专题2.3 二元一次方程组的应用（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题2.3 二元一次方程组应用 教学目标 （1）掌握列二元一次方程组解决实际问题的完整流程，牢记审、设、列、解、验、答六大核心步骤，明确每个环节的操作要点。 （2）学会从文字、图表等实际情境中提取关键数量关系，找准两个独立的等量关系，规范设出两个未知数并列出方程组。 （3）熟练求解所列二元一次方程组，能结合实际问题背景检验解的合理性，杜绝不符合题意的解，规范书写作答过程。 （4）能够解决行程、工程、利润、配套、数字、和差倍分等经典实际问题，拓展方程组的应用场 教学重难点 1.重点 （1） 会找两个等量关系 （2）会设未知数 （3）会列、会解方程组 （4）会写答句 2.难点 （1）找不准两个等量关系 （2）单位不统一 （3）看错 / 漏看条件 （4）不会把文字翻译成式子 知识点01 二元一次方程组的应用 1.二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 2.基本公式 【即学即练】 1．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？ 题型01二元一次方程组的应用-分配问题 【典例1】某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【变式1】某校七年级学生参加植树活动，若每人植4棵，则剩余20棵；若每人植5棵，则还缺10棵．问共有多少名学生？多少棵树？ 【变式2】1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【变式3】工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值． 题型02 二元一次方程组的应用-图表信息题 【典例2】为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【变式1】某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【变式2】文化乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1人—50人 51人—100人 100人以上 每人门票价格 13元 11元 9元 某校七年级甲、乙两个班共101人去乐园春游，其中甲班人数较少，不到50人，乙班人数较多，有50多人，经估算如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应该付1203元． (1)请计算两个班各有多少名学生？ (2)你认为他们如何购票比较合算？并计算比以班为单位分别购票方式可节约多少元？ 【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 0＜x≤180 a元/度 二档 180＜x≤350 b元/度 三档 x＞350 0.9元/度 (1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 题型03 二元一次方程组的应用-行程问题 【典例3】李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【变式1】甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【变式2】火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【变式3】小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 题型04 二元一次方程组的应用-工程问题 【典例4】某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【变式1】某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【变式2】玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 【变式3】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 题型05 二元一次方程组的应用-几何问题 【典例5】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 【变式1】如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【变式2】在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，． (1)求小长方形的长和宽； (2)求阴影部分图形的总面积． 【变式3】小堡在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小晧看见了，说：“我也来试一试．”结果小晧七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 题型06 二元一次方程组的应用-方案问题 【典例6】陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品．若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元． (1)甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？ (2)某班计划购买两种文创产品（两种都需购买）、恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案． 【变式1】2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【变式2】2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射．这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第六次载人飞行任务，进一步推动了中国在航天领域的技术进步和国际地位．为纪念“神舟二十一号”成功发射，学校航模社团李老师在某商店分两次购买A、B两种型号的“航天模型”，购买时，均按标价购买，两次购买“航天模型”的数量和费用如表所示． A型模型/个 B型模型/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 (1)A、B两种型号的“航天模型”标价分别为多少元； (2)元旦期间，商店举行优惠促销活动，A、B两种型号的“航天模型”同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买A、B两种型号的“航天模型”（两种型号均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 【变式3】某公司拟采购A、B两种型号办公桌椅来改善办公环境．若购买1套A型办公桌椅、3套B型办公桌椅，共需2600元；若购买3套A型办公桌椅、2套B型办公桌椅，共需3600元． (1)求A、B两种型号办公桌椅的单价； (2)该公司现计划用9600元采购A型和B型办公桌椅，两种桌椅都需购买且预算必须全部用完，请列出所有可能的购买方案． 题型07 二元一次方程组的应用-数字问题 【典例7】一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【变式1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【变式3】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 题型08 二元一次方程组的应用-年龄问题 【典例8】已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【变式1】一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 【变式2】一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【变式3】父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是_____岁． 题型09 二元一次方程组的应用-销售、利润问题 【典例9】从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【变式1】魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．某文具店购进魔方、数独棋共个，总共花费元，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该文具店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该文具店共获利多少元？ 【变式2】灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【变式3】商场销售某种商品，当按标价销售时，每件可获利元；当按标价的八五折销售时，销售8件所获利润与将标价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和标价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 题型10 二元一次方程组的应用-古代问题 【典例10】我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 【变式1】明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有一个问题，其大意为：隔着墙听到有人在分银子，不知道有多少人，有多少两银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有人，银子两，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （   ） A． B． C． D． 【变式3】明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醴厚酒醇醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醴酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮下瓶酒试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 题型11 二元一次方程组的应用-其他问题 【典例11】利用初中物理所学习的“杠杆原理”可推得：一根质量均匀分布的长木以为支撑点，点在其左侧，其挂着的重物，到的距离为；点在其右侧，其挂着的重物，到的距离为，． 已知：秤盘质量10克，秤砣质量50克，最大可称重物1000克，零刻度线与末刻度线距离为50厘米．从零刻度线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻度线，试求“”刻度线到末刻度线的距离． 【变式1】如图，把两根铁棒分别竖直地插入装有水的木桶中，发现一根露出水面的长度恰好是它的，另一根露出水面的长度恰好是它的．已知较长的铁棒比较短的铁棒长． (1)求两根铁棒的长度； (2)木桶中水的深度． 【变式2】安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个教室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． 求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． 【变式3】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________； ②若不计热损失，请求此时的值； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？ 1．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购A，B两种图书，已知采购5本A种图书和2本B种图书共需元，采购2本A种图书和5本B种图书共需元，则A种图书的单价为元，B种图书的为元，则依据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个．若要使每天生产的螺栓和螺母按配套，则分配几人生产螺栓，几人生产螺母？设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3.我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．我国民间流传这样一道数学名题： 其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多 少银？(1斤等于10两) 设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中有这样一道问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”意思是：“五只雀，六只燕，共重1斤（古代1斤=16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问每只雀、每只燕的重量各为多少？“设每只雀、燕的重量为两，两，则下面所列的方程组正确的是（   ） A．B．C． D． 6．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 7．我市某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨；若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨，现有萝卜吨，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜，根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 8．根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 9．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品，苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（1628年），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 素材整合 某工厂计划生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． (1)应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 10．毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案： 方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元； 方案二：团体票（10人及以上）每张80元． (1)小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？ (2)织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算； (3)现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由． 11．某次知识竞赛共有25道题目，评分标准如下：答对1道题得4分，答错1道题扣1分，不答记0分．小明不答的题比答错的题多2道，共得74分．那么，小明答对、答错和不答的题目各有多少道？ 12．自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二元一次方程组应用 教学目标 （1）掌握列二元一次方程组解决实际问题的完整流程，牢记审、设、列、解、验、答六大核心步骤，明确每个环节的操作要点。 （2）学会从文字、图表等实际情境中提取关键数量关系，找准两个独立的等量关系，规范设出两个未知数并列出方程组。 （3）熟练求解所列二元一次方程组，能结合实际问题背景检验解的合理性，杜绝不符合题意的解，规范书写作答过程。 （4）能够解决行程、工程、利润、配套、数字、和差倍分等经典实际问题，拓展方程组的应用场 教学重难点 1.重点 （1） 会找两个等量关系 （2）会设未知数 （3）会列、会解方程组 （4）会写答句 2.难点 （1）找不准两个等量关系 （2）单位不统一 （3）看错 / 漏看条件 （4）不会把文字翻译成式子 知识点01 二元一次方程组的应用 1.二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 2.基本公式 【即学即练】 1．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元，列出方程组即可． 【详解】解：设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，由题意： ． 2．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找准等量关系是解题的关键． 由等量关系“每人出7钱时总出钱数比物价多2钱”和“每人出6钱时物价比总出钱数多3钱”列出方程组即可． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， 由每人出7钱，会多2钱，即； 每人出6钱，又会差3钱，即． 所以可列方程组为． 故选D． 3．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【详解】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元． (2)购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元”列出二元一次方程组求解； （2）设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据获得利润为11万元列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元． 根据题意，得， 解得， 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； （2）解：设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意，得， 解得， ∴； 答：购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 题型01二元一次方程组的应用-分配问题 【典例1】某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【变式1】某校七年级学生参加植树活动，若每人植4棵，则剩余20棵；若每人植5棵，则还缺10棵．问共有多少名学生？多少棵树？ 【答案】共有30名学生，150颗树． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设有x名学生，y颗树，根据若每人植4棵，则剩余20棵；若每人植5棵，则还缺10棵列出方程组求解即可． 【详解】解：设有x名学生，y颗树， 根据题意得：， 解得， 答：共有30名学生，150颗树． 【变式2】1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好能配成方桌，由题意：已知木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有的木料，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成张方桌， 由题意得， 解得， ． 答：应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌． 【变式3】工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值． 【答案】(1)做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒 (2)竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3 【分析】（1）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）由（1）结合题意可得：，解比例即可求解． 【详解】（1）解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张， 由题意可得：，解得： 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）由题意可得：， 解得：x＝3y， ∴x：y＝3， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解，理解题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键． 题型02 二元一次方程组的应用-图表信息题 【典例2】为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 【变式1】某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 【变式2】文化乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1人—50人 51人—100人 100人以上 每人门票价格 13元 11元 9元 某校七年级甲、乙两个班共101人去乐园春游，其中甲班人数较少，不到50人，乙班人数较多，有50多人，经估算如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应该付1203元． (1)请计算两个班各有多少名学生？ (2)你认为他们如何购票比较合算？并计算比以班为单位分别购票方式可节约多少元？ 【答案】(1)甲班有46人，乙班有55人 (2)两个班合购比较合算，可节约294元 【分析】（1）根据已知条件，联立方程组求解即可； （2）根据已知条件，可知100人以上单价最低，求出此时的购票花费，做差可求出节约的金额． 【详解】（1）设甲班有x人，乙班有y人，由题干可知， 解得， ， 即甲班有46人，乙班有55人； （2）∵46+55=101＞100， ∴两个班合购比较合算， 两班合购需要花费为：101×9=909（元）， 1203﹣909=294（元）， 即两个班合购比较划算，可节约294元 【点睛】本题考查方程组知识，根据已知条件联立方程组求解为关键． 【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 0＜x≤180 a元/度 二档 180＜x≤350 b元/度 三档 x＞350 0.9元/度 (1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为0.6，b的值为0.7 (2)415度 【分析】(1)根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可； (2)根据题意先判断出小明家所用的电所在的档，再设小明家家7月份用电量为x度，根据价格表列出等式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：依题意得：，       解得：． 故a的值为0.6，b的值为0.7． （2）解：若一个月用电量为350度，电费为180×0.6＋(350﹣180)×0.7=227（元）， ∵285.5＞227， ∴小明家7月份用电量超过350度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：180×0.6＋(350﹣180)×0.7＋(x﹣350)×0.9=285.5， 解得：x=415． 答：小明家7月份的用电量为415度． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 题型03 二元一次方程组的应用-行程问题 【典例3】李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 【变式1】甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可； （2）添加甲的速度比乙快，求两人的速度，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，整理，得； （2）解：增加条件：甲的速度比乙快，即， 则，解得； 答：甲，乙两人的速度分别为和． 【变式2】火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【答案】火车长，隧道长 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设火车长，隧道长，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设火车长，隧道长 根据题意，得 解得： 答：火车长，隧道长． 【变式3】小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【答案】上坡用1分钟，下坡用9分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟，根据小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟， 4.8千米/时米/分，12千米/时米/分， 由题意得，， 解得． 答：上坡用1分钟，下坡用9分钟． 题型04 二元一次方程组的应用-工程问题 【典例4】某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【答案】天中有天不下雨，有天下雨 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组； 根据天共修建了可列方程组求解即可． 【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨， 根据题意，得 解得， 答：这天中有天不下雨，有天下雨． 【变式1】某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 【变式2】玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 【答案】(1)时间上考虑选择甲公司 (2)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （2）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 【变式3】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 题型05 二元一次方程组的应用-几何问题 【典例5】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 【答案】每个小长方形的周长，大长方形的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，根据题意以及图形中长方形的长相等建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形纸片的宽为厘米，长为厘米，根据题意得：， 则每个小长方形的周长厘米 根据大长方形的长相等则和组成方程组， 解得， 所以大长方形的面积为 【变式1】如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，读懂题意，由等量关系列出方程是解决问题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图形中长宽建立方程组求解即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意可得， 解得， 答：小长方形的长为，宽为． 【变式2】在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，． (1)求小长方形的长和宽； (2)求阴影部分图形的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组解答即可； （2）根据题意，阴影部分图形的总面积为，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， 故小长方形的长为，宽为． （2）根据题意，阴影部分图形的总面积为． 【变式3】小堡在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小晧看见了，说：“我也来试一试．”结果小晧七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由题意得：， 解得：， 小正方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 题型06 二元一次方程组的应用-方案问题 【典例6】陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品．若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元． (1)甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？ (2)某班计划购买两种文创产品（两种都需购买）、恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案． 【答案】(1)甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； (2)该班共有2种购进这两种文创产品的方案：①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件；②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【分析】（1）设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元，根据购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件，根据该班决定花330元购进这两种文创产品，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； （2）解：设该班购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件， 由题意得：， 整理得， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该班共有2种购进这两种文创产品的方案： ①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件； ②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【变式1】2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件，1辆大货车一次满载运输400件 (2)够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，列出方程，然后根据、均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品． （2）解：该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得： 又 ，均为正整数， 当，；当，； 或 共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 【变式2】2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射．这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第六次载人飞行任务，进一步推动了中国在航天领域的技术进步和国际地位．为纪念“神舟二十一号”成功发射，学校航模社团李老师在某商店分两次购买A、B两种型号的“航天模型”，购买时，均按标价购买，两次购买“航天模型”的数量和费用如表所示． A型模型/个 B型模型/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 (1)A、B两种型号的“航天模型”标价分别为多少元； (2)元旦期间，商店举行优惠促销活动，A、B两种型号的“航天模型”同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买A、B两种型号的“航天模型”（两种型号均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型标价80元，B型标价100元； (2)有三种购买方案：购买15个A型和4个B型，或购买10个A型和8个B型，或购买5个A型和12个B型． 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，理解题意并正确列方程（组）是解题关键． （1）设A型标价元，B型标价元，根据两次购买“航天模型”的数量和费用列二元一次方程组求解即可； （2）设购买个A型和个B型，根据促销活动六折出售以及费用列二元一次方程，取整数值即可得解． 【详解】（1）解：设A型标价元，B型标价元， 则， 解得：， 答：A型标价80元，B型标价100元； （2）解：设购买个A型和个B型， 则， 整理得：， 、均为正整数， 、的可能取值为或或， 有三种购买方案：购买15个A型和4个B型，或购买10个A型和8个B型，或购买5个A型和12个B型． 【变式3】某公司拟采购A、B两种型号办公桌椅来改善办公环境．若购买1套A型办公桌椅、3套B型办公桌椅，共需2600元；若购买3套A型办公桌椅、2套B型办公桌椅，共需3600元． (1)求A、B两种型号办公桌椅的单价； (2)该公司现计划用9600元采购A型和B型办公桌椅，两种桌椅都需购买且预算必须全部用完，请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型办公桌椅的单价为800元，B型办公桌椅的单价为600元 (2)共有三种采购方案：①A型办公桌椅9套，B型办公桌椅4套；②A型办公桌椅6套，B型办公桌椅8套；③A型办公桌椅3套，B型办公桌椅12套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设A型办公桌椅的单价为x元，B型办公桌椅的单价为元，根据题意列二元一次方程即可解答； （2）设购买A型办公桌椅a套，B型办公桌椅b套，可得，再根据为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：设A型办公桌椅的单价为x元，B型办公桌椅的单价为元， 得： 解得：． ∴A型办公桌椅的单价为800元，B型办公桌椅的单价为600元； （2）解：设购买A型办公桌椅a套，B型办公桌椅b套，得：， ∵a，b为正整数， ∴此方程的解为，，， ∴共有三种采购方案： ①A型办公桌椅9套，B型办公桌椅4套； ②A型办公桌椅6套，B型办公桌椅8套； ③A型办公桌椅3套，B型办公桌椅12套． 题型07 二元一次方程组的应用-数字问题 【典例7】一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 【变式1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【答案】49 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程组是解题的关键． 设原来的两位数的个位数字为，十位数字为，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意，得，解得． 所以，原来的两位数为． 【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【答案】72 【分析】设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则根据“得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9”列出方程组，通过解方程组来求原来的两位数．本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 【详解】解：设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则 ， 解得，， ∴原来的两位数是72． 【变式3】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 题型08 二元一次方程组的应用-年龄问题 【典例8】已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键． 【变式1】一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 【答案】老师今年24岁，学生今年12岁． 【分析】设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y，不论怎么样变化年龄差是不会变的，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y， 解得：， 答：老师现在的年龄是24，学生现在的年龄是12． 【点睛】本题二元一次方程组的应用，考查学生的理解题意能力，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 【变式2】一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 【变式3】父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是_____岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 题型09 二元一次方程组的应用-销售、利润问题 【典例9】从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【答案】(1)打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； (2)打折后购买比不打折节省3700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元，根据题意得：，求解即可得出答案； （2）分别算出每种商品节省的钱，再相加得到总节省金额． 【详解】（1）解：设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元， 根据题意得：， 解得 答：打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； （2）解：跳绳每根节省：元，100 根共省：元 手球每个节省：元，40 个共省： 元 总计节省： 元 答：共节省 3700 元． 【变式1】魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．某文具店购进魔方、数独棋共个，总共花费元，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该文具店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该文具店共获利多少元？ 【答案】(1)购进魔方个，数独棋个 (2)元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设商店购买魔方个，数独棋个，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可解答． 【详解】（1）解：设商店购买魔方个，数独棋个， 由题可知：， 解得：， 答：商店购进魔方个，数独棋个； （2）由题可知，如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，这两种益智玩具全部售完后， 则， 答：这两种益智玩具全部售完后，该文具店共获利元． 【变式2】灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【答案】(1)该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克 (2)九五折 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余孟津梨打折，根据获利1044元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克． （2）解： 设剩余孟津梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余孟津梨打了九五折． 【变式3】商场销售某种商品，当按标价销售时，每件可获利元；当按标价的八五折销售时，销售8件所获利润与将标价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和标价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 【答案】(1) 进价为元，标价为元 (2) 选择方案一比较合算，节省元 【分析】（1）根据按标价的八五折销售时，销售8件所获利润与将标价降低元销售件所获利润相等列出方程即可； （2）分别计算出两方案的花费进行比较即可． 【详解】（1）解：设商品进价为元，标价为元， ， 解得：， 答：该商品的进价是元，标价是元； （2）方案一：； 方案二：， ， ∵， ∴方案一比较合算， 节省的费用为：， 答：方案一比较合算，比方案二节省元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题、方案选择问题，关键是理清题意列出正确的代数式或方程． 题型10 二元一次方程组的应用-古代问题 【典例10】我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳尺，竿尺，根据题意列出方程组即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设绳尺，竿尺， 由题意得，， 故选：． 【变式1】明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有一个问题，其大意为：隔着墙听到有人在分银子，不知道有多少人，有多少两银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有人，银子两，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键．根据题意列出方程组即可解答． 【详解】解：由题意得 故选：B． 【变式2】《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键．设圭的长度为x尺，表的长度为y尺，根据“圭的长度比表长5尺，且圭和表长度之和为21尺”即可列出方程组． 【详解】解：设圭的长度为x 尺，表的长度为y尺 ，则可列方程组为， 故选：B． 【变式3】明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醴厚酒醇醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醴酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮下瓶酒试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，读懂题意，找准等量关系列出二元一次方程组是解决问题的关键．设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意，好酒和薄酒的总瓶数为19，醉倒的客人总数为33，好酒每瓶醉3人，薄酒每3瓶醉1人，据此等量关系建立方程组即可得到答案． 【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶， 好酒和薄酒共饮了19瓶， ； 好酒每瓶醉3人，共醉人；薄酒每3瓶醉1人，共醉人，总醉客数为33人， ； 综上所述，方程组为， 故选：C． 题型11 二元一次方程组的应用-其他问题 【典例11】利用初中物理所学习的“杠杆原理”可推得：一根质量均匀分布的长木以为支撑点，点在其左侧，其挂着的重物，到的距离为；点在其右侧，其挂着的重物，到的距离为，． 已知：秤盘质量10克，秤砣质量50克，最大可称重物1000克，零刻度线与末刻度线距离为50厘米．从零刻度线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻度线，试求“”刻度线到末刻度线的距离． 【答案】40厘米 【分析】本题考查了二元一次方程的组的解法等知识，解决问题的关键是理解题意，列出方程组． 根据杠杆原理，列出不加物品时和最大称重时的方程组，从而求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 设“”刻度线到秤纽的距离为厘米， ， ， 厘米， 答：“”刻度线到末刻度线的距离是40厘米． 【变式1】如图，把两根铁棒分别竖直地插入装有水的木桶中，发现一根露出水面的长度恰好是它的，另一根露出水面的长度恰好是它的．已知较长的铁棒比较短的铁棒长． (1)求两根铁棒的长度； (2)木桶中水的深度． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用等知识﹒ （1）设较长的铁棒与较短的铁棒长分别为、，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）把代入即可求解﹒ 【详解】（1）解：设较长的铁棒与较短的铁棒长分别为、﹒ 则， 解得﹒ 答：较长的铁棒与较短的铁棒长分别为、； （2）解： ﹒ 答：木桶中水的深度． 【变式2】安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个教室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． 求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． 【答案】每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个侧门每分钟通过x人，每个正门每分钟通过y人，根据题意可得方程组，然后进行计算即可解答； 【详解】解：设每个侧门每分钟通过x人， 每个正门每分钟通过y人． 由题意，得 解得 ∴每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人． 【变式3】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________； ②若不计热损失，请求此时的值； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？ 【答案】(1)①400；② (2)嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，列代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答． ②根据“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” 列出方程，解方程，即可作答． （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意： ， ∴王老师的水杯容量为． 故答案为： ②接入水杯的温水吸收的热量为： ， 热水放出的热量为：， 由题意： ， 解得：， 答：王老师的水杯容量为，水温约； （2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得： ，    解得：， ∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为． 1．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购A，B两种图书，已知采购5本A种图书和2本B种图书共需元，采购2本A种图书和5本B种图书共需元，则A种图书的单价为元，B种图书的为元，则依据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组，分别表示对应两次购书的总费用是解题的关键．根据题意，采购5本A种图书和2本B种图书共需元和采购2本A种图书和5本B种图书共需元，即可列出方程组． 【详解】解：根据题意，采购5本A种图书和2本B种图书共需元，可列方程：； 采购2本A种图书和5本B种图书共需元，可列方程：； 正确的方程组为：． 故选：C． 2．某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个．若要使每天生产的螺栓和螺母按配套，则分配几人生产螺栓，几人生产螺母？设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，由生产螺栓和螺母的工人总数为26，故方程为：；由螺栓与螺母按1:2配套，即每1个螺栓需2个螺母，因此螺栓数量的2倍等于螺母数量，得方程：；从而得到方程组，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母，则 ， 故选：C． 3.我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果个，苦果个， 根据题意，得， 故选：C． 4．我国民间流传这样一道数学名题： 其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多 少银？(1斤等于10两) 设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系是关键，根据题意，每人分7两缺7两，每人分5两多5两，建立方程组即可． 【详解】解：设共有人，两银子， ∵总需银两为，实际银两比所需少7两， ∴， ∵总需银两为，实际银两比所需多5两， ∴， 联立方程得：， 故选：D． 5．《九章算术》中有这样一道问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”意思是：“五只雀，六只燕，共重1斤（古代1斤=16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问每只雀、每只燕的重量各为多少？“设每只雀、燕的重量为两，两，则下面所列的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据题意，五只雀和六只燕总重16两，交换其中一只后两边平衡，设每只雀重两，每只燕重两，可列出方程组． 【详解】解：设每只雀重两，每只燕重两，依题意得： ∴， 故选：C． 6．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 【答案】每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的两个等量关系是：购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，可设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元． 根据题意，得 解得 所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 7．我市某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨；若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨，现有萝卜吨，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜，根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】(1)辆A型车载满萝卜一次可运送吨，辆B型车载满萝卜一次可运送吨 (2)方案有种，详见解析 【分析】（1）根据题意建立等量关系构造二元一次方程组即可求解； （2）根据型车加型车构造方程求整数解即可． 【详解】（1）解：设辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨； （2）解：根据题意得：， ，都是正整数， 或或， 该物流公司的租车方案有种： 租用辆型车，辆型车 租用辆型车，辆型车； 租用辆型车，辆型车． 8．根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；任务二：抽调熟练工4名，招聘新工人2名，此方案应付工资较低 【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组解答即可求解； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意可得，即得，进而求出的值，再算出每种方案每月应付工资，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得，， 解得， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得，， 整理得，， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种方案： ①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ∵， ∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低． 9．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品，苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（1628年），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 素材整合 某工厂计划生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． (1)应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】(1)应分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿 (2)每副镜架的出厂价应定为元 【分析】（1）考查二元一次方程组的实际应用(配套问题)，核心思路是根据“镜腿数量是镜框数量的2倍”这一关系列方程组求解； （2）考查一元一次方程在经济利润问题中的应用，核心是对“利润率”公式的理解与运用． 【详解】（1）解：设分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿． 根据题意，得， 解得， 答：应分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿； （2）解：设每副镜架的出厂价应定为元． 根据题意，得 解得：． 答：故每副镜架的出厂价应定为元． 10．毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案： 方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元； 方案二：团体票（10人及以上）每张80元． (1)小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？ (2)织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算； (3)现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由． 【答案】(1)小明一家有成年人4个，儿童3个 (2)选择方案一最划算 (3)最省钱的购票方案是购买10张团体票和1张儿童票，总费用850元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用． （1）设成年人数为，儿童数为，根据总人数和总花费列方程组求解． （2）分别计算方案一和方案二的总费用，比较后选择费用低的方案． （3）比较全部个人票、全部团体票以及混合方案（10张团体票和1张儿童票）的总费用，混合方案最省钱． 【详解】（1）解：设成年人数为，儿童数为，根据题意得， 解得： 答：小明一家有成年人4个，儿童3个 （2）解：方案一费用：（元） 方案二费用：（元） 选择方案一最划算 （3）解：全部个人票费用：（元） 全部团体票费用：（元） 购买张团体票（元）和张儿童票（元），总费用（元） 最省钱的购票方案是购买张团体票和张儿童票，总费用元 11．某次知识竞赛共有25道题目，评分标准如下：答对1道题得4分，答错1道题扣1分，不答记0分．小明不答的题比答错的题多2道，共得74分．那么，小明答对、答错和不答的题目各有多少道？ 【答案】答对19道，答错2道，不答4道 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设答错题数为道，则根据不答题比答错题多道，得不答题数为道；总题数为道，根据总题数为道，得分（和总得分分，列出方程组并求解． 【详解】设小明答错的题数为x道，则不答的题数为道，答对的题数为道． ． 解得：． ∴答错题数为道，不答题数为道，答对题数为道． 答：小明答对道，答错道，不答道． 12．自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1)实际支付高速费用元，比原价优惠了元． (2)此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：此次行程高速费原价总共为：元， 实际支付高速费用：元， 优惠了元； （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元， 由题意得： 解得： 答：此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元． 【点睛】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $