湖南吉首市第三中学2025-2026学年下学期3月月考九年级数学中考模拟试题

湖南省吉首市第三中学2025-2026学年下学期3月月考九年级数学中考模拟试题 （考试时间：120分钟，满分120分） 注意事项： 答题前，将姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上，核对条形码信息； 选择题用2B铅笔填涂，修改时擦净痕迹；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写； 草稿纸、试题卷作答无效，答题卡不得折叠、涂改。 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分） 1．下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（    ） A．购进kg苹果与卖出kg苹果 B．高出海平面m与低于海平面m C．向东走m和向西走m D．飞机上升m与飞机前进m 2．根据国家旅游局数据中心综合测算，今年国庆假期全国共接待游客约826000000人次， 将826000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ）． A．2a2＋3a3＝5a5 B．a2 ·a3＝a6 C．（a2）3＝a6 D．a4÷a2＝a6 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列关于几何图形的性质中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．正方形的对角线相等 D．平行四边形的对角线相等且平分 7．如图，A、B、C三点在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是：24，25，23，22，24，26，24，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，22 B．24，23 C．23，24 D．24，24 9．如图，为的弦，，且，若点M、N分别是、的中点，则长的最大值是（　　）    A．4 B．5 C． D． 10．若点在第二象限，点到轴的距离是7，到轴的距离是3，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分） 11．比较大小：__________（填“”或“”） 12．不透明的袋子里装有5只红球，3只白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1只球．则摸出可能性较大的是___球（填颜色）． 13．在一个不透明的布袋中装有3个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一球，摸到黄球的概率是，则黄球有_______个． 14．若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为________ 15．关于的一元二次方程有两个相等的实数根．则的值为__________． 16．已知y是x的反比例函数，并且当时，，求当时，________． 17．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 18．一个立方体木箱沿斜面下滑，木箱下滑至如图所示位置时，．已知木箱高，，则木箱端点E距地面高度约为 ________m．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）．（参考数据：） 三、解答题（本大题共8个小题，19、20每题4分，21、22题每题6分，23题8分，24题10分，25题12分，26题16分，共66分） 19．计算：； 20．（1） （2）先化简，再将代入求值． 21．综合与实践 【项目背景】 经历风雨洗礼，走过峥嵘岁月，我们迎来了中华人民共和国周年的喜庆时刻．却顾所来径，苍苍横翠微.历史是最好的教科书，只有了解我们民族的苦难，才能读懂新中国的非凡．为了提高同学们的历史素养，某中学举行党史知识竞赛． 【数据收集与整理】 学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 任务1：本次调查的样本容量是______，圆心角______度． 【数据分析与运用】 任务2：补全条形统计图（标上数字）． 任务3：已知该中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数． 22．如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．    (1)试判断四边形的形状，并证明． (2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明． 23．研学是一种走出校门开展研究性学习和旅行体验相结合的校外实践活动．某学校拟向公交公司租借、两种客车共12辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加研学活动．其中，若每位老师带队20名学生，则还剩35名学生没老师带：若每位老师带队22名学生，就有一位老师少带5名学生． (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)若要求型车的数量不少于型车的2倍，型车的租金为600元/辆，型车的租金为450元/辆，那么租借型车多少辆时，可使支付的租车费用最低？并求出最低费用． 24．平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：． (1)当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由． 25．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，写出抛物线的解析式并求出顶点坐标； (2)如图，当时，抛物线与直线交于和点，在直线下方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在求出点的坐标并求出面积的最大值； (3)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 26．在学习了“角平分线的性质”后，刘老师说，如图1，我们已经知道了，若点P为上一点，过点P作于E，过点P作于F，则；那么，如图2、同理、若点P为平分线上一点，点E，F分别为上任一点，且，和是否还有以上结论呢？请同学们研讨． 小明经过思考得到以下过程： ∵平分，∴，…依据1 又∴，， ∴，…依据2 ∴； 请根据小明的思考，完成下列任务： (1)依据1为______； 依据2为______； (2)如图3，四边形中，若，与的平分线交点E恰好落在上，求证：点E为的中点； (3)在（2）的条件下，若，，当中有一个内角为时，直接写出的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省吉首市第三中学2025-2026学年下学期3月月考九年级数学中考模拟试题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C D D C D C C 1．B 【分析】相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义相反；二是它们都具有数量． 【详解】解：A：卖出kg苹果相当于购进kg苹果，不符合题意； B：高出海平面m与低于海平面m是具有相反意义的量，符合题意； C：向东走m相当于向西走9m，不符合题意； D：飞机的上升和下降，前进和后退具有相反意义．上升和前进不具有相反意义，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查具有相反意义的量．掌握相关定义是解题关键． 2．C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将826000000用科学记数法表示应为； 故选C． 3．B 【分析】根据三视图的概念判断即可. 【详解】A．球的俯视图是圆，故本选项错误； B．正方体的俯视图是正方形，故本选项正确； C．圆锥的俯视图是圆，故本选项错误； D．圆柱的俯视图是圆，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图．空间想象能力是解决本题的关键. 4．C 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法法则分别对各项进行计算得出结果再判断即可． 【详解】解：A. 2a2与3a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B. a2 ·a3＝a5，原选项错误，故不符合题意； C. （a2）3＝a6，计算正确，故此选项符合题意； D. a4÷a2＝a2，原选项错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解答此题的关键． 5．D 【分析】本题考查了二次根式的运算， 根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A： 成立的条件是 且 ．题目未限定 的范围，若 为负数时等式不成立，故 A错误，不符合题意； 选项B：对分母有理化：，故 B计算错误，不符合题意； 选项C：，故 C计算错误，不符合题意； 选项D：，故 D计算正确，符合题意． 故选D． 6．D 【分析】本题考查矩形、菱形、正方形及平行四边形的对角线性质，需根据各图形的定义和性质逐一判断． 【详解】A. 矩形的对角线相等．正确，矩形是特殊的平行四边形，其对角线相等且平分． B. 菱形的对角线互相垂直且平分．正确，菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角． C. 正方形的对角线相等．正确，正方形既是矩形又是菱形，其对角线相等且互相垂直平分． D. 平行四边形的对角线相等且平分．错误，平行四边形的对角线互相平分，但一般平行四边形（如非矩形的平行四边形）的对角线不相等． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键；根据圆周角定理求解即可． 【详解】解： ， 故选：． 8．D 【分析】先把这组数据从大到小排列，再根据中位数和众数的定义，即可求解． 【详解】解：把这组数据从大到小排列为26，25，24，24，24，23，22， ∴中位数为24， 24出现3次，出现次数最多， ∴众数为24． 故选：D 【点睛】本题主要考查了中位数和众数的定义，熟练掌握中位数是把一组数据从大到小（或从小到大）排列，位于正中间的一个数或两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键． 9．C 【分析】 连接并延长交于点，连接，根据中位线定理得到当取得最大值时，就取得最大值，结合圆周角定理及勾股定理即可得到答案； 【详解】 解：如图，∵点M、N分别是、的中点， ∴，    ∴当取得最大值时，就取得最大值， 连接并延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴长的最大值为， 故选：C； 【点睛】 本题考查三角形中位线定理，勾股定理及圆周角定理，解题的关键是根据作出辅助线，找到最大线段． 10．C 【分析】本题考查了点的坐标，理解点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键，根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度结合第二象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点在第二象限，点到轴的距离是7，到轴的距离是3， ∴点P的横坐标是，纵坐标是7， ∴点P的坐标为． 故选：C． 11．＞ 【分析】先化简，然后比较大小． 【详解】，， ＞， 因此，＞， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小． 12．红 【分析】分别计算出摸出的是红球和白球的概率，然后根据概率的大小进行判断． 【详解】解：从中任意摸出1只球．摸出的是红球的概率=， 摸出的是白球的概率=， 而>， 所以摸出的是红球的可能性大于摸出的是白球的可能性． 故答案为：红． 【点睛】本题考查了可能性的大小：某事件的可能性等于所求情况数与总情况数之比． 13．9 【分析】根据概率公式列方程求解即可. 【详解】解：根据题意得：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 14．或 【分析】等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论． 【详解】解：分两种情况： 当的角是底角时，则顶角度数为； 当的角是顶角时，则顶角为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解答问题的关键． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：， 故答案为：． 16．3 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟练的求解解析式是解本题的关键．首先设出函数解析式，再利用待定系数法把，代入解析式求得k的值，得到函数解析式后，再根据解析式和x的值，求得y的值． 【详解】解：设函数解析式为：， 把，代入，得， ∴． 把代入， 故答案为：3． 17．①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 18． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角形中边角关系．过E作交于H，交于G，求出，即可得到答案． 【详解】解：过E作交于H，交于G，如图， 由题意可得， ，，，且为， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 19． 【分析】先计算二次根式，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再计算加减即可． 【详解】 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．（1）7；（2）；1 【分析】（1）根据算术平方根的定义、60°的余弦值、负指数幂的性质和零指数幂的性质计算即可； （2）先根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可． 【详解】解：（1） = =7 （2） = = = 将代入，得 原式==1． 【点睛】此题考查的是实数的混合运算和分式的化简求值题，掌握算术平方根的定义、60°的余弦值、负指数幂的性质、零指数幂的性质和分式的各个运算法则是解决此题的关键． 21．任务1：，；任务2：见解析；任务3：人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确算出样本容量是解题关键． （1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量后得出优异学生人数的占比，进而求出对应的圆心角度数； （2）求出成绩优秀人数，补全统计图即可； （3）由总人数乘以优异等级学生的占比即可得出结论． 【详解】解：任务1：本次调查的样本容量是， 圆心角， 故 答 案 为：，； 任务2：优秀的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 任务3：（人）， 答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为人． 22．(1)四边形是平行四边形，证明见解析； (2)，证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的判定方法得出即可； （2）首先认真读题，理解题意．密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角，据此需要判定中点四边形为菱形，进而由中位线定理判定四边形的对角线垂直． 【详解】（1）解：平行四边形， 理由： ∵将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）对角线时，密铺后的平行四边形为矩形． 理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角． 如图所示，    连接、、、，设与交于点O， 连接、， 由中位线定理得：，且， ，且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴中点四边形为菱形， ∴， 故要镶嵌后的平行四边形为矩形， 则四边形需要满足的条件为． 【点睛】本题考查图形剪拼与中点四边形．解题关键是理解三角形中位线的性质，熟练应用矩形、菱形等特殊四边形的判定与性质． 23．(1)参加此次研学活动的老师有20人，学生435人 (2)租借型车4辆时，支付的租车费用最低，最低费用为6600元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用， （1）设参加此次研学活动的老师有人，找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）设租型车辆，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；根据租金与车辆得到总租车费用，正确利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有人，根据题意得 解得： 答：参加此次研学活动的老师有20人，学生435人． （2）设租型车辆，依题意得 解得：． 设租车费用为元，则 ， ， 的值随值的增大而减小， 当时，的值最小，最小值为6600． 答：租借型车4辆时，支付的租车费用最低，最低费用为6600元． 24．(1)成立，见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过B作于点H，可证，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作，交的延长线于点G，，通过线段的等量代换可得答案． 【详解】（1）解：仍成立， 证明：如图，过B作于点H， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，，， ∴； （2）解：不成立，线段、、之间的数量关系为：， 证明：如图，过点B作，交的延长线于点G， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴． 25．(1)，顶点； (2)， (3)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的对称性，最值问题，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，根据顶点式得到顶点坐标； （2）先求出点B坐标，进而求出直线的解析式，作轴交于点H，设，则，根据即可求解； （3）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 抛物线的解析式为，顶点； （2）解：当时，， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 如图，作轴交于点H， 设，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时点P的纵坐标为， ，的最大值为； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： 当时，如图： ，，，且当时，y随x的增大而增大， ， 解得， 又， ； 当时，如图： 由题意得关于对称轴对称的点的坐标为， ，，，且当时，y随x的增大而减小， ， 解得， 又， ； 综上可知，a的取值范围为或． 26．(1)角平分线的定义； (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再由边角边即可证明得到； （2）在上截取，连接，先证明，得到，再证明，得到，即E为的中点； （3）先证明，再利用勾股定理推出；延长交于点H，证明，得到，则，，证明，得到，，，①若时，则，则（不合题意舍去），②若时，则，过点D作于M，于N，利用面积法求出，则；③若时，过点E作于F，解直角三角形得到，再由勾股定理得到，，证明，得到，则． 【详解】（1）∵平分， ∴（角平分线的定义） 又∴，， ∴， ∴； 故答案为：角平分线的定义；； （2）证明：如图1，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即E为的中点； （3）解：由（2）可证，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线和的平分线交于边上点E， ∴，， ∴2， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 如图2，延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，， ①若时，则，∴（不合题意舍去）， ②若时，则， 如图2，过点D作于M，于N， ∴， ∵， ∴， ∴； ③若时，如图3，过点E作于F， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故面积为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，勾股定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $