专题06 平面解析几何（6大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学一模分类汇编

学科网 考点1 直线与圆 1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.(x-2)2+y2=4(或x2+y2-4x 7.11-52 考点2 椭圆 1.A. 2.B 3.C 4.ACD 5.5/5 33 6. 5片5 3 考点3 双曲线 1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.ABD 55 7. 3 考点4 抛物线 1.C 2.C www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06平面解析几何 0)(两种形式均正确)， 1/18 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.BCD 4.ACD 5.ACD 6.ACD 7.AC 8.ABD 9.y2=8x 10.B 1.【详解】(1)依题意可知，动圆E的圆心E到点F0,2 1 与到直线y=-的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线「是以F 号)为焦点，y=为准线的抛物线。 所以曲线T的方程为x2=2y,则直线I:y=x+二经过抛物线的焦点， y=+ 设M(xM,yM),N(xw,yN),联立 2,整理得x2-2kx-1=0,△>0恒成立， x2=2y 则 XM+XN=2k XMXN=-1 又=2y可化为y=,则r=x, 所以l:y-yM=xMx-xw,2:y-yw=xvx-xw,联立l,l2, 消可得(w-y=-w=w(w-=x-xv小， 1 又因为，，所以点P的轨迹方程为y=- 2 (2) A2 M A M N/E (i)设M.Xxn,yMa),Nn（xn,ywn),则xn=2yMn,xn=2ym, 2/18 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 又xi=2yM,x=2yN,则(xM-xM)x+xM)=2(y-yM),又xMn≠xM, 所以-y-“,即直线MM,的方程为y-w-(x-, XMn -XM 2 2 整理得2y=x(x+xM)-xxM,令x=0,可得2yn=-XMnXM,① 同理得NNn的方程为2y=x(xwn+Xw-XNnXN,令x=0,可得2yn=-xnxv,② 又直线M,N,的斜率为n-血=七h+xm, XMn -XNn 2 所以直线MnNn的方程为2y=x(x+xm)-xMxm,令x=0,得2yn+1=-X Mn Nn, 由①可知，xwxy=-1, ①×②可得4y员=XMnXMXNnXN=-XMnX Nn 于是可得4y2=2y+1,即2y=y+1,又因为片=1，则yn>0, 于是log22y)=log2yn+1,即1+2l0g2yn=l0g2yn+1,即2+2l0g2yn=l0g2yn+1+1, 即2(l0g2y.+1=l0g2yn+1+1,又10g2y1+1=1, 所以数列1og2y。+1是以1为首项，2为公比的等比数列， 则10g2.+1=2，所以10gy,=2-1-1,所以y=221 (i)由(i)可知，a,=2-,b。=10g22-=n-1,则a,b,=(n-12-1, 所以S,=0+2+2×22+…+n-22-2+n-12-1, 则2Sn=0+22+2×23+…+(n-2)2m-1+(n-12", 两武作差可得-5，=0+2+2°+2++2)-a-2”.21-2）-n-2 1-2 所以S,=（n-2)2”+2. 令Sn=(n-2)2”+2>2025,即(n-2)2">2023 当n=1,2时，显然不合题意； 当n≥3时，f(n)=(n-2)2”随着n的增大而增大， 又1j=5x2'-×2-×1024<124, 8 3/18 学科网 www.zxxk.com ns=62-子2-e2023. 997x29=7x20=7x1024>20 2 则满足不等式Sn>2025的的最小值为9. 考点5 圆锥曲线定值定点问题 1.【详解】1由圆后+茶=口>6>0的离心幸为5， 可设c=t,a=2t,则b=√3t, 由右焦点F(1,0),可知c=t=1,则a=2,b=√5， 即椭圆的标准方程为+上-1. 43 (2)如图： 过F且倾斜角为45的直线1的方程为x=y+1, 与祥银c号+若1我可： 3y+1)2+4y2-12=0,即7y2+6y-9=0, 可得+%=号心=号 所以-5-%+为-%-64》- 49 所以-为=122 1 所以刘AB=+?-为=V5×125.24 77 [92 a2 b2 =1 a2=3 2.【详解】(1)方法1：根据题意，得{2c=4 ，解得 1b2=1 a2+b2=c2 方法2：根据题意知c=2,F(-2,0),F(2,0), 4/18 让教与学更高效 所以双曲线C的烁准方程为兮=1： 函学科网 www zxxk.com AE-AEl=V3+2}2+52-V3-2)2+2=25=2a,则a=V5,b2=c2-a 双曲线C的标准方程为号-y1: (2)由题知直线斜率不为0，设过F,(2,0)的直线为x=my+2(m>0), 因为SFRM=SAAN,所以SFNM=S.ANM, 即点F(-2,0)和点A(3,√2)到直线x=1y+2的距离相等， ，-41二2，解得m=2二n=一3V2 V1+m2V1+m2 (舍) 2 则直线MN的方程为V2x-5y-2W√2=0. x=my+2 10 F M 3.【详解】(1)由OF.MF=0,得MF⊥0F, :M为抛物线C上位于第一象限内的一点， 设M3:>0,则%-2p号=p,即M号P小： 由题知，Fo-F=W=2 +p2=V5,解得p=2, :抛物线C的方程为y2=4x; (2)由上可知，点F的坐标为(1,0)， 若直线FM的斜率不存在，则直线FM垂直于x轴，P是x=-1与x轴的交点， 若直线FM的斜率存在，易知该直线斜率不为O,可设直线FM的方程为x=y 5/18 让教与学更高效 =1, 显然是MN'的中点， +1, 丽学科网 www zxxk.com A x=y+1, 联立 y2=4x, 整理得y2-4y-4=0, 设点M,N的坐标分别为x,y),(x2,y2)，则y+y2=4t, 则M',N'的坐标分别为-1y),（-1,y2), 直线FP的方程为y=-tx-1,于是点P的坐标为-1,2t), :M',P,N'三点在同一直线上，+y,=2yp,P是线段MN (3)可设M m2 ,m (m>0), 由上可得FO=(-1,0),FM 由F0.FM=-3,得1-m =-3,解得m=4, :点M的坐标为4,4)，由题意得直线1必不垂直于y轴， x-6=ny+4), :可设1：x-6=ny+4,联立 y2=4x, 整理得y2-4ny-16n-24=0, 其中△=16n2+416n+24)=16n2+4n+6>0恒成立， 设A(x3,3),B(x4,y4, 由韦达定理，有3+y4=4n,yy4=-16n-24, 进而5*琴+号-+-2松+8+12， 4 6/18 让教与学更高效 的中点 雨学科网 www.zxxk.com 55=空￡-=16m2+48n+36 4416 kk%=当-44-4=4-4(+y)+16-32n-8 5-4。-4-4飞+x)+1616m+4=-2, 综上可得，直线MA,MB的斜率之积为定值-2. 4.【详解】(1) 设圆的半径为r,以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D,E,点F在 所以OF⊥DE FD=r,OD-OE-DE=5 点F坐标为 所以OF=卫 设N点坐标为m,2),则4=2pm,所以n=2 解得p=2,所以抛物线C的方程为：y2=4x (2)由(1)知(1,2). 设直线1的方程为x=my-1,Ax,),B(x2,y2). 代入抛物线C方程y2=4x,整理得y2-4my+4=0, △=(-4m2-4×1×4=16m2-16>0,所以m2>1,所以y+y2=4m,My k4+k8=-2+2-2=月-2+-2 x-1x2-1my-1-1'my2-1-1 7/18 让教与学更高效 x轴上，O为原点， =4. 扇学科网 www zxxk.com =（4-2(m2-2+(5-2(my-2) (m%-2)my2-2) =2m%y-2(1+mj(y+2)+8 m2y2-2m(y+y2)+4 2m×4-2(1+m)×4m+8=2 m2×4-2m×4m+4 所以k4+kB的值为2. a=2 5.【详解】1)由题设凸5÷a=2,b=5,则双曲线方程为号 la 2 (2)①设P(-1,t,且A-2,0,B2,0) :AP的直线方程为y=(x+2),BP的直线方程为y=-{(x-2. x2 y2 =1 设M(x,y),N(x2,y2),联立直线AP与双曲线方程有43 y=t(x+2) 化简得3-4)r产-16r-16-12=0,由韦达定理知-2=-16-12 3-42 有x= ,代入直线有=3·则M 12t 8t2+612t 3-4t2 3-4t2’3-4t2月 联立直线B与双偏线方程，化简有3音矿x--12=0, 62-12 由韦达定理知2：=9 8t2+54 342—，有x=227，代入直线有N 412-27 9 设0(m,0),QM= 8+6-m3-42'三9 12t -36t 4r2-27m4r2-27 8/18 L乙-h 、19- 'I= 路皇重右与谁孔 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 8t2+6 -36t 12t8t2+54 由QM11QN得 3-412 -1m -m=0, 412-273-4t2412-27 化简得82+18)(m+4=0,可得m=-4,则0(-4,0). @设直线MN方程为=m-4,则疾D x=1y-4 24m y,+y2= 联立方程组 父_上-=1'化简得3m-4y2-24my+36=0,则 3m2-4 36 43 yy2= m2-4 由QD=元QM知3=元y,由0D=1QN知二=42， m 3.+2=324m=2, m（yy2my2m36 6.【详解】1)由题意可设，c,0),则F(-e,0,e==5 a 3 根据椭圆的定义可知△ABE的周长为 AF+AB+BF=AF+AF+BF+BF=2a+2a=43, 所以a=5,c=,b=V-c=2,即椭圆方程为+上-1： 3 2 2)设应，1W在消暂号若-1上，易知2，+2≤+y八 所以22：，等答兰 a2 a2 2++。+6=2, 即之士1当且仅当。=，。=时取得等身 即椭圆上有且仅有一点(x,y,)在直线+=1上， 所以过椭图上一的切线方程为：兰+誉： ”十 (i)由上知F1,0),可设1方程为x=ky+1k≠0)，Ax,,B(x2,y2,M(x,y), 9/18 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 而直线1斜率存在且不为0及椭圆的对称性可知y≠0， 则44分别为等+号-1号+学-1， 32 x=1 联立 32可得x= 3y2-y)3(y2-4) =3是定值， x+2y=1 -x2为yy2+2-(2+y) 3 2 又作差可行，业-0，整连得兮+号-0， 3 2 即y=-2=-2kM3,-2k),所以M点在定直线x=3y≠0)上： 易知6=25，k,=20,=2:0-, 3y1 3y2 3-1 x=y+1 联立 x./_ ,得2k2+3y2+4y-4=0, 3+2 =1 4k 4 所以y+y2= 2k2+3%=-2k2+3' X1y2+2 则k+k=2.4 =2.2少+y+2=4+2.当+2 k33 k 3k yiy2 3 3k yy2 =4+24长=2，是定值，证毕 3'3k-4 c_1 a-2 7.【详解】(1)由题意可得 2b=2W3,解得a=2,b=V5, a2=b2+c2 所以椭圆方程为女+上：1， 43 2》(i)设Cw.则与 -11 所以k+k=%+6=2x出 x+1x0-1x6-1’ 1 5,B,x=砂-，E山，甲宝， 10/18 专题06 平面解析几何 6大考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 考点05圆锥曲线定值定点问题 考点06圆锥曲线范围最值问题 直线与圆 考点1 1．（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·一模）已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 6．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 7．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 椭圆 考点2 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 5．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________． 6．（2026·吉林长春·一模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 双曲线 考点3 1．（2026·辽宁大连·一模）双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（2026·吉林白城·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A．8 B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A．2 B．2或 C．2或 D．2或 4．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·三省三校·一模）（多选）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为___________. 抛物线 考点4 1．（2026·辽宁辽阳·一模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到焦点的距离是点到轴距离的5倍，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·三省三校·一模）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·黑龙江·一模）（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 4．（2026·辽宁大连·一模）（多选）若抛物线的焦点为，过的直线与相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·吉林长春·一模）（多选）已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（    ） A． B．若，则点到准线的距离为4 C．的最小值为4 D．若，则 6．（2026·吉林白城·一模）（多选）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（   ） A． B．直线PA与AQ的斜率之和为4 C．与面积之比为 D．过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（    ） A．的轨迹方程为： B．的最小值为2 C．的最小值是 D．的最大值为 8．（2026·黑龙江研远联合·一模）（多选）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C． D．的面积等于的面积 9．（2026·吉林白山·一模）双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 10．（2026·辽宁沈阳·一模）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 11．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 圆锥曲线定值定点问题 考点5 1．（2026·吉林长春·一模）已知椭圆的离心率为，右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 2．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； (3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 4．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 5．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 6．（2026·辽宁大连·一模）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过两点分别作椭圆的切线，设与交点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值. 7．（2026·三省三校·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设，，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若△ABC的重心是坐标原点，证明：△ABC的面积是定值． 8．（2026·辽宁辽阳·一模）如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，左顶点为，直线交椭圆于另一点.    (1)若直线的斜率为，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为6，且，求椭圆的方程和的面积. 9．（2026·吉林白城联合体·一模）已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 圆锥曲线范围最值问题 考点6 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且. (1)求拋物线的方程； (2)过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点. （i）证明：的垂心在一条定直线上； （ii）已知G点在曲线（）上，求△ABC的面积的最大值. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 3．（2026·黑龙江·一模）已知离心率相同的椭圆与椭圆分别是同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆 (1)求， (2)设直线l与椭圆相交于两点，与椭圆相交于两点，且A在线段BD上 （ⅰ）求证： （ⅱ）若，恰为DE的三等分点，求坐标原点O到直线l距离的取值范围 4．（2026·辽宁沈阳·一模）已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求面积的最大值. 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面解析几何 6大考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 考点05圆锥曲线定值定点问题 考点06圆锥曲线范围最值问题 直线与圆 考点1 1．（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】将变形为， 故两直线的距离为， 故选：B 2．（2026·辽宁沈阳·一模）已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆内过定点的最长弦是直径，最短的弦是与最长弦垂直的弦. 【详解】圆的标准方程：5 由题意可得：最长弦为直径： 最短的弦是 则四边形ABCD的面积为 故选D 3．（2026·辽宁大连·一模）已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设作的中点，利用向量的加法法则将转化为；结合图形可得进而即可求解. 【详解】依题意，直线可化为，所以直线过定点； 圆的圆心为，半径为，所以，所以定点在圆的内部； 如上图（左），作的中点，则，所以； 如上图（中），在中，，当与重合时取等号，此时； 如上图（右），在中，，当与共线时取等号； 所以.当与重合，且，共线时取等号. 故选：D. 4．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】设，由，，得点为的中点，则. 又，，则，， 因此，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 设直线OM（O为原点）斜率为， 由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时， 则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或， 所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为. 故选：B 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积求出，几何意义为点P与原点的距离的平方减1，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设，坐标原点为 ， 则，， 即 即，当最小时W最小， 原点到直线的距离为， 所以， 所以. 6．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，，解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 7．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 【答案】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 到直线的距离， 则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：. 椭圆 考点2 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 2．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图像，得到，再在中，求得，从而得到，代入直线的方程可得到，由此可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意知， 由为等腰三角形，且，得， 过作垂直轴于，如图所示， 则在中，，故，， 所以，即，代入直线的方程， 得，即，所以所求的椭圆离心率为. 故选：B. 3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C.    4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，先得到，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设，易得切线方程为，进而得到，由结合基本不等式可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且， 则的周长是，故A正确； 对于B，由椭圆的定义得，， 由余弦定理得，， 则，即，则， 所以的面积为，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为. 联立，得， 点在椭圆上，， ，即， ， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点， 则椭圆上的一点处的切线方程为. 设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为， 令，得，令，得，即， 又，则， 即，当且仅当时等号成立， 则面积为， 即的面积的最小值为，故D正确. 5．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________． 【答案】/ 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结，    在中，由，得， 设，由，得， 由为直角三角形，得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为： 6．（2026·吉林长春·一模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 【答案】/ 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，， 即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 双曲线 考点3 1．（2026·辽宁大连·一模）双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据双曲线标准方程和离心率定义求解. 【详解】假设双曲线实轴长，虚轴长，焦距为，由双曲线，可知，故双曲线离心率， 故选：A. 2．（2026·吉林白城·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以该双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程为得，解得 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A．2 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离可求出，再根据的面积为列出相应等式，即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即， 点到直线的距离， 在中， 所以，则， 又因，所以， 化简可得，等式两边同时除以，可得， 即，解得或， 因，所以或. 4．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解. 【详解】因为直线的，由角平分线性质定理可知， 所以，由双曲线的定义可知，所以， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 两边同除以可得，解得或（舍去）． 故选：C 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到⊥，作出辅助线，结合双曲线定义求出，，由勾股定理得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得⊥，取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 故，即为坐标原点O到直线的距离，则， 所以， 由双曲线定义可得，所以， 又，由勾股定理得， 故，解得，故离心率为. 故选：C 6．（2026·三省三校·一模）（多选）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用，求出A点的横坐标，然后结合条件检验即可判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得，进而判断出不存在点使得等式成立. 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：ABD 7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为___________. 【答案】/ 【分析】根据题意确定的值，可求双曲线的离心率. 【详解】圆的半径为. 由题意，对双曲线：，， 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故答案为： 抛物线 考点4 1．（2026·辽宁辽阳·一模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到焦点的距离是点到轴距离的5倍，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义列方程，解方程即得答案. 【详解】点在抛物线上， 代入得，即，,所以. 根据抛物线的定义，， 点到轴的距离为， 由题意得，所以， 把代入，得：，即， 又，则. 故选：C 2．（2026·三省三校·一模）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用抛物线的标准方程先确定F坐标，结合定义与正三角形的性质计算即可. 【详解】由抛物线的定义可知，且，过作， 可知D为的中点， 则，即，所以点的横坐标为3. 故选：C    3．（2026·黑龙江·一模）（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出的表达式，再利用函数导数求最值. 【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得， 所以，故A错误； 对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内， 所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 所以的最小值为，C正确； 对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限， 如图所示： 则 ， 令，分母为，则， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以当时，， 此时，由图知，所以，故D正确. 4．（2026·辽宁大连·一模）（多选）若抛物线的焦点为，过的直线与相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设过的直线为，，直线与抛物线联立方程由韦达定理可得，.由可判断A；由两点间距离公式计算可判断B；由抛物线定义结合取等条件可判断C；由，，计算可判断D. 【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线， 设过的直线为，， 则，，， 由韦达定理可得，， ， ， 对于A，， 因为， 所以，即，故A正确； 对于B，， 当，即时，有最小值为，即，故B错误； 对于C，过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时， 因为直线与相交于两点，若，则直线与轴平行，不满足题意， 所以，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 因为，所以，故D正确； 故选：ACD. 5．（2026·吉林长春·一模）（多选）已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（    ） A． B．若，则点到准线的距离为4 C．的最小值为4 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，根据焦点求出；对于B ，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长交准线于点，由抛物线的定义得出为的中位线，设，再利用相似关系即可求出. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确； 对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知， 因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误； 对于C，因为， 则当三点共线时，有最小值，故C正确； 延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，， 则为的中位线， 设，则，， 由相似关系可知，，则，得，故，故D正确. 故选：ACD 6．（2026·吉林白城·一模）（多选）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（   ） A． B．直线PA与AQ的斜率之和为4 C．与面积之比为 D．过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 【答案】ACD 【分析】常规方法设点与设直线，联立利用韦达定理得到相关定值，计算即可. 【详解】对于A，因为点在抛物线上，代入抛物线方程得. 对于B，设直线，，则直线PA与AQ的斜率之和为 联立得到，所以代入上式得到直线PA与AQ的斜率之和为2，故B错误. 对于C，首先证明，等价于证明直线与的斜率之和为0，即 所以，所以，故C正确 对于D，直线，设过点P作抛物线C的切线为，与抛物线联立，得到，因为相切，所以，即，所以，所以过点P作抛物线C的切线为，联立直线，得到，同理，所以，故D正确. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（    ） A．的轨迹方程为： B．的最小值为2 C．的最小值是 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A；当为时，时取最小值，即可判断B；由抛物线的性质化简结合基本不等式求得结果判断C；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断D； 【详解】由题意可知，设，过点P作轴于点N，如图： 对于A，则， ∴，即，∴，A选项正确； 对于B，， ， ∴当点为时，的最小值为1，B选项不正确； 对于C，， 当且仅当时，的最小值是，C选项正确； 对于D，由对称性可假设点P在一象限，则， ∵，当且仅当，即时取等号， 所以∴，∴最大值为， 当AQ与圆F相切时，，∴的最大值， ∴，D选项错误. 8．（2026·黑龙江研远联合·一模）（多选）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C． D．的面积等于的面积 【答案】ABD 【分析】对于A：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B：设直线的方程为，利用韦达定理可得，即可得结果；对于C：整理可得，进而分析判断；对于D：整理可得，，结合题意分析证明. 【详解】对于选项A：由几何性质可知，且， 可得，所以，故A正确： 对于选项B：设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，即， 由条件知同号，所以. 则，可得， 因为，则， 同理可得，则，故B正确； 对于选项C：因为， 可得， 当且仅当时，，故C错误； 对于选项D：设， 由，可知直线关于直线对称， 所以. 因为， 可得. 则， ， 所以的面积等于的面积，故D正确. 故选：ABD. 9．（2026·吉林白山·一模）双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【分析】由双曲线和抛物线的几何性质，结合题意，得到方程，求得的值，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 又由抛物线的准线的方程为， 因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 10．（2026·辽宁沈阳·一模）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求的值，再根据抛物线方程求其准线方程. 【详解】对于双曲线：因为，，所以，所以. 所以双曲线的右焦点坐标为：. 对于抛物线，因为焦点为，即. 所以其准线方程为：. 故选：B 11．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）的最小值为9. 【分析】（1）根据抛物线的定义得曲线的方程为，联立，写出韦达公式，应用导数几何意义求切线方程，进而求点的轨迹方程； （2）（i）设，得到，， ，进而有、、，可得，最后应用对数的运算性质、等比数列的定义写出的通项；（ii）应用错位相减法求得，根据不等式能成立求参数值. 【详解】（1）依题意可知，动圆的圆心到点与到直线的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为，则直线经过抛物线的焦点， 设，联立，整理得恒成立， 则，又可化为，则， 所以，联立， 消可得， 又因为，所以点的轨迹方程为. （2） （i）设，则， 又，则，又， 所以，即直线的方程为， 整理得，令，可得，① 同理得的方程为，令，可得，② 又直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，得， 由①可知，， ①②可得. 于是可得，即，又因为，则， 于是，即，即， 即，又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 则，所以，所以. （ii）由（i）可知，，则， 所以， 则， 两式作差可得 所以. 令，即. 当时，显然不合题意； 当时，随着的增大而增大， 又， ， ， 则满足不等式的的最小值为9. 圆锥曲线定值定点问题 考点5 1．（2026·吉林长春·一模）已知椭圆的离心率为，右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得和，进而得，再利用弦长公式求弦长. 【详解】（1）由椭圆的离心率为， 可设，，则， 由右焦点，可知，则，， 即椭圆的标准方程为. （2）如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为， 与椭圆联立可得： ，即， 可得，. 所以， 所以. 所以. 2．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1：根据焦距和点在双曲线上列方程组求解即可； 方法2：利用双曲线定义求得，再利用及求解即可； （2）设过的直线为，由得点和点到直线的距离相等，利用点到直线距离公式列式求解即可. 【详解】（1）方法1：根据题意，得，解得，所以双曲线C的标准方程为； 方法2：根据题意知， ，则，     双曲线C的标准方程为； （2）由题知直线斜率不为0，设过的直线为，     因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得（舍），     则直线MN的方程为.    3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； (3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是定值 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可； （2）求点的坐标为，再利用三点共线可得证； （3）由韦达定理。结合直线的斜率公式，化简计算可得为常数即可. 【详解】（1）由，得， 为抛物线上位于第一象限内的一点， 设，，则，即， 由题知，，解得， 抛物线的方程为； （2）由上可知，点的坐标为， 若直线的斜率不存在，则直线垂直于轴，是与轴的交点，显然是的中点， 若直线的斜率存在，易知该直线斜率不为0，可设直线的方程为，      联立整理得， 设点，的坐标分别为，，则， 则，的坐标分别为，， 直线的方程为，于是点的坐标为， ，，三点在同一直线上，，是线段的中点； （3）可设（）， 由上可得，， 由，得，解得， 点的坐标为，由题意得直线必不垂直于轴， 可设，联立 整理得， 其中恒成立， 设，， 由韦达定理，有，， 进而得， ， ， 综上可得，直线，的斜率之积为定值. 4．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 【答案】(1). (2)2. 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，再利用点在抛物线上得到点横坐标与的关系，最后根据圆的性质求出的值即可； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，的值，最后利用斜率公式求出即可. 【详解】（1） 设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即， 解得，所以抛物线的方程为：. （2）由（1）知. 设直线的方程为，，. 代入抛物线方程，整理得， ，所以，所以，. 所以的值为2. 5．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据顶点坐标及渐近线确定双曲线参数，即可得方程； （2）①由题设有为，为，，，联立双曲线并应用韦达定理求得、，设，结合向量共线的坐标表示列方程求参数值，即可证；②设直线为，则，联立直线与双曲线并应用韦达定理，结合向量线性关系的坐标表示有，即可证. 【详解】（1）由题设，，则双曲线方程为． （2）①设，且， 的直线方程为，的直线方程为． 设，，联立直线与双曲线方程有， 化简得，由韦达定理知， 有，代入直线有．则 联立直线与双曲线方程，化简有， 由韦达定理知，有，代入直线有 设，，， 由得， 化简得，可得，则． ②设直线方程为，则有 联立方程组，化简得，则， 由知，由知， ． 6．（2026·辽宁大连·一模）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过两点分别作椭圆的切线，设与交点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)（i）;（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用椭圆的定义与性质计算即可； （2）（i）先证明椭圆上一点的切线方程公式，联立切线方程求交点，设方程及即可判定M的轨迹；（ii）利用两点斜率公式结合上问切线方程，联立直线与椭圆根据韦达定理计算即可证明. 【详解】（1）由题意可设，则， 根据椭圆的定义可知的周长为 ， 所以，即椭圆方程为； （2）设点在椭圆上，易知， 所以， 即，当且仅当时取得等号， 即椭圆上有且仅有一点在直线上， 所以过椭圆上一点的切线方程为：； （i）由上知，可设l方程为，， 而直线斜率存在且不为0及椭圆的对称性可知， 则分别为， 联立可得是定值， 又作差可得，整理得， 即，所以M点在定直线上； （ii）易知， 联立得， 所以， 则 ，是定值，证毕.    7．（2026·三省三校·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设，，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若△ABC的重心是坐标原点，证明：△ABC的面积是定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析； 【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴长、的关系列方程组求解的值，可得椭圆的方程； （2）（ⅰ）设，则根据斜率关系可得，设，，，，其中，，联立直线与椭圆确定交点坐标关系，再由，，成等差数列，得，结合斜率的坐标运算列方程即可得的值，从而得所求；（ⅱ）若△ABC的重心是坐标原点，讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，当直线的斜率存在时结合点差法得，从而得直线的方程，联立直线与椭圆，利用△ABC的面积公式得，结合三角形重心性质即可证得结论. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆方程为； （2）（ⅰ）设，则，， 所以， 设，，，，其中，， 由，消去，得， 则 从而， 同理，可得，， 则， 由，，成等差数列，得，即， 解得，，或（舍），（舍）， 所以点的坐标为． （ⅱ）证明：设，，， 当直线的斜率不存在时，易得，直线的方程为，或，直线的方程为， 将代入椭圆的方程，可得， 所以的面积， 当直线的斜率存在时，有的中点，则， 因为，在椭圆上，则，相减得， 整理得，所以可得， 所以直线的方程为， 即， 令，可得直线在轴上的截距为，则， 将代入椭圆的方程，得， 即，则，， 所以， 所以， 又因为是△ABC的重心，所以， 综上，的面积是定值． 8．（2026·辽宁辽阳·一模）如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，左顶点为，直线交椭圆于另一点.    (1)若直线的斜率为，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为6，且，求椭圆的方程和的面积. 【答案】(1) (2)椭圆的方程为；. 【分析】（1）根据椭圆的性质结合直线的斜率为，得到，再结合离心率公式即可； （2）通过，求得，再结合求得，即可求出椭圆的方程，最后用三角形面积公式即可求出. 【详解】（1）由题意得，， 又，， . （2）椭圆的焦距为6，，即，故，， 又，， 设，则，，解得，， 把和代入标准方程，得，即，， ，故椭圆的方程为. 又，点的横坐标为， 三角形的高为，故. 9．（2026·吉林白城联合体·一模）已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用椭圆参数的几何意义即可求解椭圆方程； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，利用假设的坐标来表示直线方程，根据椭圆的对称性可知定点在轴上，所以令，借助韦达定理去求为定值即可；（ⅱ）利用坐标法去计算斜率，通过韦达定理的应用即可证明定值. 【详解】（1）记E的半焦距为c，由右焦点为可得：，而， 故，于是E的方程为． （2） （ⅰ）不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即， 易知，直线MB的斜率为， 故直线MB的方程可表示为， 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点． 而当AB斜率为0时，直线就是轴，也过点． 综上，直线MB过定点． （ⅱ）由（ⅰ）可得，所以， 则， 所以有，即是定值． 圆锥曲线范围最值问题 考点6 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且. (1)求拋物线的方程； (2)过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点. （i）证明：的垂心在一条定直线上； （ii）已知G点在曲线（）上，求△ABC的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解 （ii） 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，建立方程求解参数，从而确定抛物线方程； （2）（i）通过求导得到切线方程，联立求出交点坐标，并利用垂心定义与斜率关系推导出垂心的纵坐标为定值，证明其在定直线上；（ii）由切线交点坐标与椭圆条件建立面积表达式，结合二次函数最值求得三角形面积的最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，已知焦点，故， 因此抛物线方程为：. （2）（i）由方程，故在点处切线方程为： 方程为， 方程为方程为， 联立故解得， 同理可得 则过点与垂直的直线为：，① 过点点与垂直的直线：，② ①－②可得： 故的垂心在一定直线上 （ii）设，由（i）可知：的直线方程为， 将代入可得：， 同理可得， 故的直线方程为， 联立直线与抛物线得， 由弦长公式， 为了使的面积最大，必须保证处的切线与直线平行， 所以， 从而故的面积为： ， 当时，取得最大值. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 根据离心率及焦点列方程计算求解椭圆方程； （2）先设直线再联立方程组计算韦达定理，把角转化为计算向量数量积计算求解. 【详解】（1）由已知，解得， 所以C的方程为 （2）设MN：，， 将直线与椭圆方程联立， 整理得，经检验， 根据韦达定理， 因为，所以，即， 所以，整理得， 将韦达定理代入得， 去分母后整理得，解得， 3．（2026·黑龙江·一模）已知离心率相同的椭圆与椭圆分别是同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆 (1)求， (2)设直线l与椭圆相交于两点，与椭圆相交于两点，且A在线段BD上 （ⅰ）求证： （ⅱ）若，恰为DE的三等分点，求坐标原点O到直线l距离的取值范围 【答案】(1)， (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【分析】（1）由点及两椭圆离心率相同进行列式求解即可； （2）（ⅰ）当斜率k不存在时，显然成立；当斜率k存在时，设直线l为，，，，，联立方程得到根与系数的关系，设中点为，得，得和Q重合，则进行证明； （ⅱ）分直线斜率k存在与不存在进行求解． 【详解】（1）由题知点，， 又因为两椭圆离心率相同， 因此，即， ，． （2）由（1）知，， 当斜率k不存在时，显然成立； 当斜率k存在时，设直线l为，，，，， 联立得，， ，韦达定理， 设中点为，则，， ， 联立得，， ，韦达定理， 设中点为，则，， ， 和Q重合， ， ， （ⅱ）①当斜率k不存在时，， 联立得，， 联立得，， 所以，计算得，所以． ②当斜率k存在时，，，， ， 平方化简得，， 直线， 所以原点到直线的距离为， ， ，， ，， 综上，坐标原点O到直线距离的取值范围是． 4．（2026·辽宁沈阳·一模）已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线MN过的定点为.（ⅱ）. 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）设直线为，直线为，联立方程组，分别求得和，得出直线MN的方程，进而得到MN过的定点. （ⅱ）由MN过的定点为，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为椭圆的离心率，且过点， 可得且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：（ⅰ）由（1）知，椭圆，可得， 设直线的方程为，的方程为，且，， 联立方程组，整理得， 所以，， 因为为的中点，所以，， 即，同理可得， 直线MN的方程为，即， 所以直线MN过的定点为. （ⅱ）由MN过的定点为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的面积最大值为. 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $