专题19.2：二次根式的乘法与除法【七大考点+七大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题19.2：二次根式的乘法与除法 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：二次根式的乘法法则 ．=（a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 （1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 （2） 推广 ①．．=（a≥0，b≥0，c≥0） ②a．c=ac ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 知识点二、二次根式乘法法则的逆用 =．（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 知识点三、二次根式的除法法则 =（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。 知识点四、二次根式除法法则的逆用 =（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为=，而应写===。 当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 知识点五、最简二次根式的概念 ★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ★化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ==2，==xy2 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 ===或==== 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 ===或==== 被开方数是多项式的要先进行因式分解 ===（x2+y2） 【题型归纳】 题型一：二次根式的乘法 1．（25-26八年级下·全国）计算： (1)； (2)． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）我们知道，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．由算术平方根的意义，都是实数，二次根式也是实数，它满足实数的加、减、乘、除运算法则．二次根式的乘法法则是：．例如： ．反之 (1)若有意义，写出一个符合条件的的值_____； (2)计算：①，②． (3)化简：①，②． 题型二：二次根式的除法 【例2】．（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 题型三：二次根式的乘除混算 【例3】．（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型四：最简二次根式的判断 【例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26八年级上·上海·月考）在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型五：化为最简二次根式问题 【例5】．（2026八年级下·全国·专题练习）把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【举一反三】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六：已知最简二次根式求参数 【例6】．（24-25八年级下·全国·单元测试）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 3（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值为___________． 题型七：二次根式乘除综合问题 【例7】．（25-26八年级上·广东梅州·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·全国·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）我们把形如（为有理数且，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： （1）_____； （2）_____． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．例如：与是关于1的“平衡数”．若，，则与_____________（填“是”或“不是”）关于某数的一组“平衡数”． 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___． 三、解答题 12．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，满足等式，求： (1)，的值． (2)的值． 14．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 15．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2：二次根式的乘法与除法 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：二次根式的乘法法则 ．=（a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 （1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 （2） 推广 ①．．=（a≥0，b≥0，c≥0） ②a．c=ac ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 知识点二、二次根式乘法法则的逆用 =．（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 知识点三、二次根式的除法法则 =（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。 知识点四、二次根式除法法则的逆用 =（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为=，而应写===。 当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 知识点五、最简二次根式的概念 ★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ★化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ==2，==xy2 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 ===或==== 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 ===或==== 被开方数是多项式的要先进行因式分解 ===（x2+y2） 【题型归纳】 题型一：二次根式的乘法 1．（25-26八年级下·全国）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) （1）（2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）我们知道，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．由算术平方根的意义，都是实数，二次根式也是实数，它满足实数的加、减、乘、除运算法则．二次根式的乘法法则是：．例如： ．反之 (1)若有意义，写出一个符合条件的的值_____； (2)计算：①，②． (3)化简：①，②． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①；② (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法以及二次根式的性质； （1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可求解； （3）根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得： ∴一个符合条件的的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：① ② （3）解：① ②根据题意得：，故 题型二：二次根式的除法 【例2】．（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）（2）利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的除法即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三：二次根式的乘除混算 【例3】．（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． （1）先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （3）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （3）先将被开方数中带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可； （4）根据二次根式的乘除计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 题型四：最简二次根式的判断 【例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项. 【详解】解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，含平方因数，不是最简二次根式； ④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式． ∴ 最简二次根式有①和⑤，共个. 故选：B． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件． 【详解】解： ①，含平方因数9，不是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式； ④ ，含平方因数9，不是最简二次根式； ⑤ ，不能简化，是最简二次根式； ∴最简二次根式有③和⑤，共2个， 故选C． 3．（25-26八年级上·上海·月考）在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式”进行逐一判断即可． 【详解】解：对于，是无理数，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； 对于，被开方数，被开方数不含有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； 对于，被开方数是小数，不满足被开方数的因数是整数这一条件，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于，它是三次根式，不是二次根式； 对于，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 综上。最简二次根式有、． 故选：C． 题型五：化为最简二次根式问题 【例5】．（2026八年级下·全国·专题练习）把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简求解（1）（2）（3）小问即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简进行求解（1）（2）（3）（4）小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型六：已知最简二次根式求参数 【例6】．（24-25八年级下·全国·单元测试）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 3（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 题型七：二次根式乘除综合问题 【例7】．（25-26八年级上·广东梅州·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1)3 (2)中最长边的长度为的面积为 【分析】（1）依据题意，由时，先求出p，再代入公式计算可以得解； （2）①依据题意，由，则，从而可以判断得解； ②依据题意，由，则，从而，可得，且x为整数，故当时，三边为，1，4，再分类讨论计算可以得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ， ， ， 三角形的面积为3； （2）解：①由题意，， ， 中最长边的长度为3； ②， ， ， ，且x为整数， 当时，此时三边为，1，4， ， 不合题意舍去， 当时，三边为2，2，3， ， ， ， 的面积为． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·全国·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式， ∵， ∴， ∴； （6）解：原式． 2．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键． （1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得； （2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得． 【详解】（1）解：当时，则， ∵， ∴， ∴（当且仅当时取等号）， ∴当时，的最小值为2． 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；． （2）解：， 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 由得：，解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是方程的解， 所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 【答案】(1) (2)18 【详解】（1）解：，（是的面积）， ，（是的面积）， ，（是的面积）， ， ，（是的面积）， ，， ∴； （2）解： ． ． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可。 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， ∴选B. 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的性质以及二次根式有意义的条件逐一判断即可求解． 【详解】解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意； 因为，所以B错误不符合题意； 因为，所以C错误不符合题意； 因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）我们把形如（为有理数且，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，先利用完全平方公式展开式子，再化简二次根式，最后根据题目给出的无理数类型定义判断所属类型． 【详解】解： ， ∴是型无理数， 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【详解】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的除法运算及二次根式有意义的条件，需根据二次根式除法法则（，）及相关性质逐一判断各选项，即可解题． 【详解】解：A选项：，故A错误，不符合题意； B选项：，故B正确，符合题意； C选项：，故C错误，不符合题意； D选项：二次根式中被开方数不能为负数，与无意义，推导过程错误，故D错误，不符合题意； 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 二、填空题 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 【详解】解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： （1）_____； （2）_____． 【答案】 ； ． 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． （1）先计算根号内的乘方，再计算乘法，最后化简成最简根式即可； （2）先计算根式里的乘法，再化简成最简根式，最后相乘即可． 【详解】解：（1） ； 解：（2） ． 故答案为：（1）；（2）． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．例如：与是关于1的“平衡数”．若，，则与_____________（填“是”或“不是”）关于某数的一组“平衡数”． 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，完全平方公式，对“平衡数”的定义的理解，读懂题意，理解“平衡数”的定义是解题关键． 计算，根据是否符合“平衡数”的定义即可判断． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， 其中为整数，故与是关于的一组“平衡数”． 故答案为：是． 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，满足等式，求： (1)，的值． (2)的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出关于m的不等式组，求解得到m的值，再代入等式求出n； （2）将（1）中得到的的值代入式子，利用二次根式的乘法法则化简计算． 【详解】（1）解：由题意，得： 解得． 将代入等式， 得． （2）解：由（1）可知，，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与二次根式的乘法运算，掌握二次根式的被开方数非负以确定字母取值，及二次根式的乘法法则是解题的关键． 14．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 15．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 2 学科网（北京）股份有限公司 $