第07讲 平行四边形 （知识详解+16典例分析+习题巩固）2025-2026学年（人教版）八年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 平行四边形 （知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形 1. 四边形的分类：根据四条边的位置关系，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形. 如图21.2－1所示. 2. 平行四边形的定义及表示方法 定义 图示 表示方法 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3. 平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC和AB，共有四组 对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两组 角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠DAB 和∠ABC，共有四组 对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两组 对角线 AC 和BD，共有两条 【知识点02】平行四边形的性质 1. 平行四边形的性质 类别 性质 符号语言 图示 边 对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC  角 对角相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180° 对角线 对角线互相平分 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD 2. 平行四边形中的面积关系(扩展) 图示 条件 O为▱ABCD对角线的交点 P在▱ABCD 的边AD上, 且不与端点重合 结论 续表 图示 条件 P为▱ABCD 内任意一点 EF经过▱ABCD对角线的交点O 结论 【知识点03】两条平行线之间的距离 1. 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. 三种距离之间的区别与联系 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 示意图 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度距离是数值 联系 都是指某一条线段的长度 【知识点04】平行四边形的判定方法 1. 判定平行四边形可以从边、角和对角线三个方面进行. 具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD    BC(或AB    CD)， ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A＝∠C，∠B＝ ∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD 是平行四边形 2. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 【知识点05】三角形的中位线 1. 三角形的中位线及其定理 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 符号语言 如图所示. ∵ AD＝BD，AE＝CE，∴ DE是△ABC的中位线 三角形的中位 线定理 内容 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言 如图所示. ∵ DE为△ABC的中位线， ∴ DE∥BC，且DE＝12BC 应用 (1)位置关系：证明两直线平行；(2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系 2. 三角形的中位线与三角形的中线的区别 类别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号语言 在△ABC，∵ D，E，F 分别是BC，AC，AB 边的中点，∴ DE，EF，FD 是△ABC 的中位线(如图①)，AD，BE，CF是△ABC 的中线(如图②) 续表 区 别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例2．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·月考）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则______． 变式2．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例3．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO 变式1．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 变式2．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      【题型四】求平行线间的距离 例4．（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线，，是三条平行直线．已知与的距离为，与的距离为2cm，求与的距离． 【题型五】利用平行线间距离解决问题 例5．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，与面积一定相等的三角形是（　　） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 变式2．如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【题型六】判断能否构成平行四边形 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 变式2．已知：如图，直线，A，B是直线a上任意两点，，垂足分别为C，D． 求证：． 【题型七】添一个条件成为平行四边形 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在四边形ABCD中，．添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 变式2．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【题型八】数图形中平行四边形的个数 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 【题型九】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例9．（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式1．（2023八年级下·浙江·专题练习）在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 变式2．（22-23八年级下·全国·单元测试）小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【题型十】证明四边形是平行四边形 例10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【题型十一】利用平行四边形的判定与性质求解 例11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图所示，，则与线段相等的线段是___________． 变式2．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【题型十二】利用平行四边形性质和判定证明 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（    ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 变式1．（24-25八年级下·天津·月考）如图，延长的中线至点E，使，连接，则四边形的形状为___，依据的定理是____． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别平分，，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【题型十三】平行四边形性质和判定的应用 例13．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 变式1．（2023·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【题型十四】与三角形中位线有关的求解问题 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，、分别是、的中点．若，，，，则的长是_____________． 变式2．（2026八年级下·湖北荆州·专题练习）如图，点D，E，F分别是的三边，，的中点，，．求四边形的周长． 【题型十五】与三角形中位线有关的证明 例15．（24-25八年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在中，与交于点，是边的中点，下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 【题型十六】三角形中位线的实际应用 例16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·辽宁大连·月考）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是__________． 变式2．要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结．只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由． 一、单选题 1．在平行四边形中，，则的度数为（    ） A．120° B．110° C．60° D．70° 2．下面关于平行四边形的说法中错误的是（   ） A．平行四边形的两条对角线相等 B．平行四边形的两条对角线互相平分 C．平行四边形的对角相等 D．平行四边形的对边相等 3．如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，AC＝10，则△DOE的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 4．平行四边形的两条对角线长分别为8和12，则平行四边形的一条边的长x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，，若点、分别是、的中点，连接，则的长是（    ） A．2 B．4 C． D． 6．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（　　）    A． B． C．4 D． 8．如图，在中，，，D、E、F分别为，、的中点，连接、，相交于点，则的长是（    ）    A． B．1 C． D．2 9．如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰直角三角形中，过点A作使得，连接交于点E，在上取一点F使得，连接交于点G，连接，则 ①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，某公园有一块三角形空地米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，D、E分别是的中点，则栅栏的长为________米． 12．如图，在中，已知，，，点、分别是、的中点，则的长为________． 13．如图，在中，，则的长为__________． 14．在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，且AB＝6，那么这个四边形的周长是________． 15．如图，在菱形中，对角线，点为的中点，点在上且F为中点，连接交于点，若，，则线段的长为 ________________． ​ 16．如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线交于点G．若，则________． 17．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 三、解答题 18．如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点．求证：． 19．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，点E在BD上，满足，求证：四边形AECD是平行四边形； 20．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 21．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 要求：（1）根据给出的，在图形上用尺规作出斜边上的中线，保留作图痕迹，不写作法； （2）根据已有的图形，写出已知、求证和证明过程． 22．如图，点D，E，F分别是的边的中点，连接． (1)求证：； (2)当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． 23．如图，已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，于E，于F．    (1)求证：； (2)过点D作，交的延长线于点G．求证：． 24．如图，在四边形中，，E为中点，延长到点F，使．    (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求四边形的面积． 25．如图，在Rt 中，，动点从点A开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向 点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为s (1)当为何值时，是等边三角形? (2)当为何值时，是直角三角形? (3)过点作于点，连接； ①求证：四边形AFDP是平行四边形； ②当 为何值时， 的面积是面积的一半？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 平行四边形 （知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形 1. 四边形的分类：根据四条边的位置关系，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形. 如图21.2－1所示. 2. 平行四边形的定义及表示方法 定义 图示 表示方法 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3. 平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC和AB，共有四组 对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两组 角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠DAB 和∠ABC，共有四组 对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两组 对角线 AC 和BD，共有两条 【知识点02】平行四边形的性质 1. 平行四边形的性质 类别 性质 符号语言 图示 边 对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC  角 对角相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180° 对角线 对角线互相平分 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD 2. 平行四边形中的面积关系(扩展) 图示 条件 O为▱ABCD对角线的交点 P在▱ABCD 的边AD上, 且不与端点重合 结论 续表 图示 条件 P为▱ABCD 内任意一点 EF经过▱ABCD对角线的交点O 结论 【知识点03】两条平行线之间的距离 1. 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. 三种距离之间的区别与联系 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 示意图 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度距离是数值 联系 都是指某一条线段的长度 【知识点04】平行四边形的判定方法 1. 判定平行四边形可以从边、角和对角线三个方面进行. 具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD    BC(或AB    CD)， ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A＝∠C，∠B＝ ∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD 是平行四边形 2. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 【知识点05】三角形的中位线 1. 三角形的中位线及其定理 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 符号语言 如图所示. ∵ AD＝BD，AE＝CE，∴ DE是△ABC的中位线 三角形的中位 线定理 内容 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言 如图所示. ∵ DE为△ABC的中位线， ∴ DE∥BC，且DE＝12BC 应用 (1)位置关系：证明两直线平行；(2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系 2. 三角形的中位线与三角形的中线的区别 类别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号语言 在△ABC，∵ D，E，F 分别是BC，AC，AB 边的中点，∴ DE，EF，FD 是△ABC 的中位线(如图①)，AD，BE，CF是△ABC 的中线(如图②) 续表 区 别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【详解】解：的对角线、相交于点，其周长为， ，，，， ①； 的周长比的周长大， ， ②， ①②得：， ， ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质得到边的相等关系以及平行关系，利用垂直平分线的性质得到，再根据角度和平行关系推导出的度数进而求得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例2．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解： A、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； B、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； C、根据平行四边形的对角线互相平分，可得，故本选项正确，符合题意； D、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·月考）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则______． 【答案】/60度 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于，列式计算即可得解． 【详解】解：∵平行四边形中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 变式2．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例3．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO 【答案】C 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分即可作出判断． 【详解】解：A、根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD正确； B、根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO正确； C、平行四边形的对角线不一定相等，则AC＝BD错误； D、根据平行四边形的对角线互相平分可得BO＝DO正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分，理解性质定理是关键． 变式1．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 【答案】48 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ． 故答案为：48 【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 变式2．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      【答案】见解析 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分，据此即可画图． 【详解】解：方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分； 据此即可画图， 如图所示：   【点睛】此题主要考查图形的划分，关键是明确有关于平行四边形的特征和它的对角线的性质． 【题型四】求平行线间的距离 例4．（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】求平行线间的距离 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 【答案】2或10 【知识点】求平行线间的距离 【分析】分类讨论：当直线在之间或直线不在之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解． 【详解】解：当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 综上所述，与的距离为或. 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离．解决问题的关键是熟练掌握概念并注意分类讨论． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线，，是三条平行直线．已知与的距离为，与的距离为2cm，求与的距离． 【答案】与的距离为3cm或7cm． 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查了平行线间的距离关系，熟练掌握平行线间距离恒定是解题的关键； 分两种情况：一种是直线c在直线a，b之间，另一种是直线c在直线a，b外，分别进行计算即可． 【详解】解：如图①，直线在直线，外时， 与的距离为，与的距离为2cm， 与的距离为． 如图②，直线在直线，之间时， 与的距离为，与的距离为， 与的距离为． 综上所述，与的距离为3cm或7cm． 【题型五】利用平行线间距离解决问题 例5．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，与面积一定相等的三角形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】根据，得到平行线间的距离处处相等，得到，根据等式的性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形面积，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴平行线间的距离处处相等，得到， ， ． 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 【详解】解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 变式2．如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】(1)，同底等高的两个三角形的面积相等 (2)与，与 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 【详解】（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 【题型六】判断能否构成平行四边形 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【详解】解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形； D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 变式2．已知：如图，直线，A，B是直线a上任意两点，，垂足分别为C，D． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】判断能否构成平行四边形、利用平行四边形的性质求解 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的两组对边相等性质即可得证； 【详解】证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形（平行四边形的定义）． ∴（平行四边形的对边相等）． 【点睛】本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等对于今后的解题由很大的帮助． 【题型七】添一个条件成为平行四边形 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在四边形ABCD中，．添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，以及区分等腰梯形与平行四边形的特征是解题的关键． 已知，需结合平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项是否能确定四边形为平行四边形． 【详解】解：A、，此条件可能构成等腰梯形，不符合题意； B、，等腰梯形也满足对角线相等，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、，且，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形，符合题意； D、，仅涉及一组邻边相等，不涉及对边关系，不能判定为平行四边形，不符合题意． 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 变式2．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型八】数图形中平行四边形的个数 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 【答案】 3 平行四边形，平行四边形，平行四边形 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定画出图形即可解答． 【详解】解：如图： 即平行四边形，平行四边形，平行四边形； 故答案为：3；平行四边形，平行四边形，平行四边形． 【题型九】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例9．（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 变式1．（2023八年级下·浙江·专题练习）在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 【答案】3/三 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 变式2．（22-23八年级下·全国·单元测试）小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【答案】3种情况，画图见解析 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】先连接，，，再分别以，为圆心，，为半径画圆，得到交点E，同法可得D，再延长，交于点F，从而可得答案． 【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，    【点睛】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键． 【题型十】证明四边形是平行四边形 例10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】，，，， ， 即， 解得， ∴，，， ，， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【题型十一】利用平行四边形的判定与性质求解 例11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图所示，，则与线段相等的线段是___________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即与线段相等的线段是． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 【题型十二】利用平行四边形性质和判定证明 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（    ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【答案】A 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】甲方案：连接交于点O，证明，即可，乙方案：证明，且即可，丙方案的思路与乙方案相似求解． 【详解】解：甲方案：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴     ∴， ∴四边形是平行四边形． 丙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴     ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角形的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 变式1．（24-25八年级下·天津·月考）如图，延长的中线至点E，使，连接，则四边形的形状为___，依据的定理是____． 【答案】 平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，三角形中线的性质，解题的关键是掌握该判定定理．由三角形的中线得出，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴, 又 ， ∴四边形是平行四边形，依据的定理是平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别平分，，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】先借助平行四边形的性质和角平分线定义证得，再证出四边形是平行四边形得到，最后结合中点推出与平行且相等，以此判定四边形为平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型十三】平行四边形性质和判定的应用 例13．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 【答案】5 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 变式1．（2023·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【题型十四】与三角形中位线有关的求解问题 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，、分别是、的中点．若，，，，则的长是_____________． 【答案】5 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查中位线的性质、勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 取的中点，连接、，则，和，，进而得到，，最后利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 、分别是、的中点，，， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， ，， ， 在中，， 故答案为：5． 变式2．（2026八年级下·湖北荆州·专题练习）如图，点D，E，F分别是的三边，，的中点，，．求四边形的周长． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、线段中点的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据三角形的中位线定理、线段中点的定义可得，，，，由此即可求解． 【详解】解：点D，E，F分别是的三边，，的中点，，， ，，，， ∴四边形的周长为． 【题型十五】与三角形中位线有关的证明 例15．（24-25八年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在中，与交于点，是边的中点，下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质；根据平行四边形的性质可得，根据可得是的中位线，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 而，，不一定成立； 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 【答案】/30度 【知识点】等边对等角、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质，根据已知条件证明是解题关键． 根据题中所给的中点关系，由中位线定理可得，，进而可得，即是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】点是对角线的中点，点分别是的中点， 是的中位线，即， 同理，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的中位线和三角形全等的判定，熟练掌握相关内容是解题的关键； 连接得到等腰三角形可推导出角相等，根据SAS判定得到线段相等，再根据中位线得到线段长度关系推导出． 【详解】证明：连接和，如图． 和都为等腰三角形，且其顶角， ，，， ， ． ，分别是，的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ． 【题型十六】三角形中位线的实际应用 例16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，据此可求出的长度． 【详解】解：∵ 、分别是、的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理，中位线的长度是的一半，即． 已知，则． 逐一分析选项： A、，与计算结果不符，不符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果一致，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，利用中位线与第三边的长度关系求解． 变式1．（23-24八年级下·辽宁大连·月考）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是__________． 【答案】米/ 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形的中位线定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的中点分别为点， ∴是的中位线， ∵米， ∴米， 故答案为：36米． 变式2．要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结．只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由． 【答案】这种说法正确，理由见解析 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】连接，根据三角形的中位线定理，得出，再判断即可． 【详解】这种说法正确，理由如下： 连接， ，的中点为D，E， 是的中位线， ， 只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离， 所以，这个说法是正确的． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 一、单选题 1．在平行四边形中，，则的度数为（    ） A．120° B．110° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】根据平行四边形的邻角互补解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：邻角互补，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 2．下面关于平行四边形的说法中错误的是（   ） A．平行四边形的两条对角线相等 B．平行四边形的两条对角线互相平分 C．平行四边形的对角相等 D．平行四边形的对边相等 【答案】A 【分析】利用平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分， B、C、D说法正确； 平行四边形的对角线不一定相等，故A说法错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键． 3．如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，AC＝10，则△DOE的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】先求解再证明再利用三角形的周长公式即可得到答案. 【详解】解： 矩形ABCD的周长是28， 为CD的中点， 故选A 【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边”是解题的关键. 4．平行四边形的两条对角线长分别为8和12，则平行四边形的一条边的长x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理，确定所求边所在三角形其他两边的长度，进而应用三边关系确定范围是解题的关键．平行四边形的两条对角线相交和平行四边形的一边构成三角形，这个三角形的两条边是4，6，第三条边就是平行四边形的一条边x，即满足，解得即可． 【详解】解；如图， ∵平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的一条边长为x，则， 解得：， 故选：D． 5．在中，，，，若点、分别是、的中点，连接，则的长是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形中位线定理，正确求出的长是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 6．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∵垂线段最短， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选：D． 7．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（　　）    A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，由等腰直角三角形的判定与性质得出，由平行四边形的性质得出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：，，， 为等腰直角三角形，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 故选：D． 8．如图，在中，，，D、E、F分别为，、的中点，连接、，相交于点，则的长是（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出，然后证明即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴． ∵F为的中点， ∴， ∴． ∵D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 同理可证：， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键． 9．如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，根据三角形中位线的判定确定点是线段边的中点，继而得到，从而确定向右平移个单位，据此得解． 【详解】解：，，都是的顶点， ∴，，， 即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点， ∴， ∵点是线段边的中点， ∴点的坐标为，即， 过点作轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段边的中点， ∴， ∵将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上， 又∵，， ∴沿轴向右平移个单位， ∴． 故选：C． 10．如图，在等腰直角三角形中，过点A作使得，连接交于点E，在上取一点F使得，连接交于点G，连接，则 ①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理可求出,证明四边形是平行四边形得,进而得,则,然后可求出的度数，进而可对①进行判断；②过点作交的延长线于,则四边形是正方形，从而得,根据在中，得,由此可对进行判断；根据得,由此可对进行判断；证明和全等得,由此可对进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等腰直角三角形， ,,, , , , , , , , , , , , ,, 四边形是平行四边形， , , , , ,故正确，符合题意； 过点作交的延长线于,如图所示， , , 四边形是矩形， 又, 矩形是正方形， , 又, , 在中，, , ,故不正确，不符合题意； , , , ,故正确，符合题意； , , , 在和中, , , , 故正确，符合题意； 综上所述：正确的是：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的内角和及外角性质等知识点，熟练掌握掌握全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质是解决此题的关键． 二、填空题 11．如图，某公园有一块三角形空地米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，D、E分别是的中点，则栅栏的长为________米． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据题意，得到是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 故答案为：6． 12．如图，在中，已知，，，点、分别是、的中点，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查的是含角的直角三角形，三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，求出BC，根据三角形中位线定理求出DE，即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴ ∵D、E分别是、的中点， ∴， 故答案为：3． 13．如图，在中，，则的长为__________． 【答案】/厘米 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，勾股定理．由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，又由，根据勾股定理，即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，且AB＝6，那么这个四边形的周长是________． 【答案】30或18 【分析】首先根据题意作图，由AE平分∠BAD交直线BC于点E，可知点E在边BC上或者在其延长线上；分别求解即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB＝6， 如图1，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：9+6+9+6＝30； 如图2，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：3+6+3+6＝18； ∴这个四边形的周长是：30或18． 故答案为：30或18． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的有关性质，熟练掌握平行四边形的有关性质是解题的关键，易错点是容易忽略E在边BC延长线这种情况． 15．如图，在菱形中，对角线，点为的中点，点在上且F为中点，连接交于点，若，，则线段的长为 ________________． ​ 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是解题的关键． 作于点，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明是的中位线，得到，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作于点， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线交于点G．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长． 【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分， ∴AC⊥BD，在Rt△AOE中， ∵OE=3，OA=4， ∴根据勾股定理得， ∵AE=BE， ∴， 在Rt△AOB中， 即菱形的边长为， ∵点F为的中点，点O为DB中点， ∴ ． 故答案为 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键． 三、解答题 18．如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先根据平行四边形的性质，证明，再由全等三角形的性质判定出四边形DEBF为平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，即可证得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴,，. 在和中， ∵ , ∴, ∴,, ∴，即, ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是解决本题的关键． 19．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，点E在BD上，满足，求证：四边形AECD是平行四边形； 【答案】见详解 【分析】证，得，再由，即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， （ASA）， ， 又， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解此题的关键． 20．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理与定义，平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握以上概念．本题先利用中位线的定义与性质得到，再得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 21．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 要求：（1）根据给出的，在图形上用尺规作出斜边上的中线，保留作图痕迹，不写作法； （2）根据已有的图形，写出已知、求证和证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）已知：在中，，是斜边上的中线．求证：．证明见解析． 【分析】（1）作斜边AC上的垂直平分线，即可得到斜边AC上的中线BE； （2）作ED⊥BC于D，EF⊥AB于F，得到EF∥BC，DE∥AB，BE是中线，故BE=EC，BE=EA，即可求解． 【详解】（1）作线段AC的垂直平分线交AC于E，连结BE， ∵AE=CE， ∴BE是斜边AC的中线， 如图：线段就是所求作的；      （2）已知：在中，，BE是斜边AC上的中线， 求证：． 证明：作ED⊥BC于D，EF⊥AB于F， 则EF∥BC，DE∥AB， ∵BE是中线， ∴AF=FB，CD=BD， ∴直线DE是线段BC的垂直平分线，直线EF是线段AB的垂直平分线， ∴BE=EC，BE=EA， ∴BE=EA=EC=AC． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，注意命题的证明的格式、步骤． 22．如图，点D，E，F分别是的边的中点，连接． (1)求证：； (2)当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形为矩形．理由见解析． 【分析】（1）由点D，E，F分别是的中点，可得，，是的中位线，再证明，，然后根据可证； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，可证，从而平行四边形为矩形． 【详解】（1）∵点D，E，F分别是的边的中点， ∴，，是的中位线， ∴，， ∴，． 在和中， ∴； （2）当时，四边形为矩形． 理由：由（1）得，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 【点睛】此题考查了中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识． 23．如图，已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，于E，于F．    (1)求证：； (2)过点D作，交的延长线于点G．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明方法一：根据平行四边形的性质即等边对等角得出，根据垂直的定义得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，最后根据平行四边形的性质及线段的和差即可得证；证明方法二：根据平行线的判定及性质得出，再根据平行四边形的性质得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证； （2）利用平行四边形的面积得出两个式子，即可得出答案． 【详解】（1）证明方法一： ∵是平行四边形 ∴（平行四边形对边相等），（平行四边形对边平行） ∴ ∵， ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵（平行四边形对角线互相平分） 即 ∴ 证明方法二： ∵， ∴ ∴ ∵是平行四边形 ∴（平行四边形的对角线互相平分） 在和中， ∵ ∴ ∴ （2）∵， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24．如图，在四边形中，，E为中点，延长到点F，使．    (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由证明，即可得出； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，，证出，即可得出四边形为平行四边形； （3）由平行四边形的性质得出，，，证出，得出，证出，由勾股定理求出，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）由（1）得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形； （3）∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 25．如图，在Rt 中，，动点从点A开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向 点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为s (1)当为何值时，是等边三角形? (2)当为何值时，是直角三角形? (3)过点作于点，连接； ①求证：四边形AFDP是平行四边形； ②当 为何值时， 的面积是面积的一半？ 【答案】(1)​时，是等边三角形 (2)​或​时，​是直角三角形 (3)①证明见详解②当时，的面积是​面积的一半． 【分析】（1）由等边三角形的判定与性质得出答案； （2）分两种情况画出图形，由直角三角形的性质列出方程可得出答案； （3）①证出PD=AF，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出结论； ②根据题意，列出关于t的方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）证明: 由题意可得: ， 当时，是等边三角形 即 时，是等边三角形 （2）当 时， 即 当 时， 即 当或时，是直角三角形 （3）①∵PD⊥BC，∠C=90°-60°=30°， ∴， ∵ ∴ 四边形是平行四边形； ②在 Rt 中，， 由勾股定理可得 在 Rt 中， 由勾股定理可得 解得 或（舍去）， 当时，的面积是面积的一半． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $