第07讲 图形的平移（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年（北师大版）八年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 图形的平移（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】平移的定义 1.平移 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 3.1-1，把△ ABC 沿直线EF 的方向平移，得到△ A′ B′ C′ . 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′ . 对应线段： AB 与 A′ B′， AC 与 A′ C′， BC 与 B′ C′ . 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′ . 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 平移图形时，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离 . 【知识点02】平移的性质 1. 平移的性质 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。 2. 示图 如图 3.1-2，△ ABC 平移到△ A′ B′ C′的位置，则 (1) AB∥ A′ B′， AC∥ A′C′， BC∥ B′C′， AA′∥BB′∥CC′； (2) AB=A ′ B ′， AC=A ′C ′， BC=B ′ C ′，AA′=BB′=CC′； (3) ∠BAC=∠B′A′ C′，∠ ABC=∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′ . 【知识点03】平移作图 平移作图的一般步骤 平移的性质是平移作图的依据。 (1)定： 确定平移的方向和距离 . (2)找： 找出图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点) . (3)移： 过关键点作与已知对应点所连线段平行且相等的线段，得到关键点的对应点 . (4)连： 按原图形顺次连接对应点 . 【知识点04】图形的平移与坐标的变化 1. 由图形的平移确定坐标的变化 图形的平移的实质就是图形上点的平移，平移后的图形与原图形对应点的坐标之间的关系如下表所示，设原图形上一点的坐标为（x，y）： 点平移时坐标变化的规律：左右平移时，右加左减纵不变，上下平移时，上加下减横不变。 平移方向 平移距离 对应点的坐标 沿x 轴方向 向右平移 a 个 单位长度 （a>0）  （x+a，y）  向左平移 （x-a，y）  沿y 轴方向 向上平移 （x，y+a）  向下平移 （x，y-a）  2. 由坐标的变化确定图形的平移 在平面直角坐标系中，图形上各点的横、纵坐标分别增加或减少相同的量时，图形在原位置的基础上进行了平移，其平移规律如下表： 图形上各点的坐标变化（k>0）  图形的平移规律 平移方向 平移距离 纵坐标不变 横坐标分别加k  沿x 轴方向 向右平移 k 个单位长度 横坐标分别减k  向左平移 横坐标不变 纵坐标分别加k  沿y 轴方向 向上平移 纵坐标分别减k  向下平移 【知识点05】沿两个坐标轴方向平移后的图形变化与坐标变化 1. 已知原图形上一点（x，y），当图形先沿x 轴平移，再沿y 轴平移后，其对应点的坐标变化如下： 平移方向和平移距离（a ＞ 0，b ＞ 0）  对应点的坐标 向右平移a 个单位长度，向上平移b 个单位长度 （x+a，y+b）  向右平移a 个单位长度，向下平移b 个单位长度 （x+a，y-b）  向左平移a 个单位长度，向上平移b 个单位长度  （x-a，y+b） 向左平移a 个单位长度，向下平移b 个单位长度 （x-a，y-b）  2. 一个图形依次沿x 轴方向、y 轴方向平移后所得到的图形，可以看成是由原来的图形一次平移得到的。 【题型一】生活中的平移现象 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    【答案】平移 【知识点】生活中的平移现象 【详解】解：由题意得，物块M上升的过程可以看作数学上的平移运动 ． 变式2．让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【答案】见详解 【知识点】生活中的平移现象 【分析】将③号棒左移，②号棒移动到③号棒另一头，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【详解】解：如图，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，培养学生的观察能力和动手能力，具有较强的空间想象能力是解题关键． 【题型二】图形的平移 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项符合题意； B、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； C、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； D、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意． 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【答案】 【知识点】图形的平移 【详解】解：由题意，线段与线段是一组对应线段，与是一组对应角. 变式2．如图，点A，B，C，D，E，F都在网格纸的格点上，你能平移线段，使得与重合吗？你能平移线段，使得与重合吗？ 【答案】都能，可以平移线段，使得与重合，但不能平移线段，使得与重合 【知识点】图形的平移 【分析】根据平移的性质解决问题即可． 【详解】解：将线段AB向右平移2个单位，再向上平移一个单位可以与线段CD重合． 平移线段AB不可能与线段EF重合． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型三】利用平移的性质求解 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】对于本题，重点把握平移的不变性，即对应边相等． 由平移的性质得到，，，再根据四边形的周长求解即可． 【详解】解：将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到， ，，， 四边形的周长． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长为10的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形．若重叠部分的面积为20，则__________． 【答案】8 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】根据重叠部分的面积为20，求出，即可求出． 【详解】解：∵重叠部分的面积为20，正方形边长为10， ∴， 即， ∴， ∴． 变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，经过平移后得到，点、、的对应点分别是点、、．若，，求的长度和的度数． 【答案】， 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查图形平移，根据图形平移的性质“对应边相等，对应角相等”求解即可． 【详解】解：∵经过平移后得到， ∴． 【题型四】利用平移解决实际问题 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【答案】D 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到，根据平移的性质，作答即可 ． 【详解】解：由题意，2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到， 故三个散热片所用管道一样长 ． 变式1．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为_________． 【答案】14 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 把图中四个小长方形的边长进行平移，可得到图中四个小长方形的周长之和等于长方形的周长． 【详解】解：通过平移可知，图中四个小长方形的周长之和． 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少． 【答案】种植花草的面积是 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩余部分即为种植花草的面积， 本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，如图所示： 所以种植花草的面积为：， 故答案为：种植花草的面积是． 【题型五】平移(作图) 例5．（22-23八年级下·山东济南·期末）泉城济离，泉甲天下，将如图所示的泉城图标平移后可以得到（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】根据平移的概念，平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移的概念和平移的性质可得， 、平移得到，符合题意； 、旋转得到，不符合题意； 、旋转得到，不符合题意； 、旋转得到，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的概念，再利用图形结合平移的特点进行分析和判断是解题的关键． 变式1．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【知识点】平移(作图) 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，平移四边形，使点移动到点，画出平移后的四边形． 【答案】见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】本题考查了平移的性质与作图，掌握平移的方向和距离由对应点确定，按此平移所有顶点并连接成图是解题的关键． 确定点到的平移方向和距离，再按此方向和距离平移三点得到对应点，最后连接各对应点． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 【题型六】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例6．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 变式1．（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后点的坐标即可． 【详解】解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即． 故答案为：． 变式2．（2023八年级下·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形． (1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在坐标系中作出； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】(1)根据平移方式找到的对应点，顺次连接，即为所求； (2)根据题意，连接，根据四边形的面积,结合网格，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）四边形的面积为：． 【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 【题型七】由平移方式确定点的坐标 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将三角形上各点的纵坐标都减4，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向右平移了4个单位长度 B．向左平移了4个单位长度 C．向上平移了4个单位长度 D．向下平移了4个单位长度 【答案】D 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据坐标平移的性质，纵坐标减少，图形向下平移． 坐标平移中，纵坐标变化影响上下平移，减则向下；横坐标变化影响左右平移． 【详解】解：设点为图形上任意一点，变换后为， ∵横坐标不变，纵坐标减4， ∴图形向下平移了个单位． 故选：D 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则__________，__________． 【答案】 0 7 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【详解】解：将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点， ∴， ∴． 变式2．（24-25八年级下·甘肃兰州·月考）将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移变换，解题的关键是掌握点在平移过程中横、纵坐标的变化规律（右移横坐标加，下移纵坐标减）． 根据平移规律，写出点P平移后得到的的坐标表达式；通过对应坐标相等列出关于m和n的方程，求解得到m和n的值，进而确定点Q的坐标． 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度，横坐标变为；再向下平移3个单位长度，纵坐标变为 ∴平移后得到的点的坐标为，． 又∵平移后得到点 ∴且． 由解得． ∴点的坐标为． 【题型八】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】平面直角坐标系平移中点的变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，根据坐标变化判断平移方法即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，平移后点B的坐标为， ∴两点纵坐标相等，没有发生上下平移，故排除C、D选项； 又∵，横坐标减少4，符合左移减的规律， ∴平移方法为向左平移4个单位长度． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）点经过一次平移得到点，则点向__________平移了__________个单位长度． 【答案】 左 5 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标的平移，熟练掌握坐标平移的变化规律是解题的关键． 比较点P和点的坐标，发现纵坐标相同，横坐标变化，从而确定平移方向为水平方向，通过计算横坐标差得出平移距离． 【详解】解：点P与点的纵坐标均为2，表明平移沿x轴方向进行; 横坐标从2变为，变化量为， 即向左平移5个单位长度． 故答案为：向左；5． 变式2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系内有一个． (1)将向上平移5个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)再将向左平移得到，此时，请在平面直角坐标系中画出． (3)若将看成是由经过一次平移得到，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)将沿方向平移个单位可得 【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了作图——平移及勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）先确定点的位置，然后连线即可； （2）可知，将向左平移6个单位得到，然后根据平移的性质画图即可； （3）根据图形观察可得平移方向，利用勾股定理可求出平移的距离． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：∵， ∴将沿方向平移个单位可得． 【题型九】已知图形的平移，求点的坐标 例9．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，将线段平移至，则的值为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，得出A，C两点纵坐标差等于B，D两点的纵坐标差，据此可解决问题． 【详解】解：因为线段由线段平移得到， 所以，， 所以． 故选：B． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】先求出平移的距离，再根据平移的性质得出点C的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到， ∴将点向右平移2个单位长度得到点． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，线段的两个端点坐标分别为，．线段向下平移3个单位长度，它的像是线段． (1)试写出点，的坐标． (2)若点是平面内的任一点，在上述平移下，像点与点的坐标之间有什么关系？ 【答案】(1)点，的坐标分别为，． (2) 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移性质即可写出点，的坐标； （2）根据点是平面内的任一点，在上述平移下，即可得像点与点的坐标之间的关系． 【详解】（1）解：，，线段向下平移个单位长度， 点，的坐标分别为，． （2）解：点是平面内的任一点，在上述平移下， 像点与点的坐标之间关系为 【题型十】已知平移后的坐标求原坐标 例10．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题考查坐标与图形的变化—平移，已知新点的坐标，求原来点的坐标，根据平移的逆过程，将平移后的点反向平移即可得到原坐标即可．解题的关键是掌握点坐标平移的坐标特征：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，上加下减． 【详解】解：∵将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为， ∴将坐标为的点先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得到点， ∴点坐标为，即． 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 【答案】， 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解 【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为， ∴平移后点坐标为， ∵与给定点相等， ， 解得 ， 故答案为：，． 【题型十一】平移综合题(几何变换) 例11．（24-25八年级下·全国·期中）在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解、平移综合题(几何变换) 【分析】本题主要考查了学生对图形的平移等有关知识的掌握情况，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度可得答案． 【详解】解：．横坐标、纵坐标分别乘2，横、纵坐标分别乘以2，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的2倍那么五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标不变，纵坐标分别加2，这表示五边形在垂直方向上向上平移了2个单位长度，在这个过程中五边形的大小和形状都不会发生改变，故该选项符合题意； ．横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，这会使五边形在垂直方向上拉伸，大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标加2，纵坐标乘以2，横坐标加2是水平方向平移，纵坐标乘以2是垂直方向拉伸，五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； 故选：B． 变式1．如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为______． 【答案】1 【知识点】平移综合题(几何变换) 【分析】先根据平移的性质得出平移的距离，以及线段在平移过程中扫过部分是平行四边形，再由等腰直角三角形计算出OO'对应的高，计算面积即可 【详解】解：如图 ∵点B的坐标为(0， )，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O'A' B',此时点B'的坐标为(,) ∴AA'=BB' = ∵△OAB是等腰直角三角形 ∴ OA=1 ∴xA=,yA= ∴A (,) ∴OO'对应的高为 线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为平行四边形的面积： ×=1 故答案为：1 【点睛】本题考查平移，平行四边形的面积，等腰直角三角形，勾股定理，灵活应用平移的知识是关键 变式2．（22-23七年级下·四川南充·月考）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点．    (1)补全根据下列条件，利用网格点和三角板画图； (2)的面积为 　 　； (3)求线段平移过程中扫过的面积S． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)16 【知识点】平移综合题(几何变换) 【分析】（1）根据平移的意义作图； （2）根据割补法求面积； （3）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据割补法求面积． 【详解】（1）即为所求；    （2）的面积为：， 故答案为：8； （3）AB扫过的图形是平行四边形，面积为和面积的和， 所以． 【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握割补法求面积是解题的关键． 【题型十二】坐标系中的平移 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，每个小方格的边长为1．已知点，，那么原点的位置在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】D 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了构建坐标系，熟练掌握根据点的坐标找出原点是解题的关键； 根据平面直角坐标系中坐标的定义，通过已知点的坐标来确定原点的位置． 【详解】解：∵ ∴E点向右移动2个单位长度，再向下移动三个单位长度即为原点； 同理可得，A点向右移动4个单位长度，再向下移动6个单位长度即为原点； 经过这两种平移步骤后，最后均落在D点； ∴原点为D点 故选： D． 变式1．（24-25八年级下·河北保定·期末）若点与点的连线平行于轴，则a的值为____． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用．根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相同， 即， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的； (2)关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3)4 【知识点】坐标系中的平移、坐标系中的对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了坐标与图形． （1）根据平移作图即可； （2）根据对称作图即可，根据图像即可得到坐标； （3）根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； 由图可知：坐标为； （3）解：， ∴的面积为． 一、单选题 1．下面四个选项中的图形，可以从所给的心形图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的性质，解题的关键是掌握平移不改变图形的形状和大小，只改变位置． 【详解】解：由于平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，则四个选项中只有C选项是题干图形平移得到的， 故选：C． 2．下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．投篮时篮球的运动 D．急刹车时汽车在地面上直线滑动 【答案】D 【分析】根据平移沿直线运动且大小保持不变性质判断即可． 【详解】A. 冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡，有大小的变化， 故错误； B. 随风飘动的树叶在空中的运动，大小不变，担不是沿着直线移动， 故错误； C. 投篮时篮球的运动，不沿着直线运动， 故错误； D. 急刹车时汽车在地面上直线滑动，符合平移定义， 故正确； 故选D． 【点睛】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵线段平移到线段， ∴线段向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到线段， ∴． 故选：C 4．在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为，，平移线段，平移后其中一个端点的坐标为，则另一端点的坐标为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况考虑：平移后的对应点为；平移后的对应点为；利用坐标平移的特征：上加下减，即可求解． 【详解】解：当平移后的对应点为时， 即点A向右平移4个单位长度得到， ∴点B向右平移4个单位长度得到的坐标为； 当平移后的对应点为时， 即点B先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， ∴点A先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到； 综上，另一端点的坐标为或； 故选：A． 【点睛】本题考查了点的平移，确定出平移是关键，注意分类讨论． 5．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，6），将△AOB沿x轴向右平移后得到△A′O′B′，点B的对应点B′在直线y上，则点A与其对应点A′之间的距离为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由题意得：AA′=BB′，则欲求AA′，需求BB′，即平移的单位长度．根据平移后的B′在直线上，故可求出BB′． 【详解】解：由题意得：AA=BB′． 设B（0，6）向右平移a个单位长度得到B′（a，6）（a＞0）． ∴a＝6． ∴a=8（8＞0，符合题意）． ∴BB′=8． ∴AA′=8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形平移的性质以及一次函数图象的点与一次函数解析式之间的关系，熟练掌握图形平移的性质以及一次函数图象的点与一次函数解析式之间的关系是解决本题的关键． 6．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移规律与轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减、轴上点的横坐标为是解题的关键． 点向左平移，横坐标减，纵坐标不变；点在轴上，则其横坐标为，由此求出的值，再代入求坐标． 【详解】解：∵点向左平移1个单位得到点， ∴的坐标为，即， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴的坐标为，即． 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系内，其中．点的坐标分别为．将沿轴向右平移；当点落在直线时，线段扫过的面积为（   ） A．14 B．28 C．32 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数自变量的值，勾股定理，掌握平移的性质是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，进而求得平移的值，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为， ∴ ，． 当点落在直线时， 解得 ∴平移后点 平移了个单位 线段扫过的面积为 故选：B． 8．如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（    ）    A．80 B．89 C．98 D．99 【答案】C 【分析】首先把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加． 【详解】解：把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，    这个垫片的周长：． 答：这个垫片的周长为． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移，关键是利用平移的方法表示出垫片的周长等于正方形的周长加． 9．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置．则下列说法正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④若，，阴影部分的面积为30，则；⑤若三角形的面积是2，点平移到的中点时，则三角形扫过的面积是6． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，梯形的面积，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，得，，，再结合平移得，故阴影部分的面积，因为将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，故，因为三角形的面积是2，点平移到的中点，，，所以，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置， ∴，，， 故①②是符合题意，故③是不符合题意； ∵平移， ∴，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 则 ∵，， ∴ ∴， 故④是符合题意， ∵将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴ ∵三角形的面积是2，点平移到的中点， ∴，， ∴， ∴， 则． ∴三角形扫过的面积是4． 故⑤是不符合题意， 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解． 【详解】解：，，，，，，，… （n为正整数）， 解得， ． 故选：C． 二、填空题 11．将点向右平移2个单位后，得到的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【详解】解：由题知，将点向右平移2个单位后，得到的对应点B的坐标是． 故答案为：． 12．已知正方形的边长为，若把它向右平移，那么点A移动了________________． 【答案】10 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵正方形它向右平移， ∴点A向右移动了， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，把点P(a−1，5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b，5)，则2a+4b+3的值为______． 【答案】15 【分析】直接利用平移中点的变化规律求得a+2b=6，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵把点P(a−1，5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b，5)， ∴a-1-3=2-2b，即a+2b=6， ∴2a+4b+3=2(a+2b)+3=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律以及代数式的求值．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 14．如图，将沿方向向右平移3cm得到，如果的周长为20cm，那么四边形的周长为_________cm．    【答案】26 【分析】先根据平移的性质得，，再由的周长为20cm得到，然后利用等线段代换可计算出四边形的周长． 【详解】解：∵沿方向向右平移3cm得到， ∴，， ∵的周长为20cm，即， ∴， 即四边形的周长为． 故答案为：26． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 15．如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，为方便游客观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中空白部分），小路的宽均为．若，，小明沿着小路的中间从入口处走到出口处，则他所走的路线（图中虚线）的长为_____． 【答案】54 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米， 所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故答案为：54． 16．如图，在平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，将沿轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的基本规律，正比例函数解析式的确定，熟记平移的规律是解题的关键． 确定向左平移的距离为，确定点的坐标为，将其代入中，即可得出结果． 【详解】解：∵点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，且点的坐标为， ∴向左平移的距离为， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点落在直线， ∴，解得， 故答案为：． 17．如图，第一象限内有两点，将线段平移，使点分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_________． 【答案】或 【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、． 分两种情况：点 ①在轴上，在轴上； 则横坐标为0，纵坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； ②在轴上，在轴上． 则纵坐标为0，横坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 18．如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则___________ ． 【答案】或或 【分析】本题考查图形的平移和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键．根据的平移过程，分为点E在上和点E在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：分类讨论：（1）如图，当点E在上时，过点C作， ∵由平移得到， ∴． ∵， ∴． ①当时， ∴设，则， ∴，． ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴设，则， ∴，． ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）当点E在外时，过点C作， ∵由平移得到， ∴． ∵， ∴.　 ①当时， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 故答案为：或或． 三、解答题 19．平面直角坐标系中，点，如果的两个平方根分别是与． （1）求点的坐标； （2）点沿轴的方向向右平移多少个单位后落在第一和第三象限的平分线上？ 【答案】（1）；（2）向右平移1个单位 【分析】（1）根据平方根的概念求解即可； （2）根据第一和第三象限的平分线上点的坐标特点求解即可； 【详解】（1）根据题意得： ∴， 所求的点的坐标为， （2）根据题意得： 点沿轴的方向向右平移1个单位后落在第一和第三象限的平分线上． 【点睛】此题考查了平方根的概念和第一和第三象限的平分线上点的坐标特点，解题的关键是根据所需的知识点找到等量关系列出方程． 20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．三角形的顶点A的坐标为， 顶点 B的坐标为顶点C的坐标为 (1)把 向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到三角形 ，画出三角形 (2)求 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移作图． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，连接即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：三角形 如图所示， （2）解：． 21．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)把向下平移2个单位长度得到的； (2)画出格点关于直线对称的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别找到点，再依次连接，即可作答． （2）根据轴对称的性质，分别找到点，再依次连接，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：为向下平移2个单位长度得到的图形： （2）解：如图所示：为关于直线对称的图形． 22．如图，三角形在平面直角坐标系中， （1）请写出三角形各顶点的坐标； （2）若把三角形向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到三角形，请在图中画出三角形； （3）若线段上一点M的坐标为，请直接写出点M平移后的对应点的坐标； （4）求出三角形的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）7 【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义直接写出的坐标； （2）根据平移的方向和距离，确定的坐标，然后描出，连接，则即为所求； （3）根据（2）的平移方式，写出的坐标即可； （4）将图形补全成一个长方形，然后利用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求得． 【详解】（1）根据平面直角坐标系的定义直接写出的坐标为：； （2）作图如下： 平移的方式为：向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 则横坐标减2，纵坐标加3， ， ， 再平面直角坐标系中描出点，连接， 即为所求． （3）根据（2）可知，平移的方式为：向上平移3个单位，再向左平移2个单位 则横坐标减2，纵坐标加3， 上一点M的坐标为平移后的坐标， （4）如图， ． 【点睛】本题考查了平移的作图，平面直角坐标系的定义，点的坐标，根据平移的性质作图是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点、、，请画出； (3)求与的面积比，即__________（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称变换和三角形的面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得出各对应点，进而得出答案； （3）分别求得和的面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：由题意得，， 如图所示：即为所求； （3）解：∵，得到， ∴． 故答案为：． 24．如图，三角形的AB边刚好经过格点，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． (1)请画出平移后得到的三角形； (2)写出的坐标； (3)求出三角形ABC的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质画出； （2）根据坐标系写出点的坐标； （3）根据网格的特点用长方形减去三角形三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）， （3）． 【点睛】本题考查了平移作图，写出点的坐标，数形结合是解题的关键． 25．在如图所示的平面直角坐标系中描出下面各点：． (1)将点A沿x轴的负方向平移6个单位，它与点 重合； (2)连接．则直线与y轴是什么关系？ (3)顺次连接A、B、C、D、A得到四边形．求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)轴； (3)四边形的面积为． 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平移的性质，利用描点法画出图形即可判断； （2）利用图形判断即可； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由题意，将点沿轴负方向平移个单位得：，即， ∴平移后与点重合， 故答案为：； （2）解：连接，如图： 观察图象可知，轴； （3）解：， ∴四边形的面积为． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中是的立方根，且满足． (1)直接写出、、三点坐标：___________，___________，___________； (2)如图1，将三角形向左平移个单位，三角形被轴分成面积比为的两个部分，求的值． (3)如图2，将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一动点，点为第一象限内动点，且，连接，若，直接写出点的纵坐标（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或3 (3)或 【分析】1）根据立方根定义求出a的值，根据非负数的性质求出b、c的值，即可得出答案； （2）先求出，再求出面积小的那个部分为，共有两种情况分别画出图形，求出结果即可； （3）先求出平移后点A的坐标为，，连接，过点A作轴于点M，过点B作轴，求出，再求出，分两种情况：当点G在下方时，当点G在上方时，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是的立方根，且满足， ∴，，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵要将面积分为两个部分， ∴面积小的那个部分为， 共有两种情况： ①如图1，设与y轴交于点，平移后点坐标分别为，， 则，，连接， ，即， 解得：， ， ， 开平方得：， 解得：或， ∵， ∴； 如图2，设与轴交于点，平移后点坐标分别为，，，则，连接． 同理：， 即， 解得：， ， 开平方得：， 解得：或9， ∵当时，三角形都在轴左侧，不符合题意， ； 综上所述，或3； （3）解：根据平移可知，平移后点A的坐标为，， 连接，过点A作轴于点M，过点B作轴，如图所示： 设与y轴交于点P，设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ∵，，，，，， ∴ ， 当点G在下方时，如图所示： ， ∵， ∴， 解得：； 当点G在上方时，如图所示： ， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：点纵坐标为或． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，坐标与平移，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 图形的平移（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】平移的定义 1.平移 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 3.1-1，把△ ABC 沿直线EF 的方向平移，得到△ A′ B′ C′ . 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′ . 对应线段： AB 与 A′ B′， AC 与 A′ C′， BC 与 B′ C′ . 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′ . 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 平移图形时，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离 . 【知识点02】平移的性质 1. 平移的性质 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。 2. 示图 如图 3.1-2，△ ABC 平移到△ A′ B′ C′的位置，则 (1) AB∥ A′ B′， AC∥ A′C′， BC∥ B′C′， AA′∥BB′∥CC′； (2) AB=A ′ B ′， AC=A ′C ′， BC=B ′ C ′，AA′=BB′=CC′； (3) ∠BAC=∠B′A′ C′，∠ ABC=∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′ . 【知识点03】平移作图 平移作图的一般步骤 平移的性质是平移作图的依据。 (1)定： 确定平移的方向和距离 . (2)找： 找出图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点) . (3)移： 过关键点作与已知对应点所连线段平行且相等的线段，得到关键点的对应点 . (4)连： 按原图形顺次连接对应点 . 【知识点04】图形的平移与坐标的变化 1. 由图形的平移确定坐标的变化 图形的平移的实质就是图形上点的平移，平移后的图形与原图形对应点的坐标之间的关系如下表所示，设原图形上一点的坐标为（x，y）： 点平移时坐标变化的规律：左右平移时，右加左减纵不变，上下平移时，上加下减横不变。 平移方向 平移距离 对应点的坐标 沿x 轴方向 向右平移 a 个 单位长度 （a>0）  （x+a，y）  向左平移 （x-a，y）  沿y 轴方向 向上平移 （x，y+a）  向下平移 （x，y-a）  2. 由坐标的变化确定图形的平移 在平面直角坐标系中，图形上各点的横、纵坐标分别增加或减少相同的量时，图形在原位置的基础上进行了平移，其平移规律如下表： 图形上各点的坐标变化（k>0）  图形的平移规律 平移方向 平移距离 纵坐标不变 横坐标分别加k  沿x 轴方向 向右平移 k 个单位长度 横坐标分别减k  向左平移 横坐标不变 纵坐标分别加k  沿y 轴方向 向上平移 纵坐标分别减k  向下平移 【知识点05】沿两个坐标轴方向平移后的图形变化与坐标变化 1. 已知原图形上一点（x，y），当图形先沿x 轴平移，再沿y 轴平移后，其对应点的坐标变化如下： 平移方向和平移距离（a ＞ 0，b ＞ 0）  对应点的坐标 向右平移a 个单位长度，向上平移b 个单位长度 （x+a，y+b）  向右平移a 个单位长度，向下平移b 个单位长度 （x+a，y-b）  向左平移a 个单位长度，向上平移b 个单位长度  （x-a，y+b） 向左平移a 个单位长度，向下平移b 个单位长度 （x-a，y-b）  2. 一个图形依次沿x 轴方向、y 轴方向平移后所得到的图形，可以看成是由原来的图形一次平移得到的。 【题型一】生活中的平移现象 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    变式2．让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【题型二】图形的平移 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 变式2．如图，点A，B，C，D，E，F都在网格纸的格点上，你能平移线段，使得与重合吗？你能平移线段，使得与重合吗？ 【题型三】利用平移的性质求解 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长为10的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形．若重叠部分的面积为20，则__________． 变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，经过平移后得到，点、、的对应点分别是点、、．若，，求的长度和的度数． 【题型四】利用平移解决实际问题 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 变式1．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为_________． 变式2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少． 【题型五】平移(作图) 例5．（22-23八年级下·山东济南·期末）泉城济离，泉甲天下，将如图所示的泉城图标平移后可以得到（    ）    A．   B．   C．   D．   变式1．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，平移四边形，使点移动到点，画出平移后的四边形． 【题型六】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例6．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______． 变式2．（2023八年级下·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形． (1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在坐标系中作出； (2)求四边形的面积． 【题型七】由平移方式确定点的坐标 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将三角形上各点的纵坐标都减4，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向右平移了4个单位长度 B．向左平移了4个单位长度 C．向上平移了4个单位长度 D．向下平移了4个单位长度 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则__________，__________． 变式2．（24-25八年级下·甘肃兰州·月考）将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，求点的坐标． 【题型八】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）点经过一次平移得到点，则点向__________平移了__________个单位长度． 变式2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系内有一个． (1)将向上平移5个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)再将向左平移得到，此时，请在平面直角坐标系中画出． (3)若将看成是由经过一次平移得到，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 【题型九】已知图形的平移，求点的坐标 例9．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，将线段平移至，则的值为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，线段的两个端点坐标分别为，．线段向下平移3个单位长度，它的像是线段． (1)试写出点，的坐标． (2)若点是平面内的任一点，在上述平移下，像点与点的坐标之间有什么关系？ 【题型十】已知平移后的坐标求原坐标 例10．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 【题型十一】平移综合题(几何变换) 例11．（24-25八年级下·全国·期中）在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 变式1．如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为______． 变式2．（22-23七年级下·四川南充·月考）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点．    (1)补全根据下列条件，利用网格点和三角板画图； (2)的面积为 　 　； (3)求线段平移过程中扫过的面积S． 【题型十二】坐标系中的平移 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，每个小方格的边长为1．已知点，，那么原点的位置在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 变式1．（24-25八年级下·河北保定·期末）若点与点的连线平行于轴，则a的值为____． 变式2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的； (2)关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； (3)求的面积． 一、单选题 1．下面四个选项中的图形，可以从所给的心形图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．投篮时篮球的运动 D．急刹车时汽车在地面上直线滑动 3．在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 4．在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为，，平移线段，平移后其中一个端点的坐标为，则另一端点的坐标为（　　） A．或 B．或 C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，6），将△AOB沿x轴向右平移后得到△A′O′B′，点B的对应点B′在直线y上，则点A与其对应点A′之间的距离为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系内，其中．点的坐标分别为．将沿轴向右平移；当点落在直线时，线段扫过的面积为（   ） A．14 B．28 C．32 D．40 8．如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（    ）    A．80 B．89 C．98 D．99 9．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置．则下列说法正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④若，，阴影部分的面积为30，则；⑤若三角形的面积是2，点平移到的中点时，则三角形扫过的面积是6． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．将点向右平移2个单位后，得到的对应点的坐标是________． 12．已知正方形的边长为，若把它向右平移，那么点A移动了________________． 13．在平面直角坐标系中，把点P(a−1，5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b，5)，则2a+4b+3的值为______． 14．如图，将沿方向向右平移3cm得到，如果的周长为20cm，那么四边形的周长为_________cm．    15．如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，为方便游客观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中空白部分），小路的宽均为．若，，小明沿着小路的中间从入口处走到出口处，则他所走的路线（图中虚线）的长为_____． 16．如图，在平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，将沿轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则的值为______． 17．如图，第一象限内有两点，将线段平移，使点分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_________． 18．如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则___________ ． 三、解答题 19．平面直角坐标系中，点，如果的两个平方根分别是与． （1）求点的坐标； （2）点沿轴的方向向右平移多少个单位后落在第一和第三象限的平分线上？ 20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．三角形的顶点A的坐标为， 顶点 B的坐标为顶点C的坐标为 (1)把 向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到三角形 ，画出三角形 (2)求 的面积． 21．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)把向下平移2个单位长度得到的； (2)画出格点关于直线对称的； 22．如图，三角形在平面直角坐标系中， （1）请写出三角形各顶点的坐标； （2）若把三角形向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到三角形，请在图中画出三角形； （3）若线段上一点M的坐标为，请直接写出点M平移后的对应点的坐标； （4）求出三角形的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点、、，请画出； (3)求与的面积比，即__________（不写解答过程，直接写出结果） 24．如图，三角形的AB边刚好经过格点，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． (1)请画出平移后得到的三角形； (2)写出的坐标； (3)求出三角形ABC的面积． 25．在如图所示的平面直角坐标系中描出下面各点：． (1)将点A沿x轴的负方向平移6个单位，它与点 重合； (2)连接．则直线与y轴是什么关系？ (3)顺次连接A、B、C、D、A得到四边形．求四边形的面积． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中是的立方根，且满足． (1)直接写出、、三点坐标：___________，___________，___________； (2)如图1，将三角形向左平移个单位，三角形被轴分成面积比为的两个部分，求的值． (3)如图2，将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一动点，点为第一象限内动点，且，连接，若，直接写出点的纵坐标（用含的式子表示）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $