2026年广东省东莞市中考数学自编模拟卷

广东省中考数学测试模拟重组卷 （时间：120分钟；总分：120分） 一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 27立方根是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 2024年春节，全国文旅一片繁荣，其中哈尔滨用他们的真诚火爆出圈，赢得“南方小土豆”等游客约万人次，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ） A. 传 B. 承 C. 文 D. 化 6. 某校AI编程团队参加广东省创意AI大赛，7位评委给出的分数为92，95，96，95，88，94，95.这组数据的中位数、众数分别是 (　　) A.92，94 B.95，95 C.94，95 D.95，96 7. 不等式组的解集是（ ） A. 无解 B. C. D. 8. 综合实践课上，琪琪画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在琪琪的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 9. 乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日进场停车，停了小时后离场，为整数．若阿虹离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元（ ） 停车时段 收费方式 20元小时该时段最多收100元 5元小时该时段最多收30元 若进场与离场时间不同一时段，则两时段分别计费 A. B. C. D. 10. 如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5个小题，每小题3，满分15分） 11. 计算：+2cos45°的结果为_______． 12. 若，则___________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 14. 如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为____（保留一位小数，参考数据：，） 15. 如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝_____． 三、解答题（一）（共 3 个小题，每小题 7 分，满分 21 分） 16. 解方程：． 17.如图,点A,B为⊙O上的两点,连接AO,BO,AB(∠AOB<90°) . （1）请用无刻度的直尺和圆规,过点B作OA 的平行线（保留作图痕迹,不写作法）. （2）若（1）中所作的平行线与⊙O交于点C,连接AC,则∠CAO与∠O 有怎样的数量关系?请说明理由. 18. “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆达到169人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm,窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑:槽OF上移动，AB、BO、AO构成一个三角形.当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时(如图)，窗户打开的角∠AOB的度数为37°.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8tan37°≈0.75) (1)求点A到OF的距离AD的长; (2)求窗钩AB的长度(精确到1cm) 20.某校计划邀请专家为学生开展以下六个关于人工智能应用的专题讲座：A.机器人技术，B.自动驾驶，C.智能硬件，D.自然语言处理，E.健康技术，F .金融科技.该校随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷全部回收并将结果整理成如下不完整的统计图表： “人工智能的应用”讲座问卷调查 请你在以下六个选项中选择你最感兴趣的一项，并在“☐ ”中打“√” （每个同学必选且只能选择其中一项） A.机器人技术☐ B.自动驾驶☐ C.智能硬件☐ D.自然语言处理☐ E.健康技术☐ F.金融科技☐ 请根据以上信息，完成下列问题： （1）抽取的学生人数为_____人，并补全条形统计图. （2）感兴趣人数最多的专题是___（填写字母即可），扇形统计图中，m= ___. （3）该校有1 000名学生参加此次讲座活动，且有3个多功能报告厅，每场讲座时间为90分钟.活动日程表如下，其中A和F 这2个专题讲座时间及场地已经确定，请你合理安排B，C，D，E 四场讲座，补全活动日程表（写出一种方案即可）. 21.综合与实践 主题:制作长方体包装盒。 素材:一张边长为20cm的正方形纸板.步骤1:如图(1),在正方形纸板的边AB上取点E,F,使AE=BF,以EF为斜边向上作等腰直角三角形GEF;在正方形纸板的边BC上取点P,Q,使BP=CQ=AE,以PQ为斜边向左作等腰直角三角形HPQ;分别在边CD,AD上以同样的方式操作,得到四个全等的等腰直角三角形(阴影 部分)，剪去阴影部分. 步骤2:将剩余部分沿虚线折起，点A,B,C,D恰好重合于点0处，如图(2),得到一个底面为正方形GHMN的长方体包装盒. 猜想与计算:(1)四边形GHPF的形状为_________. (2) 若该长方体包装盒的底面积为128 cm2，求四边形GHPF的面积. 五、解答题(三)（共2小题，22题13分，24题14分，共27分） 22 一副三角板分别记作△ABC和△DEF,其中∠ABC=∠DEF=90° ,∠BAC=45°,∠EDF=30°,AC=DE.作BM⊥AC于点M,EN⊥DF于点N , 如图（1）. （1）求证:BM=EN . （2）在同一平面内,将图（1）中的两个三角形按如图（2）所示的方式放置,点C与点E重合记为点C,点A与点D重合,将图（2）中的△DCF绕点C按顺时针方向旋转α 后,延长BM交直线DF于点P . ①当α=30° 时,如图（3）,求证:四边形CNPM 为正方形. ②当30°<α<60° 时,写出线段MP,DP,CD 之间的数量关系,并证明;当60°<α<120° 时,直接写出线段MP,DP,CD 之间的数量关系. 23. 综合与探究． 如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于A，C两点，点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，直线l经过B，C两点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若P为抛物线上一点，横坐标为m，过点P作PM⊥y轴于点M，交线段BC于点N，当N是线段BC的黄金分割点时，求点P到x轴的距离； （3）若将抛物线向上平移个单位长度，点D的对应点为D′，坐标轴上是否存在点Q，使∠BD′Q＝30°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中考数学测试模拟重组卷 解析 一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 27立方根是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念，熟练掌握立方根的概念是解题的关键． 直接用立方根的定义求解即可． 【详解】解：27立方根是． 故选：C． 2. 2024年春节，全国文旅一片繁荣，其中哈尔滨用他们的真诚火爆出圈，赢得“南方小土豆”等游客约万人次，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答． 【详解】解：． 故选：C 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：“被开方数是非负的”可得，进而可求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故选C． 5. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ） A. 传 B. 承 C. 文 D. 化 【答案】D 【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“红”字相对的面上的汉字是“化”． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题． 6.【答案】B 【解析】将题中数据按从小到大的顺序排列为88,92,94,95,95,95,96,位于最中间的数据是95,故中位数是95.出现次数最多的数据是95,故众数是95. 【点睛】本题考查了中位数和众数，解题关键是熟知中位数和众数得概念． 7. 不等式组的解集是（ ） A. 无解 B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组，分别求出两个不等式的解集，再找到公共部分即可． 【详解】解：解得， 解得， ∴不等式组的解集是， 故选：B． 8. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 9. 乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日进场停车，停了小时后离场，为整数．若阿虹离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元（ ） 停车时段 收费方式 20元小时 该时段最多收100元 5元小时 该时段最多收30元 若进场与离场时间不同一时段，则两时段分别计费 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由题意得阿虹停车的时间第一时段超过5小时，且第二个时段的停车时间为小时，则可求解． 【详解】解：阿虹离场时间介于当日的间， 阿虹的停车费为：元． 故选：B． 【点睛】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系． 10. 如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】证明，，，则当P与A，B重合时，最长，此时，而运动路程为0或4，从而可得答案． 【详解】解：∵正方形的边长为4，为边的中点， ∴，，， 当P与A，B重合时，最长， 此时， 运动路程为0或4， 结合函数图象可得， 故选C 【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键． 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 计算：+2cos45°的结果为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法、平方差公式、三角函数等知识点，掌握二次根式的乘法法则级特殊三角函数值成为解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若，则___________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根，还要注意二次项系数不等于0． 【详解】解：由题意得：，解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为____（保留一位小数，参考数据：，） 【答案】3.7米##3.7m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是掌握锐角三角函数定义及特殊三角函数值，根据在中，，得，计算得米，再根据在中，，即可求得的值，然后根据，计算即可得出答案． 【详解】解：在中，米，，， ， (米)， 在中，，， ， ， （米）， 故答案为：3.7米． 15. 如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝_____． 【答案】45° 【分析】以A为圆心，AB为半径作，过点A作AM⊥BD于M，分别求出∠ADC，∠ADB可得结论； 【详解】解：如图：以A为圆心，AB为半径作，过点A作AM⊥BD于M， ∵AB=AC=AD， ∴∠CAD=2∠CBD=30°， ∴∠ADC=∠ACD=75°， ∵AB=AD，AM⊥BD， ∴BM=DM， ∵BD=AB， ∴ ， ∴ ， ∴∠ABM=∠ADB=30°， ∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型； 三、解答题（共 3 个小题，每小题 7分，满分 21分） 16.解方程：． 【答案】 【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案． 【详解】解：原方程可化为． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 17.如图,点A,B为⊙O上的两点,连接AO,BO,AB(∠AOB<90°) . （1）请用无刻度的直尺和圆规,过点B作OA 的平行线（保留作图痕迹,不写作法）. （2）若（1）中所作的平行线与⊙O交于点C,连接AC,则∠CAO与∠O 有怎样的数量关系?请说明理由. 【分析】(1)根据平行线的判定，在OB的右侧作∠OBC=∠AOB，则直线BC即为所求. (2)由平行线的性质可得∠CAO=∠BCA，由圆周角定理可得吉∠O=2∠ACB，∠O=2∠CAO . 【详解】解：（1）如图（1）,BE 即为所求. 以点O为圆心 图1 （2）∠O=2∠CAO.理由如下: 如图（2）,∵OA//BC , ∴∠CAO=∠ACB . ∵∠O=2∠ACB, ∴∠O=2∠CAO. 图2 18. “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆达到169人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 【答案】进馆人次的月平均增长率为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆的人次为，第三个月进馆的人次为，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率为． 四、解答题（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19.如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm,窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑:槽OF上移动，AB、BO、AO构成一个三角形.当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时(如图)，窗户打开的角∠AOB的度数为37°.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8tan37°≈0.75) (1)求点A到OF的距离AD的长; (2)求窗钩AB的长度(精确到1cm) 【答案】(1)12cm(2)15cm 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理. (1)由锐角三角函数即可求出AD; (2)由锐角三角函数求出OD，然后利用BD=OD-OB，再利用勾股定理即可求解. 【详解】解： (1)根据题意，可知∠AOB=37°，OA=20cm，OB = 7cm, AD⊥OF 在Rt△OAD中， AD = AO×sin ∠AOD = 20 x×sin 37° ≈ 12 (cm), ∴点A到OF的距离AD的长为12cm; (2)在Rt△OAD中, OD = AO×cos ∠AOD = 20 × sin 37° ≈ 16 (cm), ∵OB=7(cm),, ∴BD=OD-OB=9 (cm), 在Rt△ABD中， AB==15 (cm),. ∴窗钩AB的长度约等于15cm. 20.某校计划邀请专家为学生开展以下六个关于人工智能应用的专题讲座：A.机器人技术，B.自动驾驶，C.智能硬件，D.自然语言处理，E.健康技术，F .金融科技.该校随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷全部回收并将结果整理成如下不完整的统计图表： “人工智能的应用”讲座问卷调查 请你在以下六个选项中选择你最感兴趣的一项，并在“☐ ”中打“√” （每个同学必选且只能选择其中一项） A.机器人技术☐ B.自动驾驶☐ C.智能硬件☐ D.自然语言处理☐ E.健康技术☐ F.金融科技☐ 请根据以上信息，完成下列问题： （1）抽取的学生人数为_____人，并补全条形统计图. （2）感兴趣人数最多的专题是___（填写字母即可），扇形统计图中，m= ___. （3）该校有1 000名学生参加此次讲座活动，且有3个多功能报告厅，每场讲座时间为90分钟.活动日程表如下，其中A和F 这2个专题讲座时间及场地已经确定，请你合理安排B，C，D，E 四场讲座，补全活动日程表（写出一种方案即可）. 【答案】（1）100 、详见条形统计图。（2）A、5 (3)见详解 【分析】(1)由A的人数及其所占百分比可得抽取的人数，由总人数和C所占的百分比求出C项的人数，用100%减去其它项的百分比可求出m的值，由扇形统计图可知选项人数最多的专题; (2)求出B、C、D、E的人数，再结合1、2、3号功能厅可容纳人数即可得出答案 【详解】(1) 30÷30%=100（人） (2) A机器人技术专题人数是30人，最多。 F金融科技专题共5人，占总人数100人的5÷100×100%=5%，∴m=5 (3) 有如下2种答案,写出其中一种即可. 答案一： 1号厅（100座） 2号厅（200座） 3号厅（300座） 8:30—10:00  设备检修,暂停使用 E  A 10:30—12:00  C 设备检修,暂停使用 B 14:00—15:30  F  设备检修,暂停使用 D 答案二： 1号厅（100座） 2号厅（200座） 3号厅（300座） 8:30—10:00  设备检修,暂停使用 E  A 10:30—12:00  C 设备检修,暂停使用 D 14:00—15:30  F  设备检修,暂停使用 B 21. 综合与实践 主题:制作长方体包装盒。 素材:一张边长为20cm的正方形纸板.步骤1:如图(1),在正方形纸板的边AB上取点E,F,使AE=BF,以EF为斜边向上作等腰直角三角形GEF;在正方形纸板的边BC上取点P,Q,使BP=CQ=AE,以PQ为斜边向左作等腰直角三角形HPQ;分别在边CD,AD上以同样的方式操作,得到四个全等的等腰直角三角形(阴影 部分)，剪去阴影部分. 步骤2:将剩余部分沿虚线折起，点A,B,C,D恰好重合于点0处，如图(2),得到一个底面为正方形GHMN的长方体包装盒. 猜想与计算:(1)四边形GHPF的形状为_________. (2) 若该长方体包装盒的底面积为128 cm2，求四边形GHPF的面积. 【答案】（1）矩形（2）32cm2 【详解】解：（1） 根据题意知正方形GHMN的面积为128 ∴GH =8. 易知四边形GHPF为矩形 （2）∵四边形GHPF为矩形 ∴FP=GH=8. 在等腰直角△BFP中,BF=FP=8， ∴EF=20 -2 x8 =4, .在等腰直角△GEF中,GF=EF=2， .矩形GHPF的面积为8x2=32(cm2). 五、解答题(三)（共2小题，22题13分，24题14分，共27分） 22. 一副三角板分别记作△ABC和△DEF,其中∠ABC=∠DEF=90° ,∠BAC=45°,∠EDF=30°,AC=DE.作BM⊥AC于点M,EN⊥DF于点N , 如图（1）. （1）求证:BM=EN . （2）在同一平面内,将图（1）中的两个三角形按如图（2）所示的方式放置,点C与点E重合记为点C,点A与点D重合,将图（2）中的△DCF绕点C按顺时针方向旋转α 后,延长BM交直线DF于点P . ①当α=30° 时,如图（3）,求证:四边形CNPM 为正方形. ②当30°<α<60° 时,写出线段MP,DP,CD 之间的数量关系,并证明;当60°<α<120° 时,直接写出线段MP,DP,CD 之间的数量关系. 【详解】（1）证明:∵∠ABC=90° ,BM⊥AC,∠BAC=45° , ∴AB=AC,BM=AB , ∴BM=AC . ∵∠EDF=30° ,EN⊥DF , ∴EN=DE . ∵AC=DE , ∴BM=EN . （2）①证明:∵∠CMP=∠CNP=90° , ∠MCN=30°+60°=90° , ∴ 四边形CNPM 为矩形. 由（1）得BM=CN . ∵ 在Rt△BCM中,∠ACB=45° , ∴BM=CM ,∴CM=CN , ∴ 四边形CNPM 是正方形（依据:一组邻边相等的矩形是正方形）. ②当30°<α<60° 时，DP+MP=CD . 证明:易证当α=60° 时，点D，P 重合， ∴ 当30°<α<60° 时，点P在线段DF 上， 当60°<α<120° 时，点P在FD 的延长线上. 如图1,连接MN . 图1 由①知CM=CN , ∴∠CMN=∠CNM . 又∵∠CMP=∠CNP=90°, ∴∠PMN=∠PNM , ∴PM=PN . 又∵DN=CD，DN=DP+PN , ∴DP+MP=CD . 当60^°<α<120° 时，MP=DP+CD . 如图2,连接CP . 图2 由①得CM=CN . ∵CP=CP,∠PMC=∠PNC=90° , ∴Rt△PMC≌Rt△PNC , ∴PM=PN , ∴DN=PN−DP=MP−DP . 又∵DN=CD , ∴MP−DP=CD，即MP=DP+CD . 23.综合与探究． 如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于A，C两点，点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，直线l经过B，C两点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若P为抛物线上一点，横坐标为m，过点P作PM⊥y轴于点M，交线段BC于点N，当N是线段BC的黄金分割点时，求点P到x轴的距离； （3）若将抛物线向上平移个单位长度，点D的对应点为D′，坐标轴上是否存在点Q，使∠BD′Q＝30°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）MP∥CO，则，进而求解； （3）当点Q在BD′的右侧时，连接BD′，过点D′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F（1，0）、E，tan∠EBD′，故∠EBD′＝30°＝∠BD′F，故点Q与点F重合时，∠BD′F＝∠BD′Q＝30°；当点Q在BD′的左侧时，设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″，求出直线D′Q′的表达式为yx，即可求解． 【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为yx2x+1； （2）∵MP∥CO， 则， ∵N是线段BC的黄金分割点， ∴或1， 即或1， 而OB＝1， 故MO或1， 即点P到x轴的距离为：或； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，点D（1，）， 则将抛物线向上平移个单位长度，点D的对应点为D′的坐标为（1，1）， ①当点Q在BD′的右侧时， 连接BD′，过点D′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F（1，0）、E， 则BE1﹣1，ED′＝1， ∴tan∠EBD′，故∠EBD′＝30°＝∠BD′F， 故点Q与点F重合时，∠BD′F＝∠BD′Q＝30°， 即点Q的坐标为（1，0）； ②当点Q在BD′的左侧时， 设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″， 则∠BD′Q′＝30°， 故∠Q′Q″O＝30°+30°＝60°， 则∠D′Q′O＝90°﹣60°＝30°， 故设直线Q′D′的表达式为yx+t，将点D′的坐标代入上式得：11+t，解得t， 故直线D′Q′的表达式为yx， 对于yx，令yx0，解得x＝﹣2，令x＝0，则y， 故点Q′、Q″的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）， 综上，点Q的坐标为（﹣2，0）或（0，）或（1，0）． 【总结】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $