专题19.3二次根式的加法与减法【九大考点+九大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题19.3二次根式的加法与减法 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m+n=（m+n） 知识点二、二次根式的加减 ★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 ★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。 知识点三、二次根式的混合运算 ★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 ★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。 注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。 技巧归纳总结：分母有理化 二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。 【题型归纳】 题型一：同类二次根式 【例1】．（24-25八年级下·全国下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·周测）在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26八年级上·北京房山·期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二：二次根式的加减运算 【例2】．（25-26八年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【举一反三】 1．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)． 题型三：分母的有理化 【例3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）计算=______． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 题型四：二次根式的混合运算 【例4】．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【举一反三】 1．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）变式计算： (1)； (2)； (3)（）； (4)． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) 题型五：已知字母的值，化简求值 【例5】．（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则_______；_______． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川达州·月考）若，则________． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知：，则的值为_______． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）若，，则代数式的值为___________． 题型六：已知条件式，化简求值 【例6】．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 题型七：比较二次根式的大小 【例7】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 题型八：复合二次根式的化简 【例8】．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【举一反三】 1．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简：___________． 2．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 3．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 题型九：二次根式的应用 【例9】．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·重庆·期末）已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3， 二、填空题 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与可以合并，则___________． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为___________，宽为___________． 12．（25-26八年级上·广西贵港·期末）观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式______． 13．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答） 三、解答题 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 16．（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，_________，_________； (2)已知：，求的值． (3)计算：． 17．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.3二次根式的加法与减法 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m+n=（m+n） 知识点二、二次根式的加减 ★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 ★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。 知识点三、二次根式的混合运算 ★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 ★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。 注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。 技巧归纳总结：分母有理化 二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。 【题型归纳】 题型一：同类二次根式 【例1】．（24-25八年级下·全国下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·周测）在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题关键． 将各二次根式化简为最简形式，判断被开方数是否与相同即可． 【详解】解：∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式． ∴ 与是同类二次根式的有个. 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同． 把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、与被开方数相同，是同类二次根式； C、与被开方数不同，不是同类二次根式； D、与，被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 3．（25-26八年级上·北京房山·期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 题型二：二次根式的加减运算 【例2】．（25-26八年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)0(2)(3)(4)(5) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【举一反三】 1．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3．（24-25八年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型三：分母的有理化 【例3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 【答案】(1)，（答案均不唯一） (2)①，② (3)2025 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式： （1）根据有理化因式的定义进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；；（答案均不唯一） （2）解：①； ②； （3）解： ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 【详解】解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）计算=______． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 通过有理化分母，分别简化两个分式，然后相减得到结果． 【详解】解：对于第一项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 对于第二项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 原表达式为第一项减第二项： ， 故答案为． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可采用分母有理化的方法，利用平方差公式，消去分母中的根号；也可以将分子变形为平方差的形式，再约分； （2）先对两个式子分别进行有理化变形，转化为分子为的分数形式，再通过比较分母的大小来判断分数的大小． 【详解】（1）解：方法一：分母有理化 ． 方法二：平方差变形 ． （2）解：，． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化和实数的大小比较，解题关键是掌握分母有理化的两种常用方法（平方差公式变形、分子分母同乘有理化因式），以及利用倒数法比较两个根式差的大小． 题型四：二次根式的混合运算 【例4】．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据二次根式的性质和相关运算法则，结合乘法公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【举一反三】 1．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先根据平方差公式去括号，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案； （3）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案； （4）先根据二次根式的乘法运算法则和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案； （5）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）变式计算： (1)； (2)； (3)（）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则，先化简，再合并即可； （2）先去括号，再根据二次根式的加减运算法则，计算即可； （3）根据二次根式的加减运算法则，先化简，再合并即可； （4）先根据二次根式、零指数幂、绝对值的性质进行化简，再根据实数混合运算的法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型五：已知字母的值，化简求值 【例5】．（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则_______；_______． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为：；15． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川达州·月考）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知：，则的值为_______． 【答案】 2026 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． 首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到的值，再代入表达式 ，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ：2026． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）若，，则代数式的值为___________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ． ∴ ， 故答案为：11． 题型六：已知条件式，化简求值 【例6】．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【答案】 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 题型七：比较二次根式的大小 【例7】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 题型八：复合二次根式的化简 【例8】．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【举一反三】 1．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简：___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 2．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 题型九：二次根式的应用 【例9】．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】(1)， (2)，最大值为 【分析】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； （2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，勾股定理求得，利用海伦公式求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴周长的一半为 ∴ ∴四边形的面积为 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)6，4 (2) (3)100 【详解】（1）解：函数，令， ∴，∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设，当且仅当，即时，的最小值是4，故答案为：6，． （2）解：∵，又∵， 当且仅当时，有最小值，∵，∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、与不是同类二次根式，不能合并，A错误； B、与不是同类二次根式，不能合并，B错误； C、，计算正确，C正确； D、与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 2．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意； D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意． 3．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查同类最简二次根式的概念，最简二次根式可以合并的条件是它们的被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们的被开方数相等，即， 解得． 故选：B． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 5．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的运算，理解新定义运算和掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据定义将给定的实数代入规定的新运算公式，再利用二次根式的化简法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：A． 6．（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 先进行化简，再进行估算即可． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴数轴上最接近的是A． 故选：A． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 9．（25-26八年级上·重庆·期末）已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据x不是完全平方数，得到为无理数，得到时，，进而得到判断①；根据且，得到，进而推出，判断②；根据，得到，求出正整数解，进行判断即可． 【详解】解：∵x不是完全平方数， ∴为无理数， ∵，其中a，b，c，d，x均为正整数， ∴当时，， ∵， ∴， ∴；故①正确； 当且时，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵均为正整数， ∴为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 不存在正整数，使； 故不存在任何的m，n满足条件；故②正确； 当时，则， ∴， ∵均为正整数，， ∴或， 当时，则，，， 不存在正整数满足条件； 当时，则或，，，或， ∴或； 当时，；满足题意； 当时，；满足题意； ∴M，N共有2种结果；故③错误； 故选C． 二、填空题 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与可以合并，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式，最简二次根式的定义可得和，求出m，n的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，， 解得：；， ∴． 故答案为：2． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为___________，宽为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，判断出矩形的长，宽可得结论． 【详解】解：由题意矩形的长为， 宽为， 故答案为：；． 12．（25-26八年级上·广西贵港·期末）观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式______． 【答案】 【分析】本题考查含二次根式的数字规律探究，关键是拆分等式的各部分，分别找出与序号的对应关系． 【详解】解：首先分析左边：第个等式的整数部分为从3开始的第个奇数，即； 根号内的数依次为，，，…，对应， 故左边整体为． 再分析右边：第个等式为与的算术平方根差的平方，即， 所以第个等式为． 故答案为：． 13．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小．通过有理化将和转化为分式形式，比较分母大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 又，， ， ， 则， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小． 三、解答题 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． 16．（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，_________，_________； (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)，， (2)36 (3)2025 【分析】（1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解： ； ； ∴ ； （3）解： ． 17．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)2026 【详解】（1）解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式， ∵， ∴的有理化因式是：， 故答案为：； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解： ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $