期末复习 第56课时 期末梳理（3）——四边形（内文）-【学导练】2026年八年级下册数学课件PPT（人教版）

这是一份初中数学八年级下册期末复习课件，聚焦“四边形”主题，通过考点突破、变式诊断和基础训练构建学习支架，涵盖多边形内角和、平行四边形及特殊四边形性质判定、三角形中位线等核心内容，包含例题解析与证明题训练。 资料以核心素养为导向，通过几何证明题（如矩形判定、菱形性质）培养推理能力，结合变式题巩固知识迁移，例题标注图形编号增强几何直观，帮助学生用数学语言规范表达。既助力学生系统梳理知识网络，又为教师提供分层教学资源，提升复习效率。八年级学生处于初中知识整合关键期，此资料能夯实几何基础，提升逻辑推理与证明能力，为后续学习及中考复习奠定基础。

数学 八年级 下册 配人教版 第二部分 期末复习 第56课时　期末梳理（3）——四边形 考点一：四边形及其内角和 【例1】如图56－1，在四边形ABCD中，∠A=80°，∠D=110°， 与∠α相邻的外角是70°，则∠β的度数是（　B　） A． 50° B B． 60° C． 70° D． 80° 1. 如图56－2，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形 BCED的外部点A′处时，测量得∠1=65°，∠2=135°， 则∠A′EC为（　B　） A． 20° B． 25° C． 30° D． 32° B 考点二：多边形及其内角和 【例2】填空： （1）十边形的外角和为 ⁠； （2）已知一个正n边形的每个内角都为120°，则n= ⁠； （3）一个凸n边形的内角和为1 260°，则n= ⁠； （4）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的 边数为 ⁠． 360° 6 9 12 2. 填空： （1）正七边形的内角和为 ⁠°； （2）已知一个多边形的每个内角都是135°，则这个多边形的边 数为 ⁠； （3）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则 这个多边形的边数为 ⁠； （4）若一个多边形的内角和与它的外角和的比为7 ∶2，则这个多 边形是 ⁠边形． 900 8 9 九 （1）如图56－3，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠E=130°， ∠C=128°，则∠D= ⁠°； （2）如图56－4，AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则 ∠CAE= ⁠°． 102 45 【例3】填空： 3. 填空： （1）正六边形ABCDEF与正五边形BGHIJ按如图56－5方式摆放， 点A，B，G在一条直线上，则∠JBC的度数为 ⁠； 48° （2）如图56－6，小明从点A出发，前进4 m到点B处后向右转 20°，再前进4 m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下 去，他第一次回到出发点A时，一共走了 ⁠m． 72 考点三： 平行四边形的性质和判定 【例4】如图56－7，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点， 且DE=BF，连接AF，EC． 求证：AF=CE． 证明：在▱ABCD中， ∠B=∠D，AB=CD． 又∵DE=BF， ∴△ABF≌△CDE（SAS）． ∴AF=CE． 4. 如图56－8，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且 ∠1=∠2.求证：四边形BEDF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，DE∥BF． 在△BAE和△DCF中， ∴△BAE≌△DCF（ASA）． ∴AE=CF． ∴AD－AE=BC－CF，即DE=BF． 又∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 考点四：矩形的性质和判定 【例5】如图56－9，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，下列说法错误的是（　C　） A． AB∥DC　 B． AC=BD C． AC⊥BD　 D． OA=OC C 5. 如图56－10，若矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对 角线的长度和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为 （　D　） A． 10 cm B． 8 cm C． 6 cm D． 5 cm 图56－10 D 【例6】如图56－11，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10. （1）求证：四边形ABCD是矩形； （1）证明：∵AB=6，BC=8，AC=10， ∴AB2＋BC2=62＋82=100，AC2=102=100. ∴AB2＋BC2=AC2. ∴∠ABC=90°． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． （2）求BD的长． （2）解：由（1）可得四边形ABCD是矩形． ∴BD=AC=10. 6. 如图56－12，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD 上，CF=AE，连接BF，AF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∵CF=AE， ∴AB－AE=CD－CF，即BE=DF． ∴四边形BFDE为平行四边形． ∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°． ∴四边形BFDE是矩形． （2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD． 证明：（2）∵AD=DF，∴∠DAF=∠DFA． ∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB． ∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠BAD． 【例7】如图56－13，AC为菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点 E． 若∠EAC=25°，则∠ADC度数为 ⁠． 50° 考点五：菱形的性质和判定 7. 如图56－14，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． 若 AC=4 cm，BD=6 cm，则菱形ABCD的面积为 cm2． 12 【例8】如图56－15，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （1）证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB=∠CBD． 又∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD=∠CBD． ∴∠ABD=∠ADB． ∴AB=AD． 同理可得AB=BC． ∴AD=BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形． （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长． （2）解：由（1）可得四边形ABCD是菱形． ∴∠AOD=90°，OD=BD=3. 又∵∠ADB=30°， ∴OA=AD． 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＋OD2=AD2，即 2＋32=AD2. 解得AD=2 ． 8. 如图56－16，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是 CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F， 连接DF． 求证： （1）△ODE≌△FCE； 证明：（1）∵CF∥BD， ∴∠DOE=∠CFE． ∵E是CD的中点，∴CE=DE． 在△ODE和△FCE中， ∴△ODE≌△FCE（AAS）． （2）四边形ODFC是菱形． 证明：（2）由（1）可得△ODE≌△FCE． ∴OD=FC． ∵CF∥BD， ∴四边形ODFC是平行四边形． ∵在矩形ABCD中，OC=OD， ∴四边形ODFC是菱形． 考点六：正方形的性质和判定 【例9】如图56－17，已知四边形ABCD是正方形，直线l经过点 D，分别过点A和点C作AE⊥l和CF⊥l，垂足分别为E和F． 若 DE=2，则图中阴影部分的面积为 ⁠． 2 9. 如图56－18，以正方形ABCD的一边向外作等边三角形ABE， BD与EC交于点F，则∠AFD= ⁠°． 60 【例10】如图56－19，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，过点B作AC的平行线，过点C作DB的平行线，它们相交于点 E． 求证：四边形OBEC是正方形． 证明：∵BE∥OC，CE∥OB， ∴四边形OBEC是平行四边形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC=OB，AC⊥BD． ∴ ∠BOC=90°． ∴四边形OBEC是矩形． 又∵OC=OB，∴四边形OBEC是正方形． 10. 如图56－20，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K 在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF， HF，AH． 求证： （1）AK=AH； 证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG是正方形， ∴AB=AD=DC=BC，GC=EC=FG=EF． ∵DH=CE=BK， ∴HG=EK=BC=AD=AB． ∵∠ADH=∠ABK=90°， ∴△ADH≌△ABK（SAS）． ∴AK=AH． （2）四边形AKFH是正方形． 证明：（2）由（1）可知△ADH≌△ABK． ∴∠HAD=∠BAK． ∴∠HAK=90°． 同理可得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH． ∴AH=AK=HF=FK． ∴四边形AKFH为菱形． 又∵∠HAK=90°， ∴四边形AKFH是正方形． 【例11】如图56－21，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC 的中点，连接EF． 若AD=4，则EF的长为 ⁠． 2 考点七：三角形的中位线 11. 如图56－22，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F 分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是 （　A　） A. 120° B. 150° C. 135° D． 140° A 【例12】在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上 的中线长为（　D　） A． 10 B． 3 C． 4 D． 5 D 考点八：直角三角形斜边上的中线 12. 如图56－23，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点． 若 AD=6，DE=5，则CD的长等于 ⁠． 13. 若一个正多边形的每一个外角都是24°，则该正多边形的内角 和的度数是（　A　） A． 2 340° B． 360° C． 1 800° D． 2 160° 8 A 14. 如图56－24，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 ①），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形 ABCDE． 图②中，∠EAC的大小是（　C　） A． 36° B． 54° C． 72° D． 108° C 15. 下列说法正确的是（　D　） A． 对角线互相垂直的四边形是菱形 B． 矩形的对角线互相垂直 C． 一组对边平行的四边形是平行四边形 D． 四边相等的四边形是菱形 D 16. 如图56－25，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是（　A　） A． 3 cm B． 6 cm C． 10 cm D． 12 cm A 17. 四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加 的条件是（　D　） A． AB=CD B． AD=BC C． AB=BC D． AC=BD 18. 如图56－26，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，D是斜边 AB的中点，那么∠ACD的度数为 ⁠． 19. 已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对 角线AC=6 cm，则这个 菱形的边长为 ⁠cm． D 35° 5 20. 如图56－27，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， 延长DE至点F，使EF=DE，连接CF． 求证：四边形DBCF是平 行四边形． 证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DE=BC，DE∥BC． 又∵EF=DE， ∴DF=DE＋EF=2DE=BC． ∴四边形DBCF是平行四边形． 21. 如图56－28，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分 别是边AB，AD的中点． 请判断△OEF的形状，并证明你的结论． 解：△OEF是等腰三角形． 证明如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，OB=OD． ∵E，F分别是边AB，AD的中点， ∴EO，FO都是△ABD的中位线． ∴EO=AD，FO=AB． ∴EO=FO． ∴△OEF是等腰三角形． 22. 一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个 公共顶点O，其摆放方式如图56－29所示，则∠1－∠2=（　D　） A． 120° B． 108° C． 72° D． 36° D 23. 如图56－30，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为（　D　） A． 4 B． 4.8 C． 2.4 D． 3.2 D 24. 如图56－31，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F 为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（　C　） A． 21 B． 18 C． 13 D． 15 C 25. 如图56－32，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD 边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长 为 ⁠． 26. 如图56－33，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC， EG⊥CD，垂足分别是F，G． 若CG=4，CF=3，则AE的长 为 ⁠． 5 5 27. 如图56－34①，点O在正方形ABCD内，连接OA，OB，OC， OD，OA=OD． （1）求证：OB=OC； （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°． ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA． ∴∠BAO=∠CDO． ∴△ABO≌△DCO（SAS）． ∴OB=OC． （2）若∠AOD=135°，探究OC与OA的数量关系，并给出证明； （2）解：OC=OA． 证明如下：如答图56－1，过点O作OE⊥AD于点E，交 BC于点F，在线段AE上截取EG=EO，连接OG． 答图56－1 设OE=EG=x，则OG=x，∠OGE=∠GOE=45°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC∥AD，∠ADC=∠BCD=90°=∠DEF． ∴OF⊥BC，四边形CDEF是矩形． ∴EF=CD=AD，CF=DE． ∵OA=OD， 答图56－1 ∴AE=DE，∠AOE=∠DOE=∠AOD． ∵∠AOD=135°，∴∠AOE=67.5°，∠OAE=22.5°． ∴∠AOG=∠AOE－∠GOE=67.5°－45°=22.5°， ∴∠AOG=∠OAE． ∴AG=OG=x． ∴AE=AG＋EG=（＋1）x，EF=AD=2AE= 2（＋1）x． ∴OF=EF－OE=（2＋1）x． 在△AOE中，OA2=OE2＋AE2=x2＋ ［（＋1）x］2=（4＋2）x2． 在△OCF中，OC2=OF2＋CF2=［（2＋1）x］2＋ ［（＋1）•x］2=（12＋6）x2． ∴==3. ∵OC＞0，OA＞0，∴=，∴OC=OA． 答图56－1 （3）如图56－34②，若∠AOD=150°，直接写出∠BOC的大小． （3）解：∠BOC=60°． 【提示】如答图56－2，过点O作OE⊥AD于点E，交BC 于点F，在线段AE上取点G，使AG=GO，连接OG，则 ∠AOG=∠OAG． 答图56－2∵∠AOD=150°，OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA=15°． ∴∠CDO=∠BAO=75°，∠OGE=∠AOG＋∠OAG=30°． ∵∠OEG=90°， ∴OG=2OE． 设OE=y，则OG=AG=2y，EG=y． ∴AE=（2＋）y=BF，EF=AB=BC=AD=2（2＋）y． 答图56－2 ∴OF=EF－OE=（3＋2）y． ∴OB2=OF2＋BF2=［（3＋2）y］2＋［（2＋）y］2 =（28＋16　）y2． 又∵BC2=［2（2＋）y］2=（28＋16）y2， ∴OB=BC． 由（1）知OC=OB． ∴OB=OC=BC． ∴△BOC是等边三角形． ∴∠BOC=60°． 答图56－2 谢 谢 ! $