精品解析：湖南邵阳市第十中学2025-2026学年下学期九年级 模拟数学试题（3月）

2025-2026学年下学期九年级3月模拟数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个数：2，，，，其中最小的数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 根据负数小于正数,比较负数即可. 【详解】解：， 最小的数是： 故选：B 2. 年初，马鞍山市常住人口为万人，其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示，先将万还原，再写成形式即可得到答案． 【详解】解：万， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. a+a＝2a B. a÷a＝a C. a•a＝a D. （2ab）＝6ab 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂除法，同底数幂乘法和积的乘方进行判断即可. 【详解】A、原式不能合并，错误； B、原式＝a4，错误； C、原式＝a5，正确； D、原式＝8a3b6，错误， 故选C． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的运算是解题的关键. 4. 甲、乙两名运动员六次射击测试的成绩（单位：环）如表所示，如果两人测试成绩的中位数相同，那么“？”表示的是（　　） 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先求出甲成绩的中位数，根据两人中位数相同得到乙的中位数，再列方程计算未知成绩即可． 【详解】解：∵甲的成绩从小到大排序为6，7，8，8，9，9，共6个数据，数据个数为偶数， ∴甲成绩的中位数为第3个和第4个成绩的平均数，即， ∵两人测试成绩的中位数相同， ∴乙成绩的中位数也为8， 设？表示的成绩为环， ∵乙已知成绩从小到大排序为5，6，9，9，10， ∴不能小于6也不能大于8， ∴加入从小到大排序为5，6，，9，9，10， ∴， 解得． 5. 如图，在四边形中，，，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质，“两直线平行，内错角相等”，三角形内角和定理， 先根据三角形内角和定理求出，再根据“两直线平行，内错角相等”求出，然后根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 6. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形及中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐个选项判断即可． 【详解】解：选项，该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，选项正确； 选项，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误． 故选：． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为 ， 故选：D． 8. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 9. 在菱形中，，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用到的知识点是三角形的面积与反比例函数系数的关系，由点B在的图象上可得出，由点A在的图象上可得出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴， 故选B 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，利用提公因式法分解． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 写一个大于且小于整数：___________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小方法是解题的关键；先估算出与的取值范围，进而可得出结论； 【详解】解：∵， ， ， ， 一个大于且小于的整数是2， 故答案为：2（答案不唯一） 13. 如图，在中，，，，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系． 14. 若一次函数和（为常数且）的图象相交于点，则关于，的方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，把A坐标代入求出m的值，确定出一次函数和的图象相的交点A的坐标，即可求出方程组的解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， 则关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 15. 如图，中，，，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点D，E是上的动点，F是边上的动点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由作图作法得出是的平分线，再根据垂线段最短，作于F，交于E，此时，值最小，最小值为，再根据勾股定理与三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：过点B作于F，交于E，连接，如图， 根据垂线段最短，此时，值最小，最小值为， 理由：由作图可知，是的平分线， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直平分， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， ∵ ∴ ∴ 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作已知角的平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积．由垂线段最短得出于F，交于E，此时值最小是解题的关键． 16. 二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数与x轴的交点可设解析式为，从而得到，，由与y轴交点范围可得的范围，进而求出的范围，再结合开口方向、对称轴及函数性质判断各结论即可． 【详解】解：二次函数图象与x轴交于点，， 设解析式为， 则，， 由于二次函数图象与y轴的交点在与之间， 则，即， 解得，故结论④正确； 对于结论①：，，，则，故①错误； 对于结论②：当时， 由得，当时，， 则，故②正确； 对于结论③：对称轴为直线，抛物线开口向上， 由且，得，点离对称轴比点更远， 则，故③正确； 对于结论⑤：考虑函数， 由于，为开口向上的抛物线， 顶点在， 则，当时取等号， 故，不一定大于，故⑤错误； 综上，正确结论为②、③、④． 故答案为：②③④． 三．解答题（本大题共8个小题，第17，18题每小题9分，第19，20题每小题9分，第21，22题每小题9分，第23，24题每小题9分，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂，二次根式的性质，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值进行化简，然后合并求解即可． 【详解】解： 18. 先将化简，再从四个数字选取一个你认为合适的m的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，提公因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意去m的值时要使原式有意义． 根据分式的乘除运算法则将原式化简，取一个使原式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ∴且 ∴m的值取2， 则原式 19. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，O是AB的中点，连接DO，过点A作AE//DB，交DO的延长线于点E，连接BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）直接写出图中与三角形ABD全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）图中所有与△ABD全等的三角形有△CBD，△EDB，△DEA，△BAE． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定求出△AEO≌△BDO，求出OD=OE，根据平行四边形的判定得出四边形AEBD是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质，等腰三角形的性质可得AD=BE=DC，AB=BC=DE，BD=AE，再利用SSS可证明三角形全等． 【详解】（1）证明：∵AE∥BD， ∴∠OAE=∠OBD， ∵O为AB的中点， ∴OA=OB， 在△AEO和△BDO中， ， ∴△AEO≌△BDO（ASA）， ∴OD=OE， ∵OA=OB， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）解：∵四边形AEBD是矩形，AB=BC，BD平分∠ABC， ∴AD=BE=DC，AB=BC=DE，BD=AE， ∵AD=DC，AB=BC，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∵AD=BE，AB=DE，BD=BD， ∴△ABD≌△EDB（SSS）， ∵AD=AD，AB=DE，BD=AE， ∴△ABD≌△DEA（SSS）， ∵AD=BE，AB=DE，BD=AE， ∴△ABD≌△BAE（SSS）， ∴图中所有与△ABD全等的三角形有△CBD，△EDB，△DEA，△BAE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、矩形的判定和等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的性质是解题关键． 20. 重庆市红色旅游景点众多，例如歌乐山烈士陵园、红岩革命纪念馆、刘伯承同志纪念馆、聂荣臻元帅陈列馆等等，某学校为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各50名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：，B组：，C组：，D组：，x表示问卷测试的分数，大于20分为优秀），其中男生得分处于C组的得分情况分别为：21，22，22，22，22，22，23，23，24，24，24，25，25，25． 男生、女生得分的平均数、中位数、众数、优秀人数百分比如表所示： 组别 平均数 中位数 众数 优秀人数所占百分比 男 20 m 22 女 20 23 20 n （1）填空：______，______，并补全条形统计图． （2）根据以上数据，你认为男生和女生对重庆历史文化了解哪个更好？请说明理由（一条即可）． （3）已知该校初三年级共有男生450人，女生400人，请估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于C组总人数． 【答案】（1）； （2）生了解更好，理由见解析 （3）246人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，正确读懂统计图． （1）利用中位数的定义即可求得m的值；利用女生得分的条形图求得女生得分为优秀的人数，进而求得优秀率n的值； （2）利用中位数的特点即可求解； （3）用样本中男生和女生各自C组所占的百分比乘以各自的总人数，然后相加即可求解． 【小问1详解】 解：把男生得分从低到高排列，处在第25名和第26名的分数为24分，25分， ∴男生成绩的中位数为分， ∴； ， ∴女生优秀人数所占百分比为， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：男生了解更好，理由如下： 从中位数来看，男生得分的中位数分大于女生得分的中位数23分， ∴男生对历史文化了解更好； 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于C组的总人数为246人． 21. 【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高100元； 素材二：购买3个种书架和2个种书架共需要2300元： 素材三：种书架的数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 （1）求两种书架的单价； （2）设购买个种书架，购买书架的总费用为元，试求出总费用最少时的购买方案． 【答案】（1）A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元 （2）总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，根据有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元；购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买a个A种书架，则购买个B种书架，根据A种书架的数量不少于B种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再求出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元， 依题意，得 解得 ∴A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元 【小问2详解】 解：设购买a个A种书架，则购买个B种书架， ∵A种书架的数量不少于B种书架数量的， ∴ 解得 依题意，购买书架的总费用为元， ∴ ∵ ∴w随a的增大而增大 当时，w取得最小值， 此时， 答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个． 22. 如图，厦门某中学数学兴趣小组决定测量一下教学楼的高度，他们先在坡面上的E处测得楼顶A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚C处，分别测得楼顶A的仰角为，E的仰角为，E到地面BF的距离为，求教学楼的高度．(结果精确到，参考数据：，) 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，作于点G，则，四边形为矩形，则．设，则，求出，得到．在中，得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：作于点G，则，四边形为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 设，则． 在中， ∵， ∴ ∴． 在中，∵， ∴， 解得． ∴． 答：教学楼AB的高度约为 23. 根据以下情境信息，探索完成任务． 公路涵洞改造方案的设计与解决 情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）． 情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变． 改造方案 方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式 问题解决 任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径． 任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）． 【答案】任务一： 任务二： 任务三：最大值分别为2.4和2.9 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式求解，垂径定理，勾股定理以及线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 任务一：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得出，结合算出抛物线的表达式； 任务二：设圆心为，劣弧所在圆半径为，连结交于点，连结．得出垂直平分，，，在中用勾股定理即可求解； 任务三：（1）按方案一改造．当时，求出，即可求解． （2）按方案二改造．由题意知改造后为双向车道，且隔离带宽为，作于点．由任务二知半径．求出时，的值，在中由勾股定理求出，即可求解； 【详解】任务一：解：如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，， ， 故设抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：． ． 任务二：解：如图，设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结． 由题意得垂直平分， ， ，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 即劣弧所在圆的半径为． 任务三： （1）按方案一改造． 解：当时，， 解得：． ． 从而的最大值为2.4． （2）按方案二改造． 解：如图，由题意易知改造后为双向车道，且隔离带宽为， ， 作于点． 由任务二知半径． 当时，． 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 从而的最大值为2.9． 综上所述，的最大值分别为2.4和2.9． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为，，且满足． （1）求点B、点C的坐标； （2）的顶点在轴的正半轴上，，的高交轴于点，点的坐标为，求证； （3）在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点A的坐标为 （3）存在，符合条件的t值为或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定、轴对称的性质，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，，根据即可证明； （3）分2种情况讨论：①点N在上；②点N在轴负半轴上，利用轴对称的性质列出方程，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当点N在上时，， ∴， ∵关于x轴对称， ∴， ， 解得； ②当点N在轴负半轴上时，， ∵关于y轴对称， ∴， ， 解得； ∴综上所述，存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形，符合条件的t值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期九年级3月模拟数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个数：2，，，，其中最小的数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 年初，马鞍山市常住人口万人，其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（　　） A. a+a＝2a B. a÷a＝a C. a•a＝a D. （2ab）＝6ab 4. 甲、乙两名运动员六次射击测试的成绩（单位：环）如表所示，如果两人测试成绩的中位数相同，那么“？”表示的是（　　） 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，在四边形中，，，，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 8. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在菱形中，，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 10. 双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：__________． 12. 写一个大于且小于的整数：___________． 13. 如图，在中，，，，则的值是___________． 14. 若一次函数和（为常数且）的图象相交于点，则关于，的方程组的解为________． 15. 如图，中，，，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点D，E是上的动点，F是边上的动点，则的最小值为________． 16. 二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 三．解答题（本大题共8个小题，第17，18题每小题9分，第19，20题每小题9分，第21，22题每小题9分，第23，24题每小题9分，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 18. 先将化简，再从四个数字选取一个你认为合适的m的值代入求值． 19. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，O是AB的中点，连接DO，过点A作AE//DB，交DO的延长线于点E，连接BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）直接写出图中与三角形ABD全等的三角形． 20. 重庆市红色旅游景点众多，例如歌乐山烈士陵园、红岩革命纪念馆、刘伯承同志纪念馆、聂荣臻元帅陈列馆等等，某学校为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各50名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：，B组：，C组：，D组：，x表示问卷测试的分数，大于20分为优秀），其中男生得分处于C组的得分情况分别为：21，22，22，22，22，22，23，23，24，24，24，25，25，25． 男生、女生得分的平均数、中位数、众数、优秀人数百分比如表所示： 组别 平均数 中位数 众数 优秀人数所占百分比 男 20 m 22 女 20 23 20 n （1）填空：______，______，并补全条形统计图． （2）根据以上数据，你认为男生和女生对重庆历史文化了解哪个更好？请说明理由（一条即可）． （3）已知该校初三年级共有男生450人，女生400人，请估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于C组的总人数． 21. 【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高100元； 素材二：购买3个种书架和2个种书架共需要2300元： 素材三：种书架数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 （1）求两种书架的单价； （2）设购买个种书架，购买书架的总费用为元，试求出总费用最少时的购买方案． 22. 如图，厦门某中学数学兴趣小组决定测量一下教学楼的高度，他们先在坡面上的E处测得楼顶A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚C处，分别测得楼顶A的仰角为，E的仰角为，E到地面BF的距离为，求教学楼的高度．(结果精确到，参考数据：，) 23. 根据以下情境信息，探索完成任务． 公路涵洞改造方案的设计与解决 情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）． 情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变． 改造方案 方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式 问题解决 任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径． 任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为，，且满足． （1）求点B、点C的坐标； （2）的顶点在轴的正半轴上，，的高交轴于点，点的坐标为，求证； （3）在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $