7.2 离散型随机变量及其分布列（教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

7.2 离散型随机变量及其分布列 教学设计 1.教学内容 本节课聚焦人教A版2019选择性必修第三册7.2离散型随机变量及其分布列，先明确离散型随机变量的定义，即所有可能取值能一一列举的随机变量，区分其与连续型随机变量的差异，掌握随机变量的取值与随机事件的对应关系。接着重点讲解离散型随机变量分布列的概念、表示方法，包括表格法、解析式法，梳理分布列的两条核心性质：所有概率非负、概率之和为1，这是判断分布列合理性、求解未知参数的关键。结合古典概型、互斥事件概率等旧知，通过典型例题示范分布列的求解步骤，先确定随机变量所有可能取值，再逐一计算对应取值的概率，最后规范列出分布列并验证性质，同时渗透概率统计的数学建模与逻辑推理素养，为后续学习离散型随机变量的数字特征筑牢基础。 2.内容解析 本节课作为离散型随机变量知识体系的开篇，承接古典概型、概率运算等前置知识，是后续学习数字特征、常见分布的核心铺垫。教学从随机变量的本质入手，明确离散型随机变量“取值可一一列举”的核心特征，帮助学生建立随机事件量化的思维，完成从具体概率问题到抽象变量建模的过渡。离散型随机变量分布列是本节课核心，不仅清晰展现变量取值与对应概率的对应关系，更直观体现概率分布规律，教学中重点拆解分布列的两种表示形式，着重强调两条核心性质的应用价值，既是判断分布列正误的依据，也是求解参数、计算概率的关键工具。课堂结合实例拆解解题流程，引导学生规范完成取值确定、概率计算、列分布列、性质验证全步骤，强化知识应用能力。本节课既深化学生对概率本质的理解，又培养数学抽象、逻辑推理与数学运算素养，帮助学生构建完整的概率统计认知框架，提升解决实际概率问题的能力。 教学重点：理解离散型随机变量定义，掌握分布列概念、性质及求解步骤，能规范列出分布列并运用性质解题。 1.教学目标 （1）理解随机变量的意义． （2）掌握离散型随机变量的概念． （3）理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示． （4）掌握离散型随机变量的分布列的性质． （5）会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)． 2.目标解析 （1）本目标旨在让学生吃透随机变量的本质，建立随机事件与实数的对应关系，实现随机现象的量化表达，摒弃单纯定性分析，培养数学抽象素养，为后续离散型变量学习搭建认知桥梁，夯实概率量化研究基础。 （2）本目标聚焦离散型随机变量核心特征，要求学生精准把握“取值可一一列举”的判定标准，区分离散型与连续型随机变量的差异，结合实例辨析概念内涵，形成清晰的概念认知，提升逻辑辨析能力。 （3）本目标侧重有限值离散型随机变量分布列与两点分布，让学生理解分布列的直观表达形式，掌握表格、解析式两类表示方法，初识两点分布这一特殊模型，明晰其适用场景，搭建基础分布模型认知。 （4）本目标紧抓分布列核心性质，要求学生牢记非负性、概率和为1两大关键规则，理解性质的推导逻辑，掌握性质的验证、参数求解等应用方法，筑牢分布列解题的理论根基，规范解题判断依据。 （5）本目标落实知识应用，要求学生熟练掌握分布列求解全流程，结合古典概型等旧知计算对应概率，规范书写分布列，灵活运用两点分布解决简单实际问题，强化运算求解与数学建模素养。 学生已掌握古典概型、概率加法公式、互斥事件概率计算等基础概率知识，具备初步的逻辑推理和运算能力，能解决简单的概率求解问题，但对随机现象的量化表达、抽象概念的理解能力不足，缺乏将实际问题转化为数学模型的经验。 教学中预估困难： 一是难以理解随机变量的抽象本质，混淆变量与普通实数的区别； 二是无法准确界定离散型随机变量，区分不清取值特征； 三是对分布列性质理解不透彻，应用性质解题易出错；四是求解分布列时步骤混乱，概率计算失误。 解决方法： 结合生活实例具象化随机变量概念，通过对比辨析强化离散型特征；拆解分布列性质推导过程，搭配例题专项训练；分步示范解题流程，梳理取值、算概率、列分布列、验性质四步法。 教学难点：理解随机变量的抽象意义，准确把握离散型随机变量分布列性质，规范求解简单离散型随机变量的分布列。 1． 创设情境，引入新知 摸球抽奖小实验 —— 用数据刻画随机结果 不透明袋子里装有3 个红球、2 个白球，这些球除颜色外完全相同. 规定：从中一次性随机摸出 2 个球，包含有红球就能获得奖励，红球越多奖励越丰厚. 思考：多少种获奖可能？每一种获奖结果概率是多少？有没有不获奖的情况？ 追问：1、在这个摸球试验里，可能出现哪些结果？ 2、这些结果能不能用一个数字变量来表示？ 3、X的可能取值有哪些？取值是有限个还是无限个？ 4、X的每个取值对应什么实际意义？ 5、你最关心什么？ 教师：这就需要用到本节课要学习的知识离散型随机变量及其分布列 2． 探究新知 问题提出：求随机事件的概率时, 我们往往需要为随机试验建立样本空间 , 并会涉及样本点和随机事件的表示问题 , 类似函数在数集与数集之间建立对应关系, 如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应, 将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便, 而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 探究：有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.比如掷一枚骰子用实数m(m=1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为m”，请再一些例子？ 学生：思考和联系生活，举例说明 预设：掷两枚骰子，样本空间为，用表示“两枚骰子的点数之和”，样本点就与实数对应． 探究：有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. 随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关．如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义 那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系． 要求：请再举一些例子 学生：思考和联系生活，举例说明 预设：类似地,掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示 随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5.4.3.2.1;等等. 总结：由上述例子可以得到：对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应。 即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化. 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性。 设计意图：通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解．从而建立离散型随机变量的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养． 探究：以下随机试验样本空间是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的? 试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数； 师生：共同分析，得出结论 预设：对于试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数; 如果用0表示“元件为合格品”, 1表示“元件为次品”, 用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点, 则样本空间：Ω1={000 , 001 , 010 , 100 , 011 , 101 , 110 , 111}, 各样本点与变量X的值的对应关系如下图所示： 探究：以下随机试验样本空间是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的? 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数． 师生：共同分析，得出结论 预设：对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间Ω2＝{h, th, tth, tth, ‧‧‧}. Ω2包含无穷多个样本点. 各样本点与变量Y的值的对应关系如下图所示： 思考：以上两个随机试验，变量X，Y有哪些共同的特征？ 学生：结合刚刚的两个试验的分析过程，得出变量X，Y的共同特征. 预设：（1）每个样本点和一个实数一一对应；（2）取值依赖于样本点；（3）所有可能取值是明确的. 设计意图：让学生亲身经历了从特殊到一般，获得离散型随机变量概念的过程．发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量（random variable）． 试验1中随机变量的可能取值为0，1，2，3，共有4个值； 试验2中随机变量的可能取值为1，2，3，…，有无限个取值，但可以一一列举出来． 定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量（discrete random variable）． 通常用大写英文字母表示随机变量，例如； 用小写英文字母表示随机变量的取值，例如． 小知识：随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫（也翻译为契贝晓夫）（Chebyshev，1821-1894）在19世纪中叶建立和提倡使用的． 牛刀小试： 练1：判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( ) （2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．( ) （3）随机变量是用来表示不同试验结果的量．( ) （4）甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.( ) （5）离散型随机变量的取值是任意的实数．( ) （6）离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( ) （7）手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．( ) （8）一只大熊猫一年内的体重是离散型随机变量.( ) 预设：√ √ √ × × × × × 思考：不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，总结随机变量与函数的关系 学生：尝试着类比函数的定义，发现随机变量与函数的关系 预设：(1)相同点：样本点ω相当于函数定义域中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域。 (2)不相同点：样本空间Ω不一定是数集 要求：举一些离散型随机变量的例子 学生：尝试着列举一些离散型随机变量的例子 预设：某射击运动员射击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0，1，2，…，10； 某网页在24 h内被浏览的次数Y，它的可能取值为0，1，2，……； 牛刀小试： 练2：判断下列说法是否正确 1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（ ） 2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．（ ） 3．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（ ） 4．新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都可以用两点分布研究．（ ） 师生：师生一起审核，分析得出答案，教师重在引导，学生作答 预设：1.√，2.×，3.√，4.√ 引入：根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题. 比如：掷一枚质地均匀的骰子，表示掷出的点数，则： 事件“掷出点”可以表示为， 事件“掷出的点数不大于2”可以表示为， 事件“掷出偶数点”可以表示为， 由掷出各种点数的等可能性，事件“掷出m点”的概率均为1/6，表示为： 这一规律可以用下表表示： 设计意图：通过例题引出离散型随机变量的分布列的概念、表示方法及性质。 定义：一般地，设离散型随机变量的可能取值为，我们称取每一个值的概率 为的概率分布列（list of probabllity distribution），简称分布列． 表示：分布列的表示，与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列可以用表格表示，还可以用图形表示．如下表和下图所示： 表格 表示 离散型随机变量 图形 表示 离散型随机变量 这图称作为的概率分布图. 性质：根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质： （1）； （2）． 教师：利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率． 比如：在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为． 要求：按照以上方法，表示事件“掷出偶数点”的概率. 学生：根据老师举例中的方法，测出结论 预设： 牛刀小试： 练3：下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（     ） 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 预设：D 练4：（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（     ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 预设：ABC 3． 应用新知 例1 一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X ， 追问：本题中离散型随机变量的分布列有什么特殊性？ 设计意图：通过例题引出对两点分布的概念的理解。 学生：小组交流与讨论，尝试着得出答案. 预设：根据的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，的分布列为 ，． 表格表示的分布列如下表： 0 1 0.95 0.05 定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义 如果，则，那么的分布列如表所示． 0 1 我们称X服从两点分布（two-point distribution）或0-1分布．实际上，X为在一次试验中成功（事件A发生）的次数（0或1）． 举例：请同学们具生活中两点分布的例子 预设：像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述． 总结：两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个可能结果，且两个结果是对立的．两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0)). 小试牛刀： 练5：1．（判断）新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究.(         ) 2、分布列： 2 5 0.3 0.7 是两点分布吗？ 预设：正确，不是 例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示． 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数的分布列，以及． 学生：先独立思考，尝试着解决，遇到困难，找同桌进行交流沟通. 预设：由题意知，是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且 “不及格”，“及格”，“中等”，“良”， “优”．根据古典概型的知识，可得的分布列，如下表所示． 1 2 3 4 5 ． 例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． 学生：先独立思考，然后小组讨论，结合排列组合知识尝试得出解答过程 预设：设挑选的2台电脑中品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2．根据古典概型的知识，可得X的分布列为 ，，． 用表格表示X的分布列，如下表所示． 0 1 2 总结：求离散型随机变量分布列时的关注点 (1)关键：搞清随机变量ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用所学知识求出ξ取每一个值的概率． (2)技巧：①对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出通式，从而简化过程；②要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确. 4． 题型强化练习 类型一：由离散型随机变量分布列求概率 例题1 设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 预设：＋＋＋＝，A错误；＋＝，B错误； ，C正确；＋＝，D错误. 故选：C 总结：利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 题型二：利用离散型随机变量分布列的性质解题 例题2 （1）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 . 预设：，，解得：， . 故答案为： （2）（多选题）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 预设：对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，，则，所以D正确． 故选：ABD. 总结：离散型随机变量分布列性质的应用 (1) 利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．比如利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2) 由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 题型三：两点分布问题 例题3：已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 预设：当时，由，所以. 故选：D 题型四：求简单离散型随机变量的分布列 例题4：一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 预设：（1）部件1，2都不需要调整的概率为，则部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28； （2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， ， ， 0 1 2 3 总结：求离散型随机变量分布列的步骤 第一步：确定随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，…，n)，以及每个值表示的意义． 第二步：求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)． 第三步：按要求表示出分布列（常用表格表示）． 5． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 作业1：完成教材：第60页 练习1，2，3，4； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量及其分布列》.  7.2 离散型随机变量及其分布列 一、随机变量 定义：随机试验结果→实数的映射，记作X 二、离散型随机变量 取值可**一一列举**的随机变量 三、分布列 1. 概念：X取值xᵢ及对应概率P(X=xᵢ)=pᵢ 2. 表示：表格法、解析式法 3. 性质：① pᵢ≥0 ② Σpᵢ=1 四、两点分布 特殊分布列：仅取0、1两个值 五、解题步骤 1. 定X取值 2. 算对应概率 3. 列分布列 4. 验性质 本节课教学围绕离散型随机变量及其分布列展开，整体达成预设目标，学生基本掌握随机变量、离散型随机变量的概念，能识别分布列并运用性质进行简单判断。教学中通过生活实例引入，帮助学生理解随机变量的量化思想，降低抽象概念的理解难度，重点突出分布列的定义、性质与书写步骤，通过例题示范规范解题过程，多数学生能完成简单分布列的求解。但教学中仍存在不足，部分学生对随机变量的本质理解不深，难以将实际问题转化为随机变量；对分布列性质的应用不够灵活，在求解参数和验证合理性时容易出错；两点分布的适用场景识别不够准确。今后教学应增加概念辨析与实例对比，强化随机变量建模的训练，设计分层练习兼顾不同层次学生，加强解题步骤的规范性指导，及时反馈纠错，提升学生对分布列的理解与应用能力，进一步落实数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。 $