学易金卷：高二数学下学期第一次月考（湘教版，范围：选择性必修第二册第1～2章）

■■■ ■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 口 3[A][B][C[D] 7[A][B][CD] 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D A B D C立 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量与共线，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 2．下列求导数运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（    ） A． B．3 C．8 D．9 4．若直线与曲线相切，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 5．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 7．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数及其导函数的部分图像如图所示，则（    ） A．在上有极小值 B．在上有极大值 C．在时取极小值 D．在时取极小值 10．下列命题是真命题的有（    ） A．平面经过三点，，，是平面的法向量，则， B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D． ，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 11．已知函数，则（    ） A．当时，的单调递减区间为 B．存在，使得有三个零点 C．当时，的极小值点为 D．当时，曲线的对称中心为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，则在处的切线方程为______. 13．在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 14．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． ． 16．（15分） 已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围 17．（15分） 在长方体中，为与的交点． (1)用向量表示； (2)以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，请写出，四点的坐标及向量的坐标； (3)求异面直线与所成角的余弦值． ． 18．（17分） 如图，四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数 (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求正整数的最大值. ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B B C B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）易知函数的定义域为，（3分） 令，得或， 令，得，（5分） 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为.（9分） （2）由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）若，， 则， 令，解得，令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为；（4分） （2）由，可得， 由有两个极值点，则有两个变号零点，即有两个正根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为；（6分） （3）由在区间上有且仅有一个零点，得在区间有一个根， 即在区间有一个根， 即与在上有一个交点， 由，可得，（10分） 因为，所以， 所以对恒成立，所以在上单调递增， 又， 因为，可得，当时，，（13分） 所以函数单调递减，所以，所以， 所以时，， 所以，所以实数的取值范围为．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为为与的交点， 所以又因为， 所以．（4分） （2）根据题意可得． ，．（8分） （3）由（2）可得． ，，（12分） ， 故异面直线与所成角的余弦值为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1） 取的中点，连接，因为是的中点，所以． 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以． 又因为平面平面， 所以平面．（3分） （2） 由题意：平面，且，则两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，是的中点，所以点的坐标为，，，， 所以平面的法向量为，设平面的法向量为， ，由，（5分） 可得，令，则， 所以． 所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．（8分） （3）设，且，，则，（10分） 设平面的法向量为， 则，可得， 令，所以． 因为点到平面的距离为，（14分） 所以，解得， 所以存在点，使得点到平面的距离为，此时．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）当时，， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故在区间上的最小值为.（4分） （2） 当时，由，得；由，得， 此时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得； 由，得或， 此时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，对任意的恒成立，（8分） 此时，在上单调递增； 当时，由，得； 由，得或， 此时，在上单调递减，在和上单调递增. 综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. （10分） （3）当时，不等式恒成立， 整理可得，原题意等价于对任意恒成立， 令， 则，（13分） 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以，（15分） 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为正整数，则，所以整数的最大值是．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量与共线，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 2．下列求导数运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（    ） A． B．3 C．8 D．9 4．若直线与曲线相切，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 5．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 7．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． D．①③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数及其导函数的部分图像如图所示，则（    ） A．在上有极小值 B．在上有极大值 C．在时取极小值 D．在时取极小值 10．下列命题是真命题的有（    ） A．平面经过三点，，，是平面的法向量，则， B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D． ，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 11．已知函数，则（    ） A．当时，的单调递减区间为 B．存在，使得有三个零点 C．当时，的极小值点为 D．当时，曲线的对称中心为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，则在处的切线方程为______. 13．在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 14．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 16．（15分） 已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围 17．（15分） 在长方体中，为与的交点． (1)用向量表示； (2)以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，请写出，四点的坐标及向量的坐标； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 18．（17分） 如图，四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数 (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求正整数的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量与共线，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 1.【答案】D 【分析】利用向量共线的条件即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以，即，解得或， 所以实数的值为或. 故选：D. 2．下列求导数运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2.【答案】C 【分析】根据求导运算法则得到答案. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D正确. 故选：C 3．已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（    ） A． B．3 C．8 D．9 3.【答案】B 【分析】利用向量坐标运算求出，进而求出的坐标及模. 【详解】向量，，线段AB的中点为D，则, 而，于是， 所以. 故选：B 4．若直线与曲线相切，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 4.【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率建立方程得解. 【详解】设直线与曲线切于点， 对函数求导得，，所以，解得， 所以切点为，代入直线方程得：，即. 故选：B. 5．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5.【答案】C 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C 6．函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 6.【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性可得为偶函数，利用导数求解上的单调性，即可求解最值. 【详解】因为,所以为偶函数， 当时，，. 易知当时,，，则，在[0，π]上单调递增， 所以，， 故选:B 7．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 7.【答案】D 【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果. 【详解】设平面的法向量为， 则，即， 令，可得，，则. . 设与平面所成的角为：则. 故到平面的距离为，即四棱锥的高为. 故选：D. 8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.【答案】B 【分析】将问题转化为函数与的图象有2个交点，则利用导数的几何意义求出直线与曲线相切时的直线的斜率，再结合图形可求出实数的取值范围. 【详解】有两个零点，即有两个正实根， 即函数与的图象有2个交点． 直线过定点，当该直线与曲线相切时，设切点为， 又，则，即， 令，则，所以在上单调递增， 又，故有唯一零点，故， 所以当直线与曲线相切时，切点为，则切线斜率为1． 要使函数与的图象有2个交点，则需满足， 所以． 故选：B．    【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为直线与曲线有两个交点问题，然后利用导数的几何意义求出相切时直线的斜率，再结合图形求解即可，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数及其导函数的部分图像如图所示，则（    ）    A．在上有极小值 B．在上有极大值 C．在时取极小值 D．在时取极小值 9.【答案】BD 【分析】根据与的关系，结合函数图象判断AB；对求导，结合与的大小关系，分析的单调性和极值，即可判断CD. 【详解】根据与的关系可知：先增后减再增，先减后增， 由图象可知：在上有极大值，无极小值，故A错误，B正确； 因为，则， 当时，，则，可得， 所以在内单调递增， 当时，，则，可得， 所以在内单调递减， 当时，，则，可得， 所以在内单调递增， 综上所述：在时取极大值，在时取极小值，故C错误，D正确； 故选：BD. 10．下列命题是真命题的有（    ） A．平面经过三点，，，是平面的法向量，则， B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D． ，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 10.【答案】BD 【分析】根据平面的法向量和平面的关系，可求得，判断A;根据两直线的方向向量的数量积等于0，可判断B; 根据直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0，可判断线面关系，判断C;根据空间向量基底的含义，可判断，，共面，从而判断D. 【详解】对于A， ，由题意知 ， 故 ，解得，A错误. 对于B， , 故 可得l与m垂直，B正确； 对于C， , 故 可得在内或，C错误； 对于D, 是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底， 则，，共面，可得共面,D正确； 故选: 11．已知函数，则（    ） A．当时，的单调递减区间为 B．存在，使得有三个零点 C．当时，的极小值点为 D．当时，曲线的对称中心为 11.【答案】AD 【分析】选项A，代入求导，通过导函数的正负区间，即可判定；选项B，通过求导判断函数的单调性，得函数的极大值和极小值都小于0，故可以判断不存在，使得有三个零点；选项C，通过求导判断函数的单调性，得为函数极小值点；选项D，通过图像的平移性质即可判断. 【详解】由，得， 对于A，当时，，令，即， 解得或， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，， 所以不存在，使得有三个零点，故B错误； 对于C，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，是函数的极小值点，故C错误； 对于D，当时，函数，曲线， 因为的对称中心为，曲线的图像可由的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 根据函数图像的平移性质，曲线的对称中心为，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，则在处的切线方程为______. 12.【答案】 【分析】利用导数的运算法则计算，得到切线斜率，写出切线的点斜式方程，化成一般式方程. 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴在处的切线方程为：， 整理得. 故答案为：. 13．在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 13.【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 14．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______ . 14.【答案】 【分析】由题意，可得在上恒成立，问题转化为在上恒成立，推理即得a的取值范围． 【详解】因函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，且在上恒成立，也即在上恒成立， 故又当时，不是增函数，故， 即a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 15．（13分） 【答案】(1)单调递增区间为；递减区间为 (2) 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性求最值. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. （2）由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 16．（15分） 已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 16．（15分） 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）求导，令，可求单增区间与单减区间； （2）求导可得，由已知可得有两个正根，求解即可； （3）由与在上有一个交点，利用导数判断的单调性，进而可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若，， 则， 令，解得，令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由，可得， 由有两个极值点，则有两个变号零点，即有两个正根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （3）由在区间上有且仅有一个零点，得在区间有一个根， 即在区间有一个根， 即与在上有一个交点， 由，可得， 因为，所以， 所以对恒成立，所以在上单调递增， 又， 因为，可得，当时，， 所以函数单调递减，所以，所以， 所以时，， 所以，所以实数的取值范围为． 17．（15分） 在长方体中，为与的交点． (1)用向量表示； (2)以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，请写出，四点的坐标及向量的坐标； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 17. （17分） 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）由空间向量的线性运算表示向量； （2）根据如图所示的空间直角坐标系以及长方体的长宽高可直接写出点的坐标，从而求向量的坐标； （3）由空间向量法求异面直线所成角. 【详解】（1）因为为与的交点， 所以又因为， 所以． （2）根据题意可得． ，． （3）由（2）可得． ，， ， 故异面直线与所成角的余弦值为． 18．（17分） 如图，四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. （17分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，． 【分析】（1）在平面内找一条直线与平行即可； （2）建系，利用空间向量和数量积公式即可求解二面角的余弦值； （3）根据设点，根据点到平面的距离列出方程，方程存在上的解则存在点，反之则不存在. 【详解】（1） 取的中点，连接，因为是的中点，所以． 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以． 又因为平面平面， 所以平面． （2） 由题意：平面，且，则两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，是的中点，所以点的坐标为，，，， 所以平面的法向量为，设平面的法向量为， ，由， 可得，令，则， 所以． 所以，平面与平面所成二面角的余弦值为． （3）设，且，，则， 设平面的法向量为， 则，可得， 令，所以． 因为点到平面的距离为， 所以，解得， 所以存在点，使得点到平面的距离为，此时． 19．（17分） 已知函数 (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求正整数的最大值. 19. （17分） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【详解】（1）当时，， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故在区间上的最小值为. （2） 当时，由，得；由，得， 此时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得； 由，得或， 此时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，对任意的恒成立， 此时，在上单调递增； 当时，由，得； 由，得或， 此时，在上单调递减，在和上单调递增. 综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. （3）当时，不等式恒成立， 整理可得，原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为正整数，则，所以整数的最大值是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $