9.3 公式法（第2课时 运用完全平方公式因式分解）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年（苏科版）数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第九章 因式分解 9.3 公式法 第二课时运用完全平方公式因式分解 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点） 2.运用完全平方公式因式分解的方法和步骤，并能进行相关变形、计算或求值．（难点） 把乘法公式： （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2 反过来，就得到: a2＋2ab＋b2＝                      ，a2－2ab＋b2＝                         . (a＋b)2 (a－b)2 尝试 填空： (1) a2＋6a＋9＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2； (2) a2－6a＋9＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2； (3) a2＋( )＋4b2＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2； (4) a2－8a＋( )＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2． 3 a 3 a＋3 3 a 3 a－3 2b a 2b a＋2b 4ab 4 a 4 a－4 16 观察这些式子在结构上有哪些共同特征？ 1.下列各式中，哪些能运用完全平方公式进行分解因式？哪些不能？ 为什么？ ①m2−mn+n2； ②x2−2xy−y2； ③4a2−20a+25； ④x2+8x+4; ⑤36a2−12ab+b2． 不能 不能 能 不能 能 变式训练 能用完全平方公式分解因式的多项式的特征是： (1)该多项式有三项； (2)有两项可以写成平方的形式，并且符号相同； (3)第三项可以写成这两个数的积的两倍. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 完全平方公式： 方法总结 例1 把下列各式分解因式： (1) x2＋10x＋25； (2) 4a2－36ab＋81b2． 解： (1) x2＋10x＋25 ＝x2＋2·x·5＋52 ＝(x＋5)2； (2) 4a2－36ab＋81b2 ＝(2a)2－2·2a·9b＋(9b)2 ＝(2a－9b)2． 教材P112 例题 (1) 25a4＋10a2＋1； (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4． 例2 把下列各式分解因式： 解：(1) 原式＝(5a2)2＋2·5a2·1＋12 ＝(5a2＋1)2； (2) 原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·2＋22 ＝[(m＋n)－2]2 ＝(m＋n－2)2． 2.把下列各式分解因式: （1） ； 解： . （2） 解： . （3） ； 解： . （4） . 解： . 变式训练 9 探究 有两张边长分别为a，b的正方形纸片，两张长、宽分别为a，b的矩形纸片.你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗? b b a b ab a a a² b² a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a b ab 1. 下列多项式能否分解因式？如果能，尝试把它们分解因式： (1) a2＋8a＋16； (2) 9a2－3a＋1； (3) a2－1； (4) a2－ab＋b2． 原式＝a2＋2·a·4＋42 ＝(a＋4)2 (3a)2－6a＋12 能 不能 能 能 原式＝a2－2·a·＋ ＝(a－)2 原式＝(a＋1)(a－1) 课内练习 教材P113 练习 2.把下列各式分解因式： ①25x2＋10xy＋y2; ②a2－12ab＋36b2; ③−16a4+24a2b2−9b4. ④(x＋y)2－10(x＋y)＋25． ① 25x2＋10xy＋y2=(5x+y)2； ②a2－12ab＋36b2=(a－6b)2； ③−16a4+24a2b2−9b4=−(16a4−24a2b2+9b4)=−(4a2−3b2)2； ④(x＋y)2－10(x＋y)＋25= 课内练习 教材P113 练习 3.已知a≠b,比较 与2ab的大小，并说明理由. 解：>2ab(a≠b). 理由:-2ab=(, 因为a≠b,所以(>0, 即-2ab >0，因此:>2ab. 课内练习 教材P113 练习 基础巩固题 知识点1 用完全平方公式分解因式 1.分解因式 结果正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 .故选A. 2.因式分解： _________. 【解析】 . 故答案为 . 知识点2 用完全平方公式分解因式的应用 3.【2025浙江温州质检】已知， ，则代数式 的值是( ) D A.20 B.16 C.8 D.4 【解析】，，，，． 故选D. 15 4.【2025山东济南质检】如图，用9张A类正方形卡片、4张B类正方形卡片、12张C 类矩形卡片拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为________． 【解析】由题意得拼成的大正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长是，故答案为 ． 16 能力提升题 5.[扬州期末]若x2－(m＋3)x＋4是完全平方式，则m的值是________. －7或1 6.(1)[镇江期末]已知a2＋ab＋b2＝7，a2－ab＋b2＝5，则(a＋b)2＝________. (2)已知x2－y2＝20，则[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]＝________． 8 400 7.把下列各式分解因式： (1)a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2; (2)25(x－y)2＋10(y－x)＋1. 解：原式＝(a＋b＋c)2. 原式＝25(x－y)2－10(x－y)＋1＝[5(x－y)－1]2＝(5x－5y－1)2. 8. 观察下列等式： 1×32×5＋4＝72＝(12＋4×1＋2)2，2×42×6＋4＝142＝(22＋4×2＋2)2， 3×52×7＋4＝232＝(32＋4×3＋2)2，4×62×8＋4＝342＝(42＋4×4＋2)2，…. (1)根据你发现的规律，写出12×142×16＋4是哪一个正整数的平方； 【解】由题意得12×142×16＋4＝(122＋4×12＋2)2＝1942， 即12×142×16＋4是194的平方. (2)请把 n ( n ＋2)2( n ＋4)＋4写成一个整数的平方的形式. 【解】 n ( n ＋2)2( n ＋4)＋4＝( n2＋4 n ＋2)2. 9.【阅读理解】 例1　用配方法分解因式：a2＋6a＋8. 解：原式＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1＝(a＋3－1)(a＋3＋1)＝(a＋2)(a＋4)． 例2　若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值． 解：a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝(a－b)2＋(b－1)2＋1. ∵(a－b)2≥0，(b－1)2≥0，∴当a＝b＝1时，M有最小值1. 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：a2－12a＋35＝____________； (2)若M＝a2－3a＋2 026，求M的最小值； (a－7)(a－5) 解：M＝a2－3a＋2 026＝a2－3a＋－ ＋2 026＝ ＋. ∵ ≥0，∴当a＝ 时，M有最小值. 解：∵a2＋b2＋c2＝6a＋8b＋10c－50，∴a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0， 即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0. ∴a＝3，b＝4，c＝5. ∴a＋b＋c＝3＋4＋5＝12.∴△ABC的周长为12. (3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＝6a＋8b＋10c－50，求△ABC的周长． 用完全平方公式因式分解 形式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 特征：左边：有三项，两项都能用完全平方表示且符号相同，第三项是两个平方项底数的积的2倍或－2倍． 右边：这两个平方项底数的和（或差）的平方． 一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简． 课堂小结 教科书第113页练习 第1,2,3题 布置作业 $