2025-2026学年人教版七年级数学下册精析精练 8.2立方根

2025-2026学年人教版七年级数学下精析精练 8.2立方根（解析版） 知识点1、立方根的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根 【答案】D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是，故A选项错误； ∵ 表示的算术平方根， ∴ ，故B选项错误； ∵ 正数的平方等于时，是的算术平方根， ∴ 的算术平方根是，故C选项错误； ∵ ， ∴ 是的一个平方根，故D选项说法正确． 2．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数， ∴ 的立方根是． 3．一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 4．若，则的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 5．的平方根是，的立方根是2，则_______． 【答案】13 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 故答案为：13． 知识点2求立方根 1．若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 2．求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程，已知一个数的立方根，求这个数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用开平方解方程； （2）利用开立方解方程． 【详解】（1）解：， 开平方，得； （2）解：， 移项，得， 开立方，得， 解得：． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根定义，立方根定义，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义． （1）根据立方根和算术平方根定义列出方程组，解方程组即可； （2）先求出的值，然后再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴． ∴的平方根是． 4．求下列各式中未知数的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先变形得到，然后利用平方根的定义求解； （2）先变形得到，然后利用立方根的定义求解； （3）先变形得到，然后利用立方根的定义以及移项求解； 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． （3）， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，解决本题的关键是熟练掌握各自的定义. 知识点3平方根、算术平方根、立方根的综合运用 1．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； （2）解：， ， 的平方根是． 2．已知为81的算术平方根，为b的立方根，求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】本题主要考查的是平方根、立方根、算术平方根的性质，先根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再代入计算，再根据平方根的定义计算平方根． 【详解】解：∵已知为81的算术平方根，为b的立方根， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根为． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 4．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意，∵的算术平方根为， ∴， 解得． 又∵的立方根为， ∴， 解得． ∴， ∴的立方根为． 5．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 6．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】的立方根为，过程见解析 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 知识点4立方根的实际应用 1．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 2．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 3．一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 【答案】10 【分析】本题考查了正方体的棱长与体积的关系，解决本题的关键是熟练掌握正方体的棱长与体积的关系． 根据正方体的体积公式，体积扩大倍数与棱长扩大倍数的关系可通过立方根求解，由此可得结论． 【详解】解：设原正方体棱长为a，则体积为． 体积扩大为原来的1000倍，新体积． 设新棱长为，则， 因此． ∴棱长扩大为原来的10倍． 故答案为：10． 4．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 5．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 6．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 7．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 1．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 【答案】 26.46 6.69 14.42 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义以及小数点的变化规律是正确解答的关键． （1）根据被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位进行求解； （2）将写成，写成，结合，，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，则， 可以发现：当被开方数由变为时，其算术平方根由变为，即被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位， ∴当被开方数由变为时，其算术平方根由变为， ． 故答案为：． （2）∵， ； ， ； 故答案为：，． 3．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步：确定的位数．因为，，，所以是2位数； 第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9； 第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3． 综合以上可得． 已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是______． 【答案】47 【分析】本题考查了立方根，根据题目提供的方法，类推确定103823的立方根． 【详解】解：第1步：由，确定是两位数． 第2步：由的个位上的数是3，，能确定的个位上的数是． 第3步：如果划去103823后面的三位得到数103，而，由此确定的十位上的数是4． 因此，103823的立方根是47． 故答案为：47． 4．已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据正数有两个平方根，它们是互为相反数求出x的值，进而求出a的值；根据立方根的性质求出b的值，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解∶∵正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 5．求x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，熟记定义是解题的关键． （1）整理后，运用平方根的定义求解即可； （2）整理后，运用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 化简得， 开平方得， 解得或； （2）解：， 化简得， 开立方得． 6．已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 7．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 8．综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子． (1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无盖长方体盒子，如图②． 计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高______；（用含a或b的代数式表示）． ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积______．（用含a或b的代数式表示） (2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的容积如下表： 边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5 ⅰ．表格中，______，______； ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信息：______． (3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的，剪去小正方形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为，求长方形纸片的长． 【答案】(1)ⅰ．b．ⅱ． (2)ⅰ．64，48，ii，见解析 (3)长方形纸片的长为 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠，列代数式，长方体的体积公式，立方根的应用； （1）根据剪去的小正方形边长为b可知，长方体盒子底部的长与宽均为，然后根据长方形的面积公式列式即可； （2）根据长方体体积公式，分别代入计算即可求出m，n；根据表格中的数据在坐标系中描点，再用平滑的曲线连接起来，观察趋势图即可写出一个正确的信息； （3）设正方形的边长为x，进一步写出长方形的长与宽，依据长方体体积公式列出方程，求出正方形的边长，从而求得长方形纸片的长． 【详解】（1）解：∵剪去的小正方形边长为b， ∴，长方体盒子底部的长与宽均为， ∴底面积， 故答案为：ⅰ．b．ⅱ．； （2）ⅰ．当时，， 当时，； 故答案为：64；48； ②趋势图如下： 信息为：当小正方形的边长大于2时，折成的长方体盒子的容积随着的增大而减小；（答案不唯一） （3）设小正方形的边长为， 由题意可知，长方形的宽为，长为， ∴折成的长方体盒子的容积， ∴， ∴， ∴长方形纸片的长为． 9．已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解、的值，再代入，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； ∴， ∴的平方根为． 10．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是： （1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可； （2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可． 【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 1．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 2．综合与实践 如图是一张面积为的正方形纸片． (1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案） (2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积． 【答案】(1) (2)图见解析； 【分析】（1）根据算术平方根的意义求解即可； （2）根据立方根的意义求出正方体的边长，然后画出图形，再求出所用面积即五个正方形的面积． 【详解】（1）解：正方形纸片的边长为：， 故答案为：； （2）解：正方体的边长为：， 平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分）， 所用纸片面积为， 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，正方体的展开图，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3．综合与探究 本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写表格： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④ （选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3） ； 【拓展应用】 （4） ． 【答案】（1），，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方根和立方根的拓展，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键； （1）根据实数的乘方运算即可填表，仿照平方根和立方根的定义即可给四次方根下定义； （2）根据四次方根的定义结合平方根的性质解答即可； （3）根据四次方根的定义求解即可； （4）根据四次方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴填写表格如下： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； 故答案为：，，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）探究性质：①1的四次方根是；②16的四次方根是；③0的四次方根是0；④没有四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质如下：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）； （4）． 中档 提分训练 基础 分点训练 拓展 素养训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版七年级数学下精析精练 8.2立方根 知识点1、立方根的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根 2．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 3．一个数的立方等于，那么这个数是_____． 4．若，则的立方根是__________． 5．的平方根是，的立方根是2，则_______． 知识点2求立方根 1．若与互为相反数，则的值为______． 2．求下列各式中的x： (1)； (2)． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 4．求下列各式中未知数的值． (1)； (2)； (3)． 知识点3平方根、算术平方根、立方根的综合运用 1．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 2．已知为81的算术平方根，为b的立方根，求的平方根． ． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 4．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 5．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 6．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 知识点4立方根的实际应用 1．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 2．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 3．一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 4．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 5．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 6．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 7．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 1．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 2．（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 3．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步：确定的位数．因为，，，所以是2位数； 第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9； 第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3． 综合以上可得． 已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是______． 4．已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根． 5．求x的值： (1)； (2) 6．已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 7．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 8．综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子． (1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无盖长方体盒子，如图②． 计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高______；（用含a或b的代数式表示）． ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积______．（用含a或b的代数式表示） (2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的容积如下表： 边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5 ⅰ．表格中，______，______； ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信息：______． (3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的，剪去小正方形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为，求长方形纸片的长． 9．已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 10．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 1．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 2．综合与实践 如图是一张面积为的正方形纸片． (1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案） (2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积． 3．综合与探究 本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写表格： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④ （选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3） ； 【拓展应用】 （4） ． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $