精品解析：安徽省合肥四十五中本部2025-2026学年九年级下学期期初学情自测试卷

2025-2026学年九年级（下）期初学情自测试卷 一．选择题（满分40分，每小题4分） 1. 下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列博物馆图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. 在反比例函数图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A、B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支撑点C到端点B的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 9 C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为2，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 二．填空题（满分20分，每小题5分） 11. 如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 12. 如图，在中，是直径，于点，，则的度数为_______ °． 13. 如图，、是反比例函数在第一象限内图象上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，轴．若，且的面积为，则的值为____． 14. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法： ①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为，其中正确的是____________． 15. 若抛物线与轴的交点为与，则抛物线的对称轴为直线___________. 三．解答题 16. 计算： 17. 已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点顺时针旋转后得到的，请直接写出点B的对应点的坐标为 ； （2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出并求其面积． 四．解答题 18. 如图，在等腰中,交于两点，半径于H． （1）求证：； （2）若，求的半径． 五．解答题 19. 如图，在中，，，点是的中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某商店以每台40 元的价格购进一批小家电，如果以每台 50 元出售，那么一个月内能售出 500 台，根据以往销售经验，销售单价每提高 1 元，销售量就会减少 10 台． （1）要使月销售利润达到 8000 元，又要“薄利多销 ”，销售单价应定为多少元？ （2）月销售利润为 W，当月销售单价定为多少元时销售利润最大，最大利润是多少元？ 六．解答题 21. 如图，西安某中学依山而建，校门处有一坡度的斜坡，长度为米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点米远的处有一个花台，在处仰望的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点．求楼顶的高度．（结果保留根号） 七．解答题 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A． （1）如图1，若A点横坐标为1，点在抛物线M上，求t的值； （2）如图2，若，直线，求b变化时点A到直线l的距离最小值； （3）若，当时，求a的取值范围． 八．解答题 23. 借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光… 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． （1）当时， ①如图，若是的直径，则的半径为______； ②如图2，若，求的半径． （2）当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（下）期初学情自测试卷 一．选择题（满分40分，每小题4分） 1. 下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如，注意二次项的系数不能为零． 根据二次函数的定义，需为整式且最高次项为二次，且二次项系数不为零，对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数形式为， 选项A：，含分式，非整式，故不是二次函数，不符合题意； 对于B：，为一次函数，故不是二次函数，不符合题意； 对于C：，即，故是二次函数，符合题意； 对于D：，若，则非二次函数，∴不一定是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列博物馆图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 3. 如图，在中，，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的定义及勾股定理，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 设，根据正切的定义得出，再根据勾股定理即可得出的值，进而可得出的值． 【详解】解：设， ， ， 在中，， 即， 解得：（负值舍去），即， ， 故选：C． 4. 在反比例函数图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限都随的增大而减小；当时，图象在二、四象限都随的增大而增大；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故选：C 5. 2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A、B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支撑点C到端点B的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金比例是解答的关键． 根据黄金分割定义求得即可求解． 【详解】解：∵支撑点C是靠近点B的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项不符合题意； B.该选项不能判定， 该选项符合题意； C.∵， ∴， 又∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】作的垂直平分线交于点，连接，设的垂直平分线交网格线于点，连接， 根据作图可得是过三点的圆的圆心，网格可得则，得出是等腰直角三角形，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接，设的垂直平分线交网格线于点，连接， 根据作图可得是过三点的圆的圆心， 根据网格可得 ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∵ 小正方形的边长为2， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8. 已知在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦，勾股定理是解题的关键．由题意知，，求出的值，然后由勾股定理求线段长即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵ 解得，， 由勾股定理得，， 故选：C． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系．根据二次函数图象求出、、的正负是解决本题的关键．根据二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点，判断出、、的正负，然后根据、、的正负去判断一次函数和反比例函数在坐标系中的位置即可． 【详解】解：由图可知， ，，， ∴， 即， ∵二次函数与轴有两个不同的交点， ∴， ∴一次函数经过一、二、四象限， 当时，， ∴反比例函数经过一、三象限． 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为2，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，连接并延长交于点，由正方形的性质得，，，则，得，由，，证明，则，变形为，而，则，可推导出，则，所以，，可知点在的垂直平分线上运动，当点与点重合时，长的值最小，此时，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，， ， 于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 点在的垂直平分线上运动， ， 当点与点重合时，的值最小，此时， 长的最小值为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二．填空题（满分20分，每小题5分） 11. 如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，找准对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，是直径，于点，，则的度数为_______ °． 【答案】 【解析】 【分析】由得，结合可得，由圆周角定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 13. 如图，、是反比例函数在第一象限内图象上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，轴．若，且的面积为，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理求得，设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用三角形ADO的面积建立方程求出mn=，即可得出结论． 【详解】解：∵轴，轴， ∴AC∥BE ∴ 设点B（3m，3n），则D（m，n），A（m，）， ∴9mn=k， ∴A（m，9n） ∵△ADO的面积为， ∴S△AOD=AD•OC=（9n-n）×m=， ∴mn=， ∴k=9mn=， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 14. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法： ①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为，其中正确的是____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴，得到，，，可判断①结论；由函数图象可知，当时，，可判断②结论；根据当时，有最大值，可判断③结论；根据和点关于对称轴直线对称，可判断④结论． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ，，， ， ，①结论正确； 由函数图象可知，当时，， ， ， ，②结论正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值； 当时，， ， ， ， ， ，③结论错误； 和点满足， 和点关于对称轴直线对称， ， ，， ， ，， ，④结论正确， 故答案为：①②④ 15. 若抛物线与轴的交点为与，则抛物线的对称轴为直线___________. 【答案】3 【解析】 【分析】函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据两根之和公式与对称轴公式即可求解． 【详解】根据两根之和公式可得，即 则抛物线的对称轴： 故填：3. 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式与对称轴公式，熟练掌握公式是关键． 三．解答题 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数计算．将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 17. 已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点顺时针旋转后得到的，请直接写出点B的对应点的坐标为 ； （2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出并求其面积． 【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标． （2） 如图，即为所求， 14 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 本题考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 【小问1详解】 如图，即为所求，点的坐标． 故答案为：； 【小问2详解】 如图，即为所求， 面积=四边形的面积- 四．解答题 18. 如图，在等腰中,交于两点，半径于H． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：在中，，于， ， 是的弦，是半径，且于， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理． （1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得； （2）连接构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， 由（1）知，， 设半径为，则， 在中， 解得：， 的半径为． 五．解答题 19. 如图，在中，，，点是的中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合得出，根据外角性质得出，即可得出； （2）根据中点的定义得出，根据相似三角形的性质得出，即可求出，，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）． 20. 某商店以每台40 元的价格购进一批小家电，如果以每台 50 元出售，那么一个月内能售出 500 台，根据以往销售经验，销售单价每提高 1 元，销售量就会减少 10 台． （1）要使月销售利润达到 8000 元，又要“薄利多销 ”，销售单价应定为多少元？ （2）月销售利润为 W，当月销售单价定为多少元时销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）销售单价应定为元 （2）当月销售单价定为元时销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式或方程是解应用题的关键． （1）设销售单价定为元，根据“总利润单件利润销售量”列出关于的方程，解之可得； （2）根据（1）中所得相等关系列出关于的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得． 【小问1详解】 解：设销售单价定为元， 根据题意，得： 解得： ∵又要“薄利多销”， ， 答：销售单价应定为元； 【小问2详解】 解：根据题意，得： ， ∴当时， 取得最大值，最大值为元， 答：当月销售单价定为元时销售利润最大，最大利润是元． 六．解答题 21. 如图，西安某中学依山而建，校门处有一坡度的斜坡，长度为米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点米远的处有一个花台，在处仰望的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点．求楼顶的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，由坡度设，，利用勾股定理列方程得，得米，设为米，则米，由得米，由，列方程求，代入得，由即可得出． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， 设，， ∵米，， ∴， 解得， ∴米， ∴米， 设为米，则米， ∵， ∴米， ∵，， ∴， 解得， ∴米， ∴米． 【点睛】坡度竖直高度水平长度，应用三角函数时边要对应正确． 七．解答题 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A． （1）如图1，若A点横坐标为1，点在抛物线M上，求t的值； （2）如图2，若，直线，求b变化时点A到直线l的距离最小值； （3）若，当时，求a的取值范围． 【答案】（1）0 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用顶点A横坐标为1，得到，再代入到抛物线即可求解； （2）设直线l分别交轴、轴于点、，过点作于点，作轴交直线l于点，利用一次函数的知识求出、的坐标，利用勾股定理求出的长，利用抛物线顶点式可得顶点A的坐标为，进而表示出的长，再通过证明，得到，代入数据得到的表达式，再利用二次函数的性质求出最小值即可； （3）由题意得，令，解得，；分析可知当时，即，抛物线符合题意；再分2种情况讨论：①当时，抛物线开口向上；②当时，抛物线开口向下，再结合抛物线与轴交点的位置进行分析，即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为1， ， ， 点在抛物线M上， ， 的值为0． 【小问2详解】 解：如图，设直线l分别交轴、轴于点、，过点作于点，作轴交直线l于点，则， 代入到，得， 代入到，则有，解得， ，， ， ， ， 顶点A的坐标为， 代入到，得， ， ， 轴， ， 又， ， ， ， 当时，有最小值， 点A到直线l的距离最小值为． 【小问3详解】 解：， ， 令，则， 解得：，， 当时，即， 此时，当时，符合题意； 当时，抛物线与轴的交点为和， 下面分2种情况讨论： ①当时，抛物线开口向上，此时， 若，则抛物线在的图象在轴下方，不符合题意； 若，即，则抛物线在的图象随着的增大而增大，且满足，符合题意； ； ②当时，抛物线开口向下，此时， 抛物线在的图象在轴上方， 当时， ， 解得：； 综上所述，a的取值范围为或． 八．解答题 23. 借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光… 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． （1）当时， ①如图，若是的直径，则的半径为______； ②如图2，若，求的半径． （2）当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【答案】（1）①；②的半径为 （2）见解析 （3）当时，半径的最小值为；当时，最小值为 【解析】 【分析】（1）①由圆周角定理得，进而可得是等腰直角三角形，即可得出，再利用勾股定理求出即可求解；②过点、作的垂线，垂足分别为、，过点作于，连接、，由等腰直角三角形的性质可得，得出，，由垂径定理得，再根据矩形的性质得出，，设，则，利用勾股定理可得，解方程求出，再利用勾股定理求出即可； （2）过点D作的垂线交于点即可； （3）当以为直径的圆与相切时，可得，再分和两种情况解答即可求解． 【小问1详解】 解：①∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为． ②如图2，过点作于点，过点作于点，作于点，连接、， ∵， ∴在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴⊙O的半径为． 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； ∵过点D作的垂线交于点，， ∴，， ∴为的外接圆的直径， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴与相切于点． 【小问3详解】 解：当时，半径的最小值为；当时，半径的最小值为．理由如下： 如图，以为直径的圆与相切时，，，即， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，可知当与相切时，半径最小，如图，过点作于，的延长线交于点，连接、，则， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， 在中，， ∴ 解得：， ∴的最小值为． 综上所述，当时，半径的最小值为；当时，半径的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $