6.3.1二项式定理讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1二项式定理 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1．二项式定理的概念： 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的________．其中的系数称为第项的________系数．式中的叫二项展开式的________，用表示，即通项． 2. 右边展开式的特征： （1）项数为__________. （2）各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为__________. （3）字母按__________排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按__________排列，从第一项起，次数由零逐项增直到. （4）二项式的系数从__________，，一直到，__________. 3．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ 4．二项式与的展开式中第项是否相同？请说明理由 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 2．化简（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 4．若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 5．对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．的展开式中共有6项. B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同. C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等. D．的展开式中系数为有理数的项共有四项. 6．已知的展开式中没有项，，则的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．设，则（   ） A．7 B．14 C．6 D．13 8．若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若的展开式中存在含的项，则的值可能是（   ） A．6 B．11 C．15 D．20 10．对于，下列判断正确的是（    ） A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，使得展开式中有常数项 C．对任意，展开式中不含项 D．存在，使得展开式中含项 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则实数_____ 13．展开式中的系数为______．（答案用数字作答） 14．若的展开式中第4项为160，则__________. 四、解答题 15．已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 16．化简下列式子： (1)； (2)． 17．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 18．求的展开式中含的项． 19．求多项式的展开式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1二项式定理 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1．二项式定理的概念： 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的________．其中的系数称为第项的________系数．式中的叫二项展开式的________，用表示，即通项． 【答案】 展开式 二项式 通项公式 2. 右边展开式的特征： （1）项数为__________. （2）各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为__________. （3）字母按__________排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按__________排列，从第一项起，次数由零逐项增直到. （4）二项式的系数从__________，，一直到，__________. 【答案】 降幂 升幂 3．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ 【答案】不一定相同，理由如下 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念． 二项式系数是指，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与的系数有关． 当的系数都是1时，如，展开式中二项式系数与系数相同， 当的系数不都是1时，二项式系数与系数不相同. 4．二项式与的展开式中第项是否相同？请说明理由 【答案】不一定相同，理由如下 的展开式中的第项为，的展开式中的第项为， 当或时，两者相等；当且a，b不相等时，两者不相等， 所以二项式与的展开式中第项不一定相同. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【知识点】求二项展开式 【分析】先将利用二项式定理展开，然后根据等式确定和的值即可得到答案. 【详解】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． 2．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式 【分析】逆用二项式定理化简. 【详解】 ． 故选：B 3．的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】的展开式中的第4项为. 故选：A. 4．若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【知识点】求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数为0，求出，再由常数项为解得. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得，所以，即，， 又，故． 5．对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．的展开式中共有6项. B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同. C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等. D．的展开式中系数为有理数的项共有四项. 【答案】D 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数、二项展开式的应用 【分析】根据二项展开式的性质及通项公式逐项判断即可. 【详解】由，可知展开式共7项，故A错误； 展开式中的第四项为，的展开式中的第四项为，相同，故B错误； 因为展开式的通项公式为，所以第一项的系数为8，第二项的系数为，不相等，故C错误； 展开式的通项公式为，当系数为有理数时，，共四项，故D正确. 故选：D 6．已知的展开式中没有项，，则的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项、根据二项式的第k项求值 【分析】将条件转化为的展开式中不含常数项，不含项，不含项，然后写出的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为的展开式中没有项， 所以的展开式中不含常数项，不含项，不含项 的展开式的通项为： 所以当取时，方程无解 检验可得 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项. 7．设，则（   ） A．7 B．14 C．6 D．13 【答案】D 【知识点】多项式的展开式 【分析】等式两边同时求导，利用赋值计算即可. 【详解】令可得， 对两边同时求导得: ， 令有，， 所以. 故选：D 8．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、二项展开式的应用 【分析】通过变量替换将原式转化为二项式标准形式，再利用二项式定理直接求出 项的系数. 【详解】已知， 令，则，代入原式得：， 因此：， 根据二项式定理：， 我们需要项的系数，即时：， 计算得：， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．若的展开式中存在含的项，则的值可能是（   ） A．6 B．11 C．15 D．20 【答案】ABD 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式展开式的通项公式结合题意求得正确答案. 【详解】由题意得展开式的通项， 展开式的通项， 要使的展开式中存在含的项， 则或，即或，其中， 所以的值可能是，不可能的是. 故选：ABD. 10．对于，下列判断正确的是（    ） A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，使得展开式中有常数项 C．对任意，展开式中不含项 D．存在，使得展开式中含项 【答案】BD 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】写出展开式的通项，逐项判断即可. 【详解】的展开式的通项为， 令，得，即当是7的整数倍时，有常数项，故A错误，B正确； 令，取，此时展开式中含项，故C错误，D正确. 故选：BD. 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】二项展开式各项的系数和、求二项展开式 【分析】解法一：利用赋值罚，逐项求解即可. 解法二：根据二项式定理求出展开式，再逐一判断即可. 【详解】解法一：令，则； 令，则，所以，故A错误； 令，则， 所以，故B正确； 展开式的通项公式为， 所以， 所以，故D错误； 对两边求导得 ，再令，得，故C正确. 解法二： ， 又， 所以， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．已知，则实数_____ 【答案】 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 13．展开式中的系数为______．（答案用数字作答） 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题、求二项展开式 【分析】根据题意利用二项展开式的通项公式，分析运算． 【详解】对的二项展开式的通项为， 对的二项展开式的通项为， 由题意可得： 当时，， 则令，则， ∴的系数为； 当时，， 则令，则， ∴的系数为； 当时，， 则令，则， ∴的系数为； 综上所述：的系数为：. 故答案为：. 14．若的展开式中第4项为160，则__________. 【答案】 【知识点】根据二项式的第k项求值 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 15．已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求有理项或其系数、求指定项的系数、求二项展开式的第k项、求二项展开式 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. 【详解】（1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 16．化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二项展开式的应用 【分析】通过逆用二项式定理得到，要注意,作为整体考虑. 【详解】（1） . （2） . 17．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)28 (3)2189 【知识点】二项展开式各项的系数和、求二项展开式的第k项、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）利用赋值法令即得的值； （2）项的系数来源有两部分，一是乘以的二次项，二是1乘以的三次项，由二项式定理展开，即可得到的值； （3）利用赋值法令可得系数之和，令可得奇偶项系数之差，两式相加再除以2即可得答案. 【详解】（1）采用赋值法，令，得； （2）展开式的通项， 项的系数来源有两部分，一是乘以的二次项，二是1乘以的三次项， 所以，； （3）仍然采用赋值法，令，可得，① 令，可得，② 两式相加可得，． 18．求的展开式中含的项． 【答案】 【知识点】组合数的性质及应用、多项式的展开式 【分析】根据二项展开式的形式，以及组合数的性质，即可求解. 【详解】由， 可得展开式中含的项为： . 19．求多项式的展开式． 【答案】 【知识点】求二项展开式、多项式的展开式 【分析】由，利用二项式定理即可求解； 【详解】， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $