第07讲 分式的概念（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年（苏科版）八年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 分式的概念（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的概念 分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式叫作分式，其中A是分式的分子，B 是分式的分母，且B≠0 . 注意：分式必须满足三个条件：①具备的形式；②A,B 都是整式；③分母B中含有字母且B≠0 .三个条件缺一不可. 示例 分式 【知识点02】求分式的值 用具体的数值代替分式中的字母，那么分式就变成了分数的算式，运算结果就是相应的分式的值. 说明： 分式属于代数式，求分式的值的步骤和求代数式的值的步骤一样. 【知识点03】分式有（无）意义的条件 条件 举例说明 分式 有意义 分母不为零，即𝐵≠0 . 有意义，是指𝑥−1≠0 . 分式 无意义 分母等于零，即𝐵=0 . 无意义，是指𝑥−1=0 . 【知识点04】分式的值为零的条件 【题型一】分式的判断 例1．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）下列各式：其中是分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式___________． 变式2．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型二】分式的规律性问题 例2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（    ） A．升 B．升 C．0升 D．升 变式1．观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是___________． 变式2．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照以上规律，解决下列问题； (1)写出第5个等式：______； (2)写出第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明； (3)计算： 【题型三】按要求构造分式 例3．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示______元／千克． 变式2．解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【题型四】分式无意义的条件 例4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）当时，分式无意义，则_______ ． 变式2．当x取什么值时，下列分式无意义？ （1）； （2）． 【题型五】分式有意义的条件 例5．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 变式1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）分式中字母的取值范围是___________________． 变式2．（2023八年级下·江苏·专题练习）x满足什么条件时下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六】分式值为零的条件 例6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若分式的值为0，则x的值是（   ） A．9 B． C． D．3 变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）若分式的值为0，则___________． 变式2．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 【题型七】分式的求值 例7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知，则______． 变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·月考）已知，求分式的值． 【题型八】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例8．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如果分式的值为负数，那么x满足______． 变式2．（22-23八年级下·江苏·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【题型九】求使分式值为整数时未知数的整数值 例9．（22-23八年级下·江苏扬州·月考）如果m为整数，那么使分式值为正整数，这样的m有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 一、单选题 1．对于分式的值，下列说法错误的是（    ） A．当时，该分式的值是正数 B．当且时，该分式的值是负数 C．当时，该分式的值为0 D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数 2．在代数式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 4．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 5．已知函数，当，时，所对应的函数值分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 6．下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，分式的值为零 B．代数式是整式 C．无论x为何值，分式的值都不可能为整数 D．无论x为何值，的值总为正数 7．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 8．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） 的取值 3 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 9．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以x得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以x得到第3项···，以此类推，下面结论中正确的个数为（   ） ①当时， ； ②； ③第2025项； ④若x为整数，且值为整数，则x的取值个数为4个． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 10．若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 11．当分式的值为0时，则的值为______． 12．若分式的值为整数，则非负整数的值为___________． 13．已知，则代数式的值为___________． 14．如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 15．分式在实数范围内有意义，则a的取值范围是______． 16．已知，则的值是_____ 17．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为1，则称M为“明德数”，那么最小的“明德数”是______；若把M的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称M为“明德整数”，若，其中，，，，且x、y、m、n均为整数．F是“明德整数”，则满足条件的F的最大值为_______． 三、解答题 18．分式中，分母满足什么条件时，分式无意义？ 19．（1）当时，求分式的值； （2）已知与互为相反数，求的值． 20．取何值时，下列分式的值是零？ (1)； (2)． 21．已知，求的值． 22．已知，求分式的值． 23．观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 24．已知分式，请解决以下问题． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x为何值时，该分式的值为1？ 25．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍．”小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍．”其中n为正整数．求n的可能值的个数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 分式的概念（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的概念 分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式叫作分式，其中A是分式的分子，B 是分式的分母，且B≠0 . 注意：分式必须满足三个条件：①具备的形式；②A,B 都是整式；③分母B中含有字母且B≠0 .三个条件缺一不可. 示例 分式 【知识点02】求分式的值 用具体的数值代替分式中的字母，那么分式就变成了分数的算式，运算结果就是相应的分式的值. 说明： 分式属于代数式，求分式的值的步骤和求代数式的值的步骤一样. 【知识点03】分式有（无）意义的条件 条件 举例说明 分式 有意义 分母不为零，即𝐵≠0 . 有意义，是指𝑥−1≠0 . 分式 无意义 分母等于零，即𝐵=0 . 无意义，是指𝑥−1=0 . 【知识点04】分式的值为零的条件 【题型一】分式的判断 例1．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）下列各式：其中是分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义即可得到答案． 【详解】解：中，是分式的只有：，共2个， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式___________． 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子，组合出所有符合条件的分式． 【详解】解：分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时，因是常数（不含字母），组成的、不是分式，舍去． 综上，所有分式为、、、． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（2）（4）是整式，（1）（3）是分式 【知识点】分式的判断 【分析】根据分式和整式的定义逐一判断即可得． 【详解】解：（1）的分母中含有字母，是分式； （2）的分母中没有字母，且，是由2个单项式的和构成的，是整式； （3）的分母中有字母，是分式； （4）是由单项式xy与单项式x2y的和构成的多项式，是整式． 【点睛】本题主要考查分式和整式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式；单项式和多项式统称为整式． 【题型二】分式的规律性问题 例2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（    ） A．升 B．升 C．0升 D．升 【答案】A 【知识点】分式的规律性问题 【分析】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．注意．根据题目中第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的…，第n次倒出的水量是升的…，可知按照这种倒水的方法，第n次倒出水后，还剩下水升水． 【详解】解：∵ ． 故按此按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有升水． 故选：A． 变式1．观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是___________． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查了分式规律探索，正确确定分子和分母的变化规律是解题关键．根据题意可得，第个分式的分子为，分母为，即可获得答案． 【详解】解：根据分式的分子和分母的规律可得， 第个分式是． 故答案为：． 变式2．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照以上规律，解决下列问题； (1)写出第5个等式：______； (2)写出第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明； (3)计算： 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可； （2）根据前几个等式即可得出规律，从而即可写出第n个等式； （3）根据变形整理计算即可． 【详解】（1）第5个等式为：． 故答案为：； （2）第n个等式为：． 证明：左边右边 ∴等式成立． 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查分式的规律性问题．根据前几个等式总结出规律是解题关键． 【题型三】按要求构造分式 例3．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示______元／千克． 【答案】 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题主要考查了列分式，分别求出三种糖的价格，求和后除以三种糖的总质量即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这种“什锦糖”的单价为元／千克， 故答案为：． 变式2．解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题主要考查了列分式，正确理解题意是解题的关键． （1）把工作总量看做单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可得到答案； （2）由题意得骑自行车需要的时间为，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案； （3）根据题意可得现价是原价的，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵某项工程，甲队需t天完成， ∴该队每天完成的工作量是； （2）解：由题意得，骑自行车的平均速度是； （3）解：∵某商品降价后的售价为a元， ∴该商品的原价是元． 【题型四】分式无意义的条件 例4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式无意义的条件 【分析】根据分式无意义的条件：分母等于0，即可进行解答． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件：分母等于0． 变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）当时，分式无意义，则_______ ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义时，分母等于零求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 变式2．当x取什么值时，下列分式无意义？ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】分式无意义的条件 【分析】（1）直接利用分式无意义则其分母为0，进而得出答案； （2）直接利用分式无意义则其分母为0，进而得出答案． 【详解】解：（1）当2x-3=0时，无意义， 解得：x=时，无意义； （2）当5x+10=0时，无意义， 解得：x=-2时，无意义． 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，正确得出分母的值是解题关键． 【题型五】分式有意义的条件 例5．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件，由，解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：A． 变式1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）分式中字母的取值范围是___________________． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的关键是分母不能为0． 通过分析分母，从而确定字母x的取值范围． 【详解】解：在分式中，分母为． 因为分式有意义时分母不能为0， 所以，解得． 字母x的取值范围是． 故答案为：． 变式2．（2023八年级下·江苏·专题练习）x满足什么条件时下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，逐题列不等式计算即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，即； （2）∵有意义， ∴，即； （3）∵有意义， ∴，即； （4）∵有意义， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于0成为解答本题的关键． 【题型六】分式值为零的条件 例6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若分式的值为0，则x的值是（   ） A．9 B． C． D．3 【答案】D 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，须同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 即，且， ∴． 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）若分式的值为0，则___________． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，得到且，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解方程得：或． 当时，分母，分式无意义，故舍去， 当时，分母，满足条件， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）根据分式值为零的条件即可求解． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得：； （2）解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 【题型七】分式的求值 例7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值．熟练掌握分式的求值是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知，则______． 【答案】2 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据，得出，然后求出式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为；2． 变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·月考）已知，求分式的值． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键．由已知可知，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 【题型八】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例8．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如果分式的值为负数，那么x满足______． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵，分式的值为负数 ∴， 解得：， 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·江苏·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得0， 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：无解； 解不等式组(2)得：， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键． 【题型九】求使分式值为整数时未知数的整数值 例9．（22-23八年级下·江苏扬州·月考）如果m为整数，那么使分式值为正整数，这样的m有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】分式，讨论就可以了，即是5的约数，注意分式值为正整数即可完成． 【详解】∵，原分式的值为正整数， ∴，且是5的约数， 那么 由得，； 由得，； 由得，； ∴，共3个 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 【答案】1 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2， ∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 一、单选题 1．对于分式的值，下列说法错误的是（    ） A．当时，该分式的值是正数 B．当且时，该分式的值是负数 C．当时，该分式的值为0 D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数 【答案】D 【分析】A、B、C转化为分别求当分式大于0、小于0、等于0，再利用特殊值法判断D选项即可求得解． 【详解】解：A、当时，，则该分式的值是正数，故正确，不合题意； B、当且时，，则该分式的值是负数，故正确，不合题意； C、当时，，则该分式的值为0，故正确，不合题意； D、当时，，为整数，故错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为0，为正，为负的条件是解题的关键． 2．在代数式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】在代数式，，，中，分式有，，2个 ，是整式． 故选B． 3．若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式值为0的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，分子为0且分母不为0． 4．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 5．已知函数，当，时，所对应的函数值分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，求函数值，先根据题意得到，，再推出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴ ， ， 故选：A． 6．下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，分式的值为零 B．代数式是整式 C．无论x为何值，分式的值都不可能为整数 D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】根据分式的定义，形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式和分式有意义的条件、分式值的情况判断即可； 【详解】当x＝2时，，分式无意义，故A错误； 代数式是分式，故B错误； 当时，分式的值是1，故C错误； ∵， ∴无论x为何值，的值总为正数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值的判断，准确分析是解题的关键． 7．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 8．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） 的取值 3 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值，解分式方程，根据分式无意义的条件，分母为0，分式的值为0的条件，分式的分子为0，分母不为0，分别求出的值，再把和代入分式，求出分式的值，进行判断即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴， ∴， ∵时，分式的值为0， ∴， ∴， ∴分式为， ∴当时，分式的值为，即当分式的值为1时，，即； 当时，分式的值为，即：， 综上，只有选项C错误，符合题意； 故选C． 9．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以x得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以x得到第3项···，以此类推，下面结论中正确的个数为（   ） ①当时， ； ②； ③第2025项； ④若x为整数，且值为整数，则x的取值个数为4个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，正确根据已知条件列出代数式是解题的关键． 根据操作规则，推导出和的通项公式，然后逐一验证四个结论是否正确即可． 【详解】解：第1项是， 则 ，即， ， 依此类推，、， 当时， ， 故①正确； ， 故②正确； 第2025项， 故③正确； ， 若x为整数，且值为整数， 则为6的因数， 即或或或， 由于为奇数， 则或, 解得或或1或， 则x的取值个数有4个， 故④正确， 因此结论中正确的有①②③④，共4个， 故选：A． 二、填空题 10．若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】分式有意义的条件是分母不为零． 本题考查了分式的性质，熟知分式的分母不为零是解题关键． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母 ， 即 ， 解得 ． 故答案为： ． 11．当分式的值为0时，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：分式的值为0，需满足分子且分母， 解方程，代入分母得，符合条件． 故答案为：． 12．若分式的值为整数，则非负整数的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴可以为、、、， ∴可以为、、、， ∴非负整数的值为或或． 故答案为：或或． 13．已知，则代数式的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 15．分式在实数范围内有意义，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件计算即可． 本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】分式在实数范围内有意义， 解得， 故答案为：． 16．已知，则的值是_____ 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将变最后整体代入计算即可形为，再把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为： 17．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为1，则称M为“明德数”，那么最小的“明德数”是______；若把M的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称M为“明德整数”，若，其中，，，，且x、y、m、n均为整数．F是“明德整数”，则满足条件的F的最大值为_______． 【答案】 1182 7627 【分析】本题主要考查整式的加减运算、分式的值及消元思想，熟练掌握整式的加减运算、分式的值及消元思想是解题的关键；设“明德数”的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，由题意得，则可得最小“明德数”，由可知数F的千位数字是，百位数字是y，十位数字是m，个位数字是n，然后可得，进而分类进行求解即可． 【详解】解：设“明德数”的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，由题意得：， 要使这个“明德数”为最小，则， ∴最小的“明德数”是1182； ∴， ∴， ∵， ∴数F的千位数字是，百位数字是y，十位数字是m，个位数字是n， ∴，， ∴或， 当时，则， ∵x、y、m、n均为整数，且F是“明德整数”，，，，， ∴当或或或时，均符合题意， ∴当时，此时；当时，此时；当是，此时；当时，此时； 当时，则， 同理可得：当时，此时；当时，此时；当是，此时；当时，此时；当时，此时； 综上所述：满足条件的F的最大值为7627； 故答案为1182；7627． 三、解答题 18．分式中，分母满足什么条件时，分式无意义？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式无意义的条件是分母等于零即可解答． 【详解】解：若分式无意义，则， ∴， ∴， ∴当时，分式无意义． 19．（1）当时，求分式的值； （2）已知与互为相反数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式的求值，非负数的性质，准确的计算是解本题的关键； （1）把直接代入分式进行计算即可； （2）先利用非负数的性质求解的值，再代入计算即可． 【详解】解：（1）当时， ∴； （2）∵与互为相反数， ∴即； ∴，， ∴，， ∴； 20．取何值时，下列分式的值是零？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的值为零，解题关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零． （1）根据分式的值为零的条件，得到，，求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，得到，，求解即可；． 【详解】（1）解：的值是零， ，， ，，， ； （2）解：的值是零， ，， ，，， ． 21．已知，求的值． 【答案】3． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x，y的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：知条件得， 由②得，，∵  ，∴  ，则． 把代入①得，＝1． ∴  ． 【点睛】本题考查的是算术平方根，绝对值的非负性，分式有意义的条件，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． 22．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值，设，则，，，代入原式进行计算即可；或由题意得出，．将，代入，进行计算即可得出答案，熟练掌握运算法则，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，，， ∴原式； 另解：∵， ∴，． 将，代入， 得 ． 23．观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探究，并根据规律进行求解；能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； （2）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： 24．已知分式，请解决以下问题． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x为何值时，该分式的值为1？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为1的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为1的条件可得，解出分式方程，由此求解即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， 所以时，分式无意义； （2）由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根， 即当时，分式的值为1． 25．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍．”小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍．”其中n为正整数．求n的可能值的个数． 【答案】n的可能值有4个 【分析】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 设小倩同学有x元，小玲同学有y元，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【详解】解：设小倩同学有x元，小玲同学有y元，x，y均为非负整数， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $