第九章 图形的相似章末复习 同步练习 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第九章 图形的相似章末复习 学科网（北京）股份有限公司 考点一 平行线分线段成比例 1.(常州中考)小明按照以下步骤画线段AB 的三等分点： 画法 图形 (1)以A 为 端 点 画 一 条射线： (2)用圆规在射线上依次截取 S 条等长线段 AC,CD,DE、连接BE; (3)过点C,D 分别画 BE 的平行线、交线段 AB 于点M、N、M,N 就是线段AB的三等分点. 这一画图过程体现的数学依据是 ( ) A.两直线平行，同位角相等 B.两条平行线之间的距离处处相等 C.垂直于同一条直线的两条直线平行 D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2.如图,AB∥CD∥EF,AD : DF =3 : 1,BE=12,那么CE 的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.将含有 30°的三角板 ABC 按如图所示放置，点A 在直线 DE 上，其中 ,分别过点 B,C 作直线 DE 的平行线 FG,HI,点 B 到直线 DE,HI 的距离分别为h₁,h₂,则h₁₁b₂的值为 ( ) A.1 B. C. D. 考点二 相似多边形及黄金分割 4.下列两个图形一定相似的是 ( ) A.两个菱形 B.两个正方形 C.两个矩形 D.两个梯形 5.已知线段 MN 的长为2 厘米,P 是线段MN的黄金分割点，那么较长的线段 MP 的长是 厘米. 考点三 相似三角形的判定与性质 6.(贵阳中考改编)如图,在△ABC 中,D 是AB 边上的点,∠B=∠ACD,AC : AB =1：2，则不正确的是 ( ) A. AC=2AD B.∠CAB=∠BCD C. S△BCD=3S△ADC D.△ADC 与△ACB 的周长比是1:2 7.(陕西中考)如图,DE 是△ABC 的中位线,点 F 在 DB 上,DF =2BF.连接 EF 并延长,与CB 的延长线相交于点M.若 BC=6,则线段CM 的长为 ( ) A. B.7 A. D.8 8.(2024·山东)如图,点 E 为▱ABCD 的对角线AC 上一点,AC=5,CE=1,连接 DE 并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为 ( ) A. B.3 A. D.4 9.如图，在平面直角坐标系中，点A(4，3)，点B 在 x 轴的正半轴上,且 OA=AB,将△OAB 沿x 轴向右平移得到△ECD,AB 与CE 交于点F.若CF :EF=3:1,则点 D 的坐标为 . 10.如图,点 P 是边长为2 的正方形 ABCD 的对角线BD 上的动点，过点 P 分别作 PE⊥BC 于点E,PF⊥DC 于点 F,连接 AP 并延长，交射线 BC 于点 H，交射线 DC 于点M,连接 EF 交AH 于点G,当点 P 在 BD上运动时(不包括 B，D两点)，以下结论： ①MF=MC; ②AH⊥EF; ④EF 的最小值是 其中正确的是 .(把你认为正确结论的序号都填上) 11.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点 E,过点 E 作EF∥BC,交 AC 于点 F,G 为 BC 的中点,连接FG.求证： 12.【基础巩固】 (1)如图1,在△ABC 中,D,E,F 分别为AB,AC,BC 上的点,DE∥BC,BF=CF,AF 交DE 于点G,求证:DG=EG; 【尝试应用】 (2)如图2,在(1)的条件下.连接CD. CG.若CG⊥DE. CD=6,AE=3,求 的值： 【拓展提高】 (3)如图 3,在▱ABCD 中,∠ADC=45°,AC 与 BD 交于点 O,E 为 AO 上一点,EG∥BD 交AD 于点G,EF⊥EG 交BC 于点 F.若∠EGF = 40°, FG 平分∠EFC,FG=10,求 BF 的长. 考点四 相似三角形的实际应用 13.(南充中考)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小非同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为 ( ) A.6.4m B.8 m C.9.6m D.12.5m 14.(2024·北京中学模拟)如图，小军、小珠之间的距离为4.6m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.6m ,已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.6m ，则路灯的高为 m. 15.如图是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格.数学兴趣小组测量善导塔的高度 AB，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离塔底 B 点45 m远的D 处竖立一根高1.5m 的标杆CD，小明在F 处蹲下，他的眼睛所在位置 E、标杆的顶端C 和塔顶点 A 三点在一条直线上.已知小明的眼睛到地面的距离 EF =0.8 m，DF=1 m,AB⊥BM,CD⊥BM,EF⊥BM,点 B,D,F,M 在同一直线上. 方案二：如图 2，小华拿着一把长为 22 cm的直尺CD 站在离善导塔45 m的地方(即点 E 到AB 的距离为45 m).他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔(即 A,C,E 在一条直线上,B,D,E在一条直线上)，已知点 E 到直尺CD 的距离为30cm. 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB. 考点五 位似 16.如图，正方形 ABCD 的两边BC，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形 A'B'C'D'与正方形ABCD 是以AC 的中点O'为中心的位似图形，已知 若点 A′的坐标为(1，2),则正方形 A'B'C'D'与正方形ABCD 的相似比是 ( ) A. B. C. D. 17.由12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB =∠BOC=∠COD=…=∠LOM =30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB 位似的三角形的面积为 （ ） A. B. C. D. 18.如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3,1),B(1,2),C(4,3).以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC 放大为原来的2 倍得到△A₁B₁C₁,作出△A₁B₁C₁,并写出A₁,B₁,C₁的坐标. 1. D 2. A 3. B 解析:如图,设CA 交FG 于点M. ∵∠CAB=30°,∠BAD=15°, ∴∠DAC=∠BAD+∠CAB=45°. ∵FG∥DE,∴∠CMB=∠DAC=45°, ∴三角形 BCM 为等腰直角三角形,∴CB=CM. 在 Rt△ABC 中,设BC 的长为x,则CM=BC=x. ∵HI∥FG∥DE, 4,B 5.( -1) 6. B 7. C 解析:∵DE 是△ABC 的中位线, ∴△DEF∽△BMF, 故选C. 8. B 解析:如图,延长DF 和AB,交于G点. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB,DC=AB,即DC∥AG, ∵AC=5,CE=1,∴AE=AC-CE=5-1=4, 又∵EF=DE,DC=AB, ∴△BGF∽△AGE, ∵AE=4,∴BF=3,故选B. 9.(14,0) 10.②③④ 11.证明:如图,延长AE交BC于 H. ∵CD 平分∠ACB,AE⊥CD, ∴∠ACE=∠HCE,∠AEC=∠HEC=90°. ∵∠ACE=∠HCE,CE=CE,∠AEC=∠HEC=90°, ∴△ACE≌△HCE(ASA), ∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AHC,∠AFE=∠ACH, 即AC=2AF, ∴F是AC的中点. 又∵G是BC的中点,∴FG是△ABC 的中位线, 12.(1)证明:∵DE∥BC, ∴△AGD∽△AFB,△AGE∽△AFC, ∵BF=CF,∴DG=EG. (2)解:∵DG=EG,CG⊥DE,∴CE=CD=6. ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, (3)解:如图,延长GE 交AB 于 M,连接 MF,过点 M 作MN⊥BC于N。 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴OB=OD,∠ABC=∠ADC=45°. ∵MG∥BD,同(1)可得ME=GE. ∵EF⊥EG,∴FM=FG=10. 在 Rt△GEF 中,∵∠EGF=40°, ∵FG平分∠EFC,∴∠GFC=∠EFG=50°. ∵FM=FG,EF⊥GM,∴∠MFE=∠EFG=50°, ∵∠ABC=45°,∴BN=MN=5, 13. B 解析:如图所示,由图可知AB⊥BD,CD⊥DE,CF⊥BD, ∴∠FCB=∠FCD=90°,∠ABC=∠CDE=90°. ∵根据镜面的反射性质，知∠ACF=∠ECF, ∴∠ACB=∠ECD, ∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10 m， ∴AB=1.6m,BC=2m,CD=10m,∴ = ∴DE=8m.故选 B. 14.4 解析:如图,∵CD∥AB∥MN, ∴△CDE∽△ABE,△MNF∽△ABF, 解得AB=4.即路灯的高为4m . 15.解：选择方案一： 如图1,过点E作EH⊥CD,垂足为 H,延长EH 交AB 于点G. 由题意,得EG⊥AB,EF=DH=BG=0.8 m,EH=DF=1m,EG=BF=BD+DF=45+1=46(m), ∴∠CHE=∠AGE=90°. ∵CD=1.5m,∴CH=CD-DH=1.5-0.8=0.7(m). ∵∠CEH=∠AEG,∴△CEH∽△AEG、 ∴AB=AG+BG=32.2+0. S=33(m), ∴善导塔的高度AB 为33 m. 选择方案二： 如图2,过点E 作EM⊥CD,垂足为M,延长EM 交AB 于点 N. ∵CD∥AB,∴EN⊥AB. 由题意,得CD=22 cm=0.22 m,EM=30 cm=0.3m ,EN=45 m. ∵CD∥AB,∴∠EDC=∠EBA,∠ECD=∠EAB, ∴△ECD∽△EAB,∴B=CD, 解得AB=33. ∴善导塔的高度AB 为33 m. (答案不唯一) 16. B 17. C 18.解:如图,△A₁B₁C₁即为所求. A₁(6,2),B₁(2,4),C₁(8,6). 学科网（北京）股份有限公司 $