5.3.2(3)函数的最大(小)值第1课时 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2(3) 函数的最大(小)值 第1课时 ·选择性必修第二册· 1.7.2013 同学们好，今天我们将开始学习第五章“一元函数的导数及应用”的第一节课——“变化率问题”。导数是微积分中的核心概念，它为我们研究函数的变化提供了强大的工具。通过这节课的学习，我们将从实际问题出发，理解变化率的含义，并逐步引入导数的概念。希望大家能够积极思考，深入理解，为后续的学习打下坚实的基础。 ‹#› 学习目标 1.借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念.（直观想象） 2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系.（数学抽象、逻辑推理） 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 复习引入 上节课学习了函数的极值的概念，其刻画的是函数的局部性质，你能说说求函数极值概念与求解步骤么？ 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 复习引入 函数极值的求解步骤： 1. 2. 3. 4. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知探究1 函数的最值 问题1: 函数在区间 上的图象如图所示. 显然，，为极大值，， ， 为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？ [答案] 最大值分别在 及处取得，最小值 在 处取得. 显然函数的最值是函数的整体性质，且要求 函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大（小）值，那么最大（小） 值唯一存在. 问题2: 在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在 上一定存在最值和极值吗？在区间 上呢？ [答案] 在区间上一定有最值，但不一定有极值.如果函数在 上是单调的， 那么在上无极值；如果在上不是单调函数，那么在 上有 极值.当在 上为单调函数时，它既没有最值也没有极值. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知探究1 函数的最值 问题1: 函数在区间 上的图象如图所示. 显然，，为极大值，， ， 为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？ [答案] 最大值分别在 及处取得，最小值 在 处取得. 显然函数的最值是函数的整体性质，且要求 函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大（小）值，那么最大（小） 值唯一存在. 问题2: 在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在 上一定存在最值和极值吗？在区间 上呢？ [答案] 在区间上一定有最值，但不一定有极值.如果函数在 上是单调的， 那么在上无极值；如果在上不是单调函数，那么在 上有 极值.当在 上为单调函数时，它既没有最值也没有极值. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知生成 函数的极值与最值的区别: 极值 最值 区 别 联系 函数的极大(小)值是函数的一个局部性质 函数的最大(小)值是函数的一个整体性质 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的最大(小)值是比较函数在整个定义域内的函数值得出的 函数的极值可以有多个 最大(小)值最多只有一个 极值只能在区间内取得 最大(小)值既可以在区间内取得，也可以在端点处取得 有极值的未必有最大(小)值，有最大(小)值的也未必有极值； 极值有可能成为最大(小)值，最大(小)值只要不在端点必定是极值 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知探究 函数的最大(小)值 最小值 最大值 只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 问题3: 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知运用 给定区间 详解 例题1 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 方法总结 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 求下列函数的最值： （1）， ； （2）， . [解析] （1） . 令，得或 . 当变化时，， 的变化情况如下表： 0 2 4 0 - 0 单调递增 3 单调递减 单调递增 35 所以当时， 取得最大值35； 当时，取得最小值 . 故的最大值为35，最小值为 . 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 求下列函数的最值： （1）， ； （2）， . （2） . 令，又，解得或 . 计算得， ，， . 故当时，有最小值 ； 当 时，有最大值 . 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用 无穷区间(或开区间) 求函数 的最值: 例题2 [解析] 函数的定义域是，且 . 令，得或；令，得 . 故函数在和上单调递增，在上单调递减. 因此函数 在处取得极大值，极大值为； 在 处取得极小值，极小值为 . 令，得或， 令 ，得， 所以函数 的大致图象如图所示. 由函数图象可得，， 函数 无最大值. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 无穷区间（或开区间） 函数 的最大值为( ). D A. B. C. D. [解析] ，，则 ， 所以当时，；当时，；当时， . 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以 . 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 方法总结 1.求函数<m></m>在闭区间<m></m>上的最值的方法： （1）求函数<m></m>的导函数<m></m>； （2）计算函数<m></m>在区间<m></m>内使得<m></m>的所有点的函数值以及端点的函 数值<m></m>与<m></m>； （3）比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. 2.求一个函数在无穷区间（或开区间）上的最值与在闭区间上的最值的方法是不 同的.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其 单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函 数的最值. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知探究 证明不等式 例题 证明 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知探究 证明不等式 例题 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 方法总结 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用 详解 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 详解 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课堂小结 1.求函数<m></m>在闭区间<m></m>上的最值的方法： （1）求函数<m></m>的导函数<m></m>； （2）计算函数<m></m>在区间<m></m>内使得<m></m>的所有点的函数值以及端点的函 数值<m></m>与<m></m>； （3）比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. 2.求一个函数在无穷区间（或开区间）上的最值与在闭区间上的最值的方法是不 同的.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其 单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函 数的最值. 3. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业 课本第98页习题5.3 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业 课本第98页习题5.3 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 问题1： 求解方程的根； 用方程的根顺次将函数的定义域划分为若干个区间， 并列成表格 由在方程的根的左右的符号来判断在这个根 处取极值的情况： (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值； (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值. 确定函数的定义域； 如何利用极值求出函数的最大值与最小值? 因为，所以． 令，解得，或． 当变化时，、的变化情况如表所示． 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 因此，在上的最大值是，最小值是. 求函数在上的最大值与最小值． (1)求函数在区间上的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 利用导数求函数在上的最值的步骤 设,对于函数,,两个函数的图象如图所示. 我们发现,当时,,怎么证明这个结论呢？ 所以，当时，取得最小值. 所以，即. 所以，当时，. 我们将不等式①转化为： 设,那么令解得 当变化时，，的变化情况如表所示. 单调递减 单调递增 设,对于函数,,两个函数的图象分别为C1和C2如图所示. 我们发现,当时,,怎么证明这个结论呢？ 证明的一般方法是证明(利用 单调性)，特殊情况是证明(最值方法)，但后一种 方法不具备普遍性. 函数不等式的证明：常常转化为求函数最大(小)值问题，体现 转化与化归思想的运用. 证明不等式：， 由题设，要证只需证即可， 令,则,而， ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故, 即在上恒成立， ∴，得证. 等价于 ， ∴可令 ， 则 ，在 上 ， 在 上单调递增， 即 ， 在 上恒成立， 则 ， 得证． 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： ， ， 证明的一般方法是证明(利用 单调性)，特殊情况是证明(最值方法)，但后一种 方法不具备普遍性. (1)，则， ∴时，，单调递减； 时，，单调递增； ∴在上的极小值为 ， 而，， ∴在上最大值为，最小值为. (2)，则时有， ∴时,,单调递增; 时,,单调递减； 时，，单调递增； ∴在上的极大值为， 极小值为， 而，， 综上，在上最大值为，最小值为. 6.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1),； (2), (3)，则时有， ∴时，，单调递减； ∴在上 最大值为，最小值为. (4)，则时有， ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； ∴在上的极大值为， 而，， ∴在上最大值为，最小值为. 6.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (3),； (4), $