学易金卷：高二数学下学期第一次月考（北京专用02）（人教B版）

2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章+选择性必修第三册第五章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 2．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 3．已知随机变量，且，则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 4．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．在等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，第一次随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个；第二次再从盒中随机取出1个球，则第二次取出的是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知是公比的无穷等比数列，其前n项和为，则“，”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 10．已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（    ） A．可能为等差数列 B．中最大的项为 C．存在最大值 D．的最小值为36 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．假设，且与相互独立，则__________． 12．已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 13．记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则___________；数列所有项的和为___________． 15．若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的有 ①．首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 ②．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1） ③．若数列满足，则数列是有限稳定数列 ④．若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响． (1)求甲、乙、丙都通过测试的概率； (2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率； (3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率． 17．（14分）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．（14分）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 (1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； (2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望． 19．（15分）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 20．（15分）已知数列的前项和，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列前项和为，求的最大值. 21．（15分）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列． (1)若数列是“”数列，求的值； (2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； (3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章+选择性必修第三册第五章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，可知D错误， 当时，，可得A、C错误， 经检验B满足数列的通项公式. 2．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量； 故选：D. 3．已知随机变量，且，则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求值. 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即， 故选：B 4．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由等比数列的前项和的性质可得. 【详解】由题意可知，是等比数列， 则，即，故. 故选：A 5．在等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合等差数列的下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，所以. 6．已知盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，第一次随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个；第二次再从盒中随机取出1个球，则第二次取出的是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算. 【详解】记“第一次取红球”，“第二次取黑球”， 则，， 所以第二次取出的是黑球的概率. 故选：D 7．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为为，的等差中项， 所以，即，显然， 所以，解得或． 8．已知是公比的无穷等比数列，其前n项和为，则“，”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取反例判断充分性，就、、分类讨论必要性即可得两者之间的条件关系. 【详解】充分性：不妨取，所以可得, 因此，即“，”成立； 此时其前n项和为, 因为恒成立，所以,，即“，”不成立， 综上可知，充分性不成立； 必要性：假设“，”成立； 当时，易知，故“，”成立； 当时，可知， 又因为，所以异号， 若，可知时，则，因此“，”成立； 若，由可得，即“，”成立； 当时，，因为，数列成摆动规律，若“，”成立； 可得，即, 当为偶数时，可知同号，若满足题意，可得，所以，此时“，”成立； 当为奇数时，可知异号，若满足题意，可得， 若时，可得，此时必有满足题意， 若，则，若，，则必有， 若，则随着的增大而趋向于无穷大，最终必有存在， 综上可知，必要性成立； 综上可得，“，”是“，”的必要不充分条件. 9．在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出甲被安排到服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概率即可. 【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种； 第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种； 故甲被派去服务站的方法数共种； 再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种； 故概率为. 10．已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（    ） A．可能为等差数列 B．中最大的项为 C．存在最大值 D．的最小值为36 【答案】D 【分析】对 A，找出其与题目条件的矛盾；对BC，举反例数列可得；对D，分别列举与（即）成立时的数列，求出最小值即可. 【详解】对A，若为等差数列，设公差为， 当时，对任意的，与均成立； 当时，对任意的，与均不成立， 两种情况都不满足和中有且仅有一个成立，故A错； 对B，给定数列， 可知对任意的，满足和中有且仅有一个成立， 中最大的项为，不为，故B错； 对C，给定数列， 假设，则， 与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故； 假设，则， 也与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故； 当且时，数列各项满足题意， 因此，在给定数列中，可取任意大的正整数， 故无最大值，故C错； 对D，由题意与中有且仅有一个成立， ①若，则，设， 则 ，则，设，则， 则，设，则， 则，故. 即数列. 故，由题意均为正整数， 因此，若，则当且仅当时， 即数列，取最小值； ②若，则，设，则， 则，设，则，则， 设，则，则，， 由，故，即， 即数列. 故，由题意均为正整数， 因此，若，则当且仅当时， 即数列，取最小值； 综合①②比较可知，的最小值为, D正确. 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．假设，且与相互独立，则__________． 【答案】0.7/ 【分析】根据条件结合独立事件定义求，利用和事件的概率公式即可求出结论. 【详解】因为与相互独立，所以， 所以， 故答案为：0.7 12．已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 【答案】 / 【详解】由，解得， ， ． 13．记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 【答案】 【分析】设出公比，根据题意得到，化简得到，从而求出公比. 【详解】设公比为，由题意得， 即， 所以，故，又， 解得. 14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则___________；数列所有项的和为___________． 【答案】 48 384 【分析】首先利用后7项等比数列中和的关系求出公比和首项，再结合前3项等差数列的性质求出，进而求出，最后分别计算前两项的和与后7项等比数列的和即可. 【详解】数列的后7项成等比数列，设公比为, 则， 因为数列从小到大排列，故，得. 于是. 由，得. 由数列前3项成等差数列，，，得. 后7项是首项为、公比为的等比数列，共7项， 则后7项的和为 因此数列所有项的和为. 故答案为：①；② 15．若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的有 ①．首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 ②．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1） ③．若数列满足，则数列是有限稳定数列 ④．若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列 【答案】①④ 【分析】对①，列出该数列相邻两项差绝对值和式子观察即可；对②，找出该等比数列公比为1时，也满足有限稳定数列条件，排除即可；对③，取，计算该数列是否是有限稳定数列；对④，数列是有限稳定数列，则有界，根据证明即可. 【详解】对①，设， 则相邻两项差的绝对值， 设， 则，故该数列是有限稳定数列，①对； 对②，若该等比数列公比为1，则相邻两项差为0，是有限稳定数列， 因此公比的取值范围应为，故②错； 对③，取，满足， 但相邻两项差绝对值和，随n增大趋向于无穷大，无界， 因此该数列不是有限稳定数列，③错； 对④， 若数列是有限稳定数列，有界，进而有界， 而， 所以有界，即数列是有限稳定数列，④对. 故选：①④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响． (1)求甲、乙、丙都通过测试的概率； (2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率； (3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用独立事件的乘方公式及对立事件概率求法求各对应事件的概率. 【详解】（1）甲、乙、丙都通过测试的概率为. （2）甲未通过且乙、丙通过测试的概率为. （3）甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为. 17．（14分）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用等差、等比数列的通项公式将数据代入，联立方程组即可求出答案； （2）利用分组求和法即可求出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得，解得或（舍去）， 所以，； （2） . 18．（14分）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 (1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； (2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望． 【答案】(1). (2)分布列见解析；期望为. 【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的频率即可. （2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解. 【详解】（1）设“对食堂饭菜质量满意”为事件A． 在200人中对饭菜质量满意的有130人， . （2）分层抽取比例 男生抽取人，女生抽取人 抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2        -                                   -                                 - X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望. 19．（15分）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式; (2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和. 【详解】（1）由于是等差数列,设公差为, 当选①②时:,解得, 所以的通项公式. 选①③时:,解得, 所以的通项公式. 选②③时:,解得, 所以的通项公式. （2）由(1)知,, 所以, 所以 . 20．（15分）已知数列的前项和，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列前项和为，求的最大值. 【答案】(1)；. (2)544 【分析】（1）通过求首项，再利用推导递推关系，确定等比数列后得，结合等差数列通项公式基本量运算可得，即可得； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而利用二次函数性质分析最值. 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式作差得，，即， 当时，，得， 则由以上递推关系可知，故， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； 设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以. （2）由（1）可知：， 则， 当或时，取到最大值为． 21．（15分）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列． (1)若数列是“”数列，求的值； (2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； (3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据可直接得到结果； （2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得； （3）根据题意，得，利用换元转化为方程的问题即可求得结果. 【详解】（1）数列是“”数列， ． （2）正项数列是“”数列，， ，即，又，故，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， （3）由“”数列定义知：， 则， ， ， ，令， 故在有解， 当时，不符合； 当时，令，图象为开口向上的抛物线，此时，此方程有解； 当时，对称轴，所以在上无解， 即实数的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C[D] 9[A][B][CD] 2[A[B][C[D] 6[AB][C][D] 10[A]B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A]B][C]D] 双闻 4[A]B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共25分） 12 13 14 15 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(12分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．__________ 12．_________ _________ 13．_________ 14．________ _________ 15. ___________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B A C D C B A D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 0.7/ 12． / 13． 14． 48 384 15①④ 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分） 【详解】（1）甲、乙、丙都通过测试的概率为.（4分） （2）甲未通过且乙、丙通过测试的概率为.（8分） （3）甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为.（12分） 17．（14分） 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得，解得或（舍去）， 所以，；（6分） （2） .（14分） 18．（14分） 【详解】（1）设“对食堂饭菜质量满意”为事件A． 在200人中对饭菜质量满意的有130人， .（4分） （2）分层抽取比例 男生抽取人，女生抽取人 抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2        -                                   -                                 - X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望.（14分） 19．（15分） 【详解】（1）由于是等差数列,设公差为, 当选①②时:,解得, 所以的通项公式. 选①③时:,解得, 所以的通项公式. 选②③时:,解得, 所以的通项公式.（7分） （2）由(1)知,, 所以, 所以 .（15分） 20．（15分） 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式作差得，，即， 当时，，得， 则由以上递推关系可知，故， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； 设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以.（8分） （2）由（1）可知：， 则， 当或时，取到最大值为．（15分） 21．（15分） 【详解】（1）数列是“”数列， ．（4分） （2）正项数列是“”数列，， ，即，又，故，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， （9分） （3）由“”数列定义知：， 则， ， ， ，令， 故在有解， 当时，不符合； 当时，令，图象为开口向上的抛物线，此时，此方程有解； 当时，对称轴，所以在上无解， 即实数的取值范围为．（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章+选择性必修第三册第五章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 2．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 3．已知随机变量，且，则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 4．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．在等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，第一次随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个；第二次再从盒中随机取出1个球，则第二次取出的是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知是公比的无穷等比数列，其前n项和为，则“，”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 10．已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（    ） A．可能为等差数列 B．中最大的项为 C．存在最大值 D．的最小值为36 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．假设，且与相互独立，则__________． 12．已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 13．记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则___________；数列所有项的和为___________． 15．若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的有 ①．首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 ②．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1） ③．若数列满足，则数列是有限稳定数列 ④．若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响． (1)求甲、乙、丙都通过测试的概率； (2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率； (3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率． 17．（14分）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．（14分）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 (1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； (2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望． 19．（15分）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 20．（15分）已知数列的前项和，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列前项和为，求的最大值. 21．（15分）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列． (1)若数列是“”数列，求的值； (2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； (3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $