学易金卷：高一数学下学期第一次月考01【浙江专用，人教A版必修第二册第6～7章：平面向量+复数】

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（    ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 6．已知锐角的面积为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 10．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（   ） A．三个内角A、B、C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 11．已知点M在所在平面内一点，则（   ） A．若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量 B．若，则面积比 C．若，，的夹角两两相等，，，则 D．若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则________.    13．若，则的最大值为________． 14．设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 16．（15分）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小；(2)点为线段的中点，且，，求的值． 17．（15分）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和；(2)若，求． 18．（17分）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设， (1)当时，求四边形的周长； (2)用表示四边形的面积，并求其面积的最大值； (3)求的最大值，并指出此时的值． 19．（17分）在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】运用复数除法运算求出，再根据虚部概念得解． 【详解】由于，则，则复数的虚部为． 故选：B. 2．在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 3．已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为， 故选：A． 4．在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案. 【详解】：因为在中，满足， 由正弦定理知，代入上式得， 又由余弦定理可得，因为是三角形的内角，所以， 所以为钝角三角形， 故选：C. 5．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（    ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 【答案】C 【分析】根据题意，得到，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】在中，因为，可得 在中，因为，可得 在中，因为 由余弦定理得 即，可得 解得或（舍去），即塔的高度为30米. 故选：C. 6．已知锐角的面积为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为锐角三角形，得到，利用三角形面积公式以及正弦定理化简可得：，由，求出的范围，从而得到结果. 【详解】设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，    因为在锐角中，，则， ，则， 由正弦定理可得：，则， 所以，即 因为，所以 所以， 因为，则，则，即， 所以，所以，即， 故选：C 7．已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作 由任意实数都有，得取，设，可得在直线上，即可求解答案. 【详解】如图，由，，可得在上的投影为2，即 因为对任意实数都有，由射影定理可得, 所以. 设，取，可得在直线上， 所以线段的最小值为到直线的距离， 当时， 故答案为：A. 8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围． 【详解】由 及余弦定理，可得 正弦定理边化角，得 是锐角三角形， ，即． ，， 那么： 则， 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于选项A可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于选项B和D，取特殊复数即可判定. 【详解】对于选项A，若，则和互为共轭复数，所以，故选项A正确； 对于选项B，取，此时，，满足， 但，故选项B错误； 对于选项C，若，则，所以或，可得或，故选项C正确； 对于选项D，取，，可得，故选项D错误. 故选：AC. 10．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（   ） A．三个内角A、B、C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A，利用正弦定理得出三边关系，结合余弦定理可判定；对B，由三角形面积公式计算可得三边长，从而判定；对C，利用三角形面积公式结合已知条件求解；对D，设，利用正弦定理表示出，由数量积定义求出，利用三角函数求出答案. 【详解】对于A，由，设， 由余弦定理，，又， ，则，故A正确； 对于B，由，解得， ，则的周长为，故B正确； 对于C，由， 所以，解得，故C错误； 对于D，设，，则， 在中，， 由正弦定理，， ， 因为，所以， 当，即时，，即取得最大值， 又当点与点重合时，， 当点与点重合时，， 综上，的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11．已知点M在所在平面内一点，则（   ） A．若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量 B．若，则面积比 C．若，，的夹角两两相等，，，则 D．若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于选项A,先由是BC中点得，设单位向量、，根据条件知与共线，推出AM是角平分线，又是中点，得等腰且，从而判断是投影向量. 对于选项B，对变形得，因两三角形高相同，根据底边比求面积比. 对于选项C，由向量夹角两两相等得夹角为，通过求，利用向量运算及数量积公式计算，再开方得结果. 对于选项D,坐标法计算数量积得关于的二次函数，根据二次函数性质求取值范围. 【详解】对于A，两边平方得，即，即，且是角的角平分线，又M为BC中点，即是等腰三角形，，则是在方向上的投影向量，故A正确； 对于B，因为，所以点在线段上，如图所示    取的四等分点，靠近的点为，取的四等分点，靠近的点为，连接，则有且，所以的高是的高的，所以，故B错误； 对于C， ，，故C正确； 对于D，以为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立如图所示的平面坐标系    易知直线的方程为，设， 因为，所以， ， 又，所以当时，取最小值为， 当时，取最大值为3， 所以，即，故正确． 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则________.    【答案】 【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴， 过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，连接、，    由题意可知，，， 则、、、， 所以，，，故. 故答案为：. 13．若，则的最大值为________． 【答案】6 【分析】设，由题设可得，由复数的几何意义求解最值即可. 【详解】设， 则， 得， 表示以为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离， 所以. 故答案为：6. 14．设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 【答案】0.5 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边得，再利用三角形重心性质及向量数量积的运算律计算得即可得解. 【详解】在中，， 则，由正弦定理得， 由G为的重心，，得， 即，则， 即，因此，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【详解】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 16．（15分）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小；(2)点为线段的中点，且，，求的值． 【答案】(1);(2)1 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求出角的大小； （2）利用中点向量公式和余弦定理求解即可． 【详解】（1）由得， 所以，因为是锐角，所以； （2）点是的中点，且， ，平方得， 即， 由余弦定理：， 即， 联立解得： 的值为1． 17．（15分）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和；(2)若，求． 【答案】(1),;(2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 设，所以， 又三点共线，所以，解得， 所以. （2）因为， 设， 又三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 18．（17分）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设， (1)当时，求四边形的周长； (2)用表示四边形的面积，并求其面积的最大值； (3)求的最大值，并指出此时的值． 【答案】(1) (2)，最大值为 (3)最大值为，此时 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得解； （2）利用余弦定理表示出，再由面积公式转化为的三角函数，用三角函数最值来解即可； （3）依题意即求的最大值，利用正弦定理表示出，即可求出，从而求出，再由余弦定理表示出，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得， 所以，于是四边形OACB的周长为． （2）在中，由余弦定理得， 所以，， 于是四边形的面积 ， 即， 当，即时，四边形的面积取得最大值为， 所以当满足时，四边形的面积最大，最大值为． （3）因为， 所以要求的最大值，即求的最大值， 因为， 在中由正弦定理得， 即， 所以， 所以 ， 由余弦定理得 ， 因为，所以当时，取得最大值. 所以的最大值为，此时. 19．（17分）在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理、可得，再由求出，利用向量平行四边形法则解得，得为的外心，再由正弦定理对称答案； （2）由向量的数量积公式可得，求出的范围可得的范围，从而求出最小值； （3）取的中点，由向量的加法运算可得，，再由平面向量数量积的定义可得，代入、得、，联立两式求出，再由正弦定理、基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以； （2）因为，所以，且， ， 因为，解得， 则，则，所以， 所以， 所以； （3）如图所示：取的中点，连接，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，② 联立①②可得， 所以，， 又因为， 因为，所以，可得， 可得，当且仅当等号成立， 令，， 函数，令， ， 因为，所以， 可得，所以在上单调递增， 所以， 所以． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A C C C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．答案为：. 13．答案为：6. 14．答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【答案】(1);(2) 【详解】（1）由，为实数，则为实数， ····   3分  所以，即，，             所以.····   3分  （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，     ····  3分      又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以.····   4分  16．（15分）【答案】(1);(2)1 【详解】（1）由得，····  3分  所以，因为是锐角，所以；····   2分  （2）点是的中点，且， ，平方得，····   4分  即，····   3分  由余弦定理：， 即， 联立解得：····   3分  的值为1． 17．（15分）【答案】(1),;(2) 【详解】（1）因为，所以，····  2分  设，所以，····   2分  又三点共线，所以，解得，····   3分  所以. （2）因为， 设，····   3分  又三点共线，所以，解得，所以， 所以，····   3分  又，即， 即，解得或（舍去）. ····  2分  18．（17分）【答案】(1) (2)，最大值为 (3)最大值为，此时 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得，····  2分  所以，于是四边形OACB的周长为．····  2分  （2）在中，由余弦定理得，····   2分  所以，， 于是四边形的面积 ····   2分  ， 即，····   2分  当，即时，四边形的面积取得最大值为， 所以当满足时，四边形的面积最大，最大值为． （3）因为， 所以要求的最大值，即求的最大值， 因为， 在中由正弦定理得， 即， 所以， 所以 ····   4分  ， 由余弦定理得 ，····   3分  因为，所以当时，取得最大值. 所以的最大值为，此时. 19．（17分）【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，····  2分  因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以，····   2分  又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以；····   2分  （2）因为，所以，且， ，····   2分  因为，解得， 则，则，所以， 所以， 所以；····   2分  （3）如图所示：取的中点，连接，则， 所以， 同理可得，····   2分  由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，② 联立①②可得，····   2分  所以，， 又因为， 因为，所以，可得， 可得，当且仅当等号成立， 令，，···· 2分  函数，令， ， 因为，所以， 可得，所以在上单调递增， 所以， 所以．····   1分  2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) B 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（    ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 6．已知锐角的面积为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 10．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（   ） A．三个内角A、B、C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 11．已知点M在所在平面内一点，则（   ） A．若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量 B．若，则面积比 C．若，，的夹角两两相等，，，则 D．若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则________.    13．若，则的最大值为________． 14．设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 16．（15分）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)点为线段的中点，且，，求的值． 17．（15分）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和； (2)若，求． 18．（17分）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设， (1)当时，求四边形的周长； (2)用表示四边形的面积，并求其面积的最大值； (3)求的最大值，并指出此时的值． 19．（17分）在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $