8.3 多项式乘多项式同步练习2025-2026学年苏科版七年级数学下册

8.3《 多项式乘多项式》 一、单选题 1．若（2x﹣3）（x+2）＝2x2+mx+n，则m与n的值分别是（　　） A．﹣1，6 B．1，﹣6 C．﹣3，﹣2 D．﹣3，2 2．若x+y＝1且xy＝﹣2，则代数式（1﹣x）（1﹣y）的值等于（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 3．已知a2﹣5a﹣1＝0，代数式（a﹣1）（a﹣4）的值是（　　） A．﹣5 B．3 C．5 D．7 4．小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各10张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是（2a+3b）和（3a+2b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 5．若关于x的多项式（x﹣2）（x2+mx+4）乘积不含x的二次项，则m的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 6．已知多项式ax﹣3与x﹣1的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．3 7．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+4b）、宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 8．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 9．若（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c，则代数式a+b+c的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 10．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“（x+15）（x﹣）”时，得到了各不相同的四个结果：甲，x2﹣120x﹣2025；乙，x2+120x﹣2025；丙，x2﹣160x+2025；丁，x2+160x+2025．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（　　） ①x2+5x ②x（x+3）+6 ③（x+3）（x+2）﹣2x ④3（x+2）+x2 A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．②③ 12．图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　） A．8 B．16 C．12 D．32 二、填空题 13．（x+4）（x﹣2）＝ ． 14．若三角形的底边为（3a+2b），底边上的高为（9a2﹣6ab+4b2），则面积为 ． 15．一个长方形的长减少4cm，宽增加2cm后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是12cm，则它原来的宽为 ． 16．已知，ab＝2，则（5﹣3a）（5+3b）的值为 ． 17．小明在计算（x+3）（x﹣■）时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为﹣2，则被染黑的常数为 ． 三、解答题 18．计算：2x（x﹣2）+（4+2x）（2﹣x）． 19．计算： （1）（﹣2x2y）3+（﹣x3）2（﹣y）2y； （2）（x+2y）（y﹣2）+（2y﹣4x）（y+1）． 20．试说明：代数式（2x+3）（6x+2）﹣6x（2x+13）+8（7x+2）的值与x的取值无关． 21．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 22．如图，学校有一块长方形的劳动教育基地，长为6b米，宽为2a米，为了满足需要，需在旁边开垦出新的土地，使原来的长增加a米，宽增加b米． （1）求该基地现在的土地面积．（用含a、b的式子表示） （2）当a＝4、b＝3时，求增加的土地面积． 23．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． （1）若A＝x+3，B＝2x﹣1，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． （2）若A＝x﹣3，B＝x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 24．已知代数式A＝x2+mx﹣3，B＝2x+n． （1）A与B的积中不含x的二次项，且常数项为﹣6，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 25．[知识回顾] 已知代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 解题方法：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3． [理解应用] （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值； （3）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b满足的等量关系． 26．阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： 24×26＝624，32×38＝1216，47×43＝2021，52×58＝3016； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位： 解决问题： （1）小明邀请田田利用上述速算方法，计算47×43的积为 ； （2）尝试用含有字母的式子表示上述规律： 如果设一个两位数十位上的数是m（0＜m＜10，且m为整数），个位上的数是n（0＜n＜10，且n为整数），那么这个两位数可以表示为10m+n，则另一个两位数可以表示为 ，上述规律可以表示为 （用含m，n的式子表示）； （3）尝试对这个规律进行证明． 27．如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+7，面积为S1，乙长方形的两边长分别为m+2，m+4，面积为S2（其中m为正整数）． （1）S1＝ ，S2＝ （用含m的多项式表示），S1　　 S2（填“＜”、“＝”或“＞”）； （2）有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为S，求证：S﹣S1为定值． 参考答案 一、单选题 1．解：∵（2x﹣3）（x+2）＝2x2+mx+n， ∴2x2+x﹣6＝2x2+mx+n， ∴m＝1，n＝﹣6． 故选：B． 2．解：（1﹣x）（1﹣y） ＝1﹣x﹣y+xy ＝1﹣（x+y）+xy ＝1﹣1+（﹣2） ＝﹣2． 故选：A． 3．解：∵a2﹣5a﹣1＝0， ∴a2﹣5a＝1， ∴（a﹣1）（a﹣4） ＝a2﹣5a+4 ＝1+4 ＝5． 故选：C． 4．解：大长方形的面积为（2a+3b）（3a+2b）＝6a2+13ab+6b2，C类卡片的面积是ab， ∴需要C类卡片的张数是13， ∴不够用，还缺3张， 故选：D． 5．解：由（x﹣2）（x2+mx+4） ＝x3+（m﹣2）x2+（4﹣2m）x﹣8， 由条件可知m﹣2＝0， ∴m＝2， 故选：C． 6．解：根据多项式乘多项式运算法则可得： （ax﹣3）（x﹣1）＝ax2+（﹣a﹣3）x+3， 由条件可知﹣a﹣3＝0， 解得：a＝﹣3， 故选：C． 7．解：（a+4b）（2a+b） ＝2a2+ab+8ab+4b2 ＝2a2+9ab+4b2， 各项的系数分别为2，9，4， 则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为2，4，9， 故选：A． 8．解：①（2a+b）（m+n），正确； ②a（m+n）+b（m+n），错误； ③m（2a+b）+n（2a+b），正确； ④2am+2an+bm+bn，正确 故正确的有①③④ 故答案为：C． 9．解：∵（x﹣1）（x+2） ＝x2﹣x+2x﹣2 ＝x2+x﹣2， 又∵（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c， ∴x2+x﹣2＝ax2+bx+c， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2， ∴a+b+c＝1+1﹣2＝2﹣2＝0， 故选：B． 10．解：（x+15）（x﹣） ＝x2+15x﹣x﹣15 ＝x2+（15﹣）x﹣15， ∵“”处的数字是正数． ∴﹣15＜0， 由题意得， ﹣15＝﹣2025， 解得＝135， ∴15﹣＝15﹣135＝﹣120， ∴（x+15）（x﹣）＝x2﹣120x﹣2025， 故选：A． 11．解：∵图中阴影部分面积为：x（x+3）+3×2＝x（x+3）+6， 或（x+3）（x+2）﹣2x， 或3（x+2）+x2， 故选：C． 12．解：设EF＝x， S1＝（4b+x）•2b＝（8+x）×4＝32+4x， S2＝（a+x）•a＝（4+x）×4＝16+4x， ∴S1﹣S2＝（32+4x）﹣（16+4x）＝32+4x﹣16﹣4x＝16． 故选：B． 二、填空题 13．解：（x+4）（x﹣2） ＝x2﹣2x+4x﹣8 ＝x2+2x﹣8． 故答案为：x2+2x﹣8． 14．解：结合三角形的面积公式可得，该三角形的面积为（3a+2b）（9a2﹣6ab+4b2）， 由立方和的公式，得（27a3+8b3）， 即a3+4b3， 故三角形的面积为a3+4b3． 故答案为：a3+4b3． 15．解：设它原来的宽是xcm， 由题意得，12x＝（12﹣4）（x+2）， 解得x＝4， 答：它的宽是4cm． 故答案为：4． 16．解：∵，ab＝2， ∴（5﹣3a）（5+3b） ＝25+15b﹣15a﹣9ab ＝25﹣15（a﹣b）﹣9ab ＝25﹣159×2 ＝25﹣25﹣18 ＝﹣18， 故答案为：﹣18． 17．解：由题意，可设■＝a， 则（x+3）（x﹣a） ＝x2﹣ax+3x﹣3a ＝x2+（3﹣a）x﹣3a， ∵结果中的一次项系数为﹣2， ∴可得方程：3﹣a＝﹣2， 移项，合并同类项，得a＝5． 故答案为：5． 三、解答题 18．解：原式＝﹣2x（2﹣x）+（4+2x）（2﹣x） ＝（4+2x﹣2x）（2﹣x） ＝4（2﹣x） ＝8﹣4x． 19．解：（1）原式＝﹣8x6y3+x6y3＝﹣7x6y3； （2）原式＝xy﹣2x+2y2﹣4y+2y2+2y﹣4xy﹣4x ＝4y2﹣3xy﹣2y﹣6x． 20．解：∵（2x+3）•（6x+2）﹣6x（2x+13）+8（7x+2） ＝12x2+4x+18x+6﹣12x2﹣78x+56x+16 ＝22， ∴代数式的值与x的取值无关． 21．解：（1）（x3+mx+n）•（x2﹣3x+4） ＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， ∵展开式中不含x3和x2项， ∴4+m＝0，n﹣3m＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12； （2）（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 由（1）得m＝﹣4，n＝﹣12， 所以原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64+（﹣1728）＝﹣1792． 22．解：（1）（6b+a）（2a+b）＝2a2+13ab+6b2（平方米）， 答：该基地现在的土地面积是（2a2+13ab+6b2）平方米， （2）当a＝4、b＝3时， 该基地现在的土地面积为2a2+13ab+6b2＝242（平方米）， 原来基地的面积为2a×6b＝12×4×3＝144（平方米）， ∴242﹣144＝98（平方米）， 答：增加的土地面积是98平方米， 23．解：（1）B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵A＝x+3，B＝2x﹣1， ∴C＝（x+3）（2x﹣1） ＝2x2+5x﹣3， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）（x﹣3）（x2+ax+9） ＝x3+ax2+9x﹣3x2﹣3ax﹣27 ＝x3+（a﹣3）x2+（9﹣3a）x﹣27， 由条件可知a﹣3＝0且9﹣3a＝0， 解得a＝3． 24．解：（1）∵A＝x2+mx﹣3，B＝2x+n． ∴AB＝（x2+mx﹣3）（2x+n） ＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为﹣6， ∴2m+n＝0，﹣3n＝﹣6， 解得m＝﹣1，n＝2； （2）当m＝﹣1，n＝2时， （m+n）（m2﹣mn+n2）＝（﹣1+2）（1+2+4）＝7． 25．解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x ＝2mx﹣3m+2m2﹣3x ＝（2mx﹣3x）﹣3m+2m2 ＝（2m﹣3）x﹣3m+2m2， ∵关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， ∴； （2）3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1） ＝3（2x2+x﹣2x﹣1﹣x+3xy）+（﹣6x2+6xy﹣6） ＝6x2+3x﹣6x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6 ＝（6x2﹣6x2）+（3x﹣3x﹣6x）+（9xy+6xy）﹣3﹣6 ＝﹣6x+15xy﹣9 ＝（15y﹣6）x﹣9， ∵关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关的值与x无关， ∴15y﹣6＝0， 解得； （3）设AB＝x， 由图可知，S1＝a（x﹣3b）＝ax﹣3ab，S2＝2b（x﹣2a）＝2bx﹣4ab， 则S1﹣S2＝ax﹣3ab﹣（2bx﹣4ab） ＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab ＝（a﹣2b）x+ab， ∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， ∴S1﹣S2的值与x的值无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 26．（1）解：4×（4+1）＝20，3×7＝21， ∴47×43＝2021， 故答案为：2021； （2）解：∵两个两位数的十位上的数相同，个位上的数的和为10， ∴另一个两位数的十位数字为：m，个位上的数字为10﹣n， ∴另一个两位数表示为：10m+（10﹣n）； ∴（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）， 故答案为：10m+（10﹣n），（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）； （3）证明：∵（10m+n）（10m+10﹣n） ＝100m2+100m﹣10mn+10mn+10n﹣n2 ＝100m（m+1）+n（10﹣n）， ∴（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）． 27．解：（1）由长方形的面积的计算方法可得， S1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7， S2＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8， S1﹣S2＝2m﹣1， ∵m为正整数， ∴2m﹣1＞0， 即S1＞S2， 故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞； （2）甲长方形的周长为（m+7+m+1）×2＝4m+16， ∴周长为4m+16的正方形的边长为m+4， ∴边长为m+4的正方形的面积S＝（m+4）2＝m2+8m+16， ∴S﹣S1＝（m2+8m+16）﹣（m2+8m+7）＝9． 即S﹣S1为定值9． 学科网（北京）股份有限公司 $