上最大值大于，则 D. 当时，设在上的最大值为，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，当时，为偶函数，A正确；B选项，令，解得或5，当时，或，无解，有1个解，即，当时，或，各求出两个解，B正确；C选项，考虑，和三种情况，求出或；D选项，对进行分类讨论，结合函数单调性，求出最大值，再得到的最小值为. 【详解】A选项，当时，定义域为， 且，故此时为偶函数，A正确； B选项，时，， 令，解得或5， 当时，，即或， 由对勾函数性质得， 故无解，有1个解，即， 当时，，即或， ，解得，，解得， 综上，函数有5个零点，B正确； C选项，当时，， 时，由对勾函数可得， 若，则，，故， 要使得函数在上最大值大于，则，解得， 若，则， 此时，不合要求，舍去； 当时，，故， ，令，解得， 综上，或，C错误； D选项，时，， 令， 若，则在上单调递减且恒正， 故，最大值为， 若，则为对勾函数，均在轴上方， 故在上单调递增， 在上单调递减， 当，即时，在上单调递增， 故，且， 当，即时，在上单调递减， 故，且， 若，即时，， 其中当时，，故，且， 当时，，故，且， 若，此时在上单调递减， 当时，，当时，， 当，即时，， 当，即时，， 若，解得，此时， 若，解得，此时， 当，即时，， 综上，的最小值为，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 三、填空题 12. 已知函数，若在上具有单调性，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】因为在定义域上为增函数，所以在上具有单调性则为增函数，可得从而可求解. 【详解】因为在定义域上为增函数，所以在上具有单调性则为增函数， 又因为在上单调递增，上单调递减， 所以要使在上为增函数，则，解得. 故的取值范围是. 故答案为：. 13. 记函数的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③已知，若函数具有性质，则 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用性质计算可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；利用已知条件，可得，结合不等式恒成立可求得的取值范围判断③. 【详解】对于①，设函数是定义在D上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，故①正确； 对于②，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，故对任意的，， 所以，具有性质，故②正确； 对于③，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，， 即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故③正确． 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解； （1）； （2）； （3）； （4）. 14. 已知函数则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】利用分段函数和指对数运算，按段落求值，即可. 【详解】根据函数 可得， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】(1)根据“”是“”的充分不必要条件得出真包含于可求解;(2)分类讨论结合集合的数轴表示可求的取值范围. 【小问1详解】 由题意,,即，解得， 所以. 由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于， 则 ， 解得. 【小问2详解】 当时，得，即，符合题意. 当时，得，即. 由，得或，解得或， 所以或. 【点睛】综上所述，的取值范围为. 16. 已知都是锐角， （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平方关系以及两角和差的正弦公式即可求解. （2）由平方关系以及两角和差的正切公式即可求解. 【小问1详解】 已知都是锐角，． ， . 【小问2详解】 已知都是锐角，， ，， ． 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，.求： （1）的表达式； （2）的零点. 【答案】（1）；（2）0，. 【解析】 【分析】（1）由是定义在上的奇函数，可得，且， 又由x＞0时的解析式，考虑x＜0，，转换可求得x＜0时的解析式，进而可得的表达式； （2）根据函数零点的定义，分段讨论即可求解. 【详解】解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，且， 又时，， 当时，，所以，即， 所以， 所以； （2）令，则或或， 解得或或， 所以的零点为0，. 18. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求的值： （2）求出函数在上的解析式： （3）若与有3个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求出函数值. （2）利用奇函数定义求出解析式. （3）分析函数的单调性并作出图象，数形结合求出范围. 【小问1详解】 由函数是上的奇函数，且当时，， 所以. 【小问2详解】 由函数是上的奇函数，得； 而当时，，则当时，， 因此， 所以函数在上的解析式为． 【小问3详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而，作出函数的图象，如下： 观察图象知，当且仅当时，函数的图象与直线有3个交点， 所以实数取值范围是. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值. （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. （3）是否存在实数，使得在区间上取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义由求出的值，并检验可得结果； （2）利用函数奇偶性以及单调性解不等式可得成立，再由换元法求出函数，的最大值即可； （3）结合函数单调性得出方程有两个不相等的实数根，由换元法以及指数函数值域可得方程有两个不相等的正根，由判别式以及根的符号解不等式可得结果。 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得.所以. 由，可知函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 因为，且是上的奇函数， 所以（*）. 由（1）知，， 由指数函数性质得，在上恒正且单调递增，故函数在上单调递增. 则由（*）得成立，即成立. 设，则， 所以， 所以. 设， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增， 设存在实数，使得函数在区间上的取值范围是， 则即 所以方程，即有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根. 令，则，故方程有两个不相等的正根， 结合韦达定理，可得解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $