第19章 8.微专题1 二次根式双重非负性的运用（内文）-【学导练】2026年八年级下册数学课件PPT（人教版）

数学 八年级 下册 配人教版 第十九章 二次根式 微专题1　二次根式双重非负性的运用 1. 二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果 ≥0. 2. 的化简：根据二次根式的性质，==进 行化简． 3. 有关，，的综合运用，解题的关键是将所给的式子化 为非负数的和为0的等式，然后利用非负性求出字母的值． 类型一：利用求值 1. 已知x，y为实数，且y=－＋4，则＋ = ⁠． 2. 已知y=＋＋4，则xy的平方根为 ⁠． 类型二：利用≥0（a≥0）求值 3. 已知（x－3）2＋=0，则4x＋y的算数平方根为 ⁠． 4. 已知与互为相反数，则4x＋y的立方根 为 ⁠． 5 ±2 4 2 5. 阅读下面的解题过程，并回答问题． 化简：（）2－． 解：由1－3x≥0，得x≤． ∴1－x＞0. ∴原式=（1－3x）－（1－x）=1－3x－1＋x=－2x． 按照上面的解法，试化简： －（）2. 类型三：利用隐含条件化简含字母的二次根式 解：∵2－x≥0， ∴x≤2. ∴x－3＜0. ∴原式=－（x－3）－（2－x） =－x＋3－2＋x =1. 6. 已知m为实数，化简：－－m． 解：∵有意义，∴m为负数． ∴原式=m＋ =m＋ =（m＋1）． 7. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图W1－1所示． （1）化简：= ⁠； = ⁠； －a 1－b 类型四：利用数轴化简含字母的二次根式 （2）化简：＋－． 解：（2）由数轴，可知a＜－1，b＞0，＞． ∴a＋1＜0，a＋b＜0. ∴原式=－（a＋1）＋b－［－（a＋b）］ =－a－1＋b＋a＋b =2b－1. 8. 已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图W1－2所示， 化简：＋＋． 解：b2－2ab＋a2=（b－a）2． 由数轴，可知b＜a＜0＜c，且＞＞． ∴b＋c＜0，a－c＜0，b－a＜0. ∴原式=－（b＋c）－（a－c）－（b－a） =－b－c－a＋c－b＋a =－2b． 类型五：化简复合二次根式 9. （综合探究）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些 含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2　=（1＋ ）2.善于思考的小明进行了以下探索：若设a＋b=（m＋ n）2=m2＋2n2＋2　mn（其中a，b，m，n均为整数），则有 a=m2＋2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子 化为平方式的方法． 【问题解决】请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若a＋b=（m＋n）2，当a，b，m，n均为整数时，则 a= ，b= ；（均用含m，n的式子表示） m2＋5n2 2mn （2）若x＋4=（m＋n）2，且x，m，n均为正整数，分别求 出x，m，n的值； 解：（2） ∵x＋4　=（m＋n）2=m2＋3n2＋2　mn， ∴ 又∵m，n均为正整数， ∴ 或 ∴x=12＋3×22=13或x=22＋3×12=7. ∴m=1，n=2，x=13或m=2，n=1，x=7. 【拓展延伸】（3）化简：． （3）∵5＋2=（）2＋2××＋（）2=（＋ ）2， ∴=＋． 谢 谢 ! $