专题19.1二次根式及其性质【六大考点+六大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，系统梳理二次根式的概念（形如√a,a≥0）及五点界定要点，深入解析非负性、(√a)²=a（a≥0）、√a²=|a|三大性质，构建从概念理解到性质应用的学习支架。 该资料通过题型分层设计（定义、有意义条件等五类），结合数轴化简、规律探究等实例，培养学生抽象能力与推理意识，课中辅助教师系统教学，课后高分演练助力学生查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

专题19.1二次根式及其性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 · 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5） 形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。 知识点二、二次根式的性质 二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展 注意 （a≥0）的性质 ≥0 （a≥0） 一个非负数的算术平方根是非负数。 （1）二次根式的非负性（≥0，a≥0）应用较多，如：+=0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如+，则x的取值范围是x-a≥0，a-x≥0，解得x=a。 （2）具有非负性的性质：①a2≥0；②｜a｜≥0；③≥0（a≥0）。 （3）若a2+｜b｜+=0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。 （a≥0）的最小值为0。 （）2（a≥0）的性质 （）2 = a（a≥0） 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1；逆用公式：若a≥0，则a=（）2如：2=（）2，=（）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-) 的性质 =｜a｜=a（a≥0）或 =｜a｜= - a（a＜0） 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 （1）正用公式：=｜3-π｜=3-π （2）逆用公式：3==3 化简形如的式子时，先转化为 ｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。 【题型归纳】 题型一：二次根式的定义 【例1】．（25-26八年级下·全国）下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义（形如且的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，判断每个式子是否符合形如（）的形式，需同时满足根指数为、被开方数为非负数两个条件，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ②的被开方数，根指数为，是二次根式； ③当时，，被开方数为负数，不是二次根式； ④∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑤的根指数为，不是，不是二次根式； ⑥∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑦的被开方数，不是二次根式； 综上，是二次根式的有①②④⑥，共个． 故选：C． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 题型二：二次根式有意义的条件 【例2】．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数这一性质，列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． ∴对于，有． ∴解得． 故选：B． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）要使有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式组的解集． 根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且 解得：且 即， 在数轴上表示为：． 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川雅安·期末）使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以得出x的范围． 【详解】解：∵分母， ∴， ∵被开方数， ∴， ∴且． 故选D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义需分母不为零、二次根式有意义需被开方数非负的综合应用是解题的关键． 结合分式有意义和二次根式有意义的条件，确定分母中二次根式的被开方数的取值范围，进而得到的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴分母 ，且被开方数 ， 但当时，， ∴， 即 ． 故选：C． 题型三：二次根式的参数问题 【例3】．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 2．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 题型四：利用二次根式的性质化简 【例4】．（2026八年级下·全国·专题练习）已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是_____________． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．首先由实数在数轴上的位置，可得和的取值，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：根据实数在数轴上的位置， 得出，， ， 故答案为： ． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是____________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用二次根式的性质将根号转化为绝对值，结合的范围化简绝对值，最后计算式子结果． 根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】解：由三角形三边关系，得． ，． ∴原式． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·湖南·月考）已知，化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先去根号，得到绝对值后，再结合的取值范围确定化简后每个绝对值的值，最后进行有理数运算． 【详解】， ， ，， ∴原式． 故答案为：． 题型五：二次根式的综合问题 【例5】．（25-26七年级上·山东泰安·期末）探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 【答案】(1)，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． ()根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； ()结合()中计算可知不一定等于，并发现其中规律； ()运用()得出的规律进行运算即可； ()结合数轴可知，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：； （2）解：由()可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； ∴； 故答案为：； （3）解：若，则， ∴， 故答案为：； （4）解：由在数轴上的位置可知，，且，， ∴， ， ， ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：隐含条件， 解得：， ∴． 2、（25-26八年级下·全国·课后作业）【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得 ，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定a的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 1．解： 2．解：由， 得 解得 ． 3．解：， ，即， ， 则原方程可化为， ，即， ． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法．解决本题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)（为自然数，且） 【分析】本题考查了二次根式的化简． （1）仿照题干计算即可； （2）根据已知等式找出规律即可． 【详解】（1）解：，验证如下： ； （2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）． 证明：． 【高分演练】 一、单选题 1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，逐一分析各选项是否符合定义即可． 【详解】解：∵， ∴， 由二次根式的定义可知，四个式子中只有是二次根式（当时，没有意义）， 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）要使在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 在数轴上表示时，数字处为实心圆点，并向数轴正方向延伸． 故选：B． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的化简计算． 利用将原式转化，再根据时列不等式求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 解这个不等式得：． 故选：C． 4．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 7．（25-26九年级上·四川资阳·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原数列各项统一改写为二次根式形式，找出被开方数的规律，再计算第个数即可． 【详解】解：把原数列各数改写为二次根式可得：，，，，，，…， ∴第个数为，为正整数， ∴第个数为． 二、填空题 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质．根据公式，计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】1≤ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及一元一次不等式组的解法，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式组求解． 【详解】解：要使有意义，需， 解得； 要使有意义，需， 解得． 因此，的取值范围是． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则_____，_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为是解题的关键．利用算术平方根的非负性，结合几个非负数的和为零，则每个非负数均为零的性质，分别列出方程求解和的值． 【详解】解：因为且，且， 所以且． 由得，即； 由得，即． 故答案为：，． 13．（2026·四川遂宁·一模）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的被开方数大于等于0，确定的值，然后代入求，最后计算． 【详解】解：由二次根式的定义可得：， 解得：， 将代入可得：， ． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，，…，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论． 仔细观察所给的式子，发现对于正整数，有，然后依据规律得到答案即可． 【详解】解：已知，，，…， 可知规律为， 当时，， 则． 故答案为：． 三、解答题 15．（2026八年级下·全国·专题练习）化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 17．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、二次根式的性质、二次根式的非负性、求一个数的平方根等，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据两点间的距离公式即可得解； （2）由可推得，即，再利用绝对值和二次根式的性质化简，即可求解； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：依题意得，蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示， 点所表示的数为； （2）解：， ， ， 即， ，， ， ， ， ； （法二：， ， ， ， ， ， ）； （3）解：由题可知， ，， ，， ， 的平方根为． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮  因式分解错误 (2) 【分析】（1）需根据二次根式的性质，结合的取值判断绝对值内式子的正负，分析小亮和小芳的解法； （2）先将被开方数化为完全平方式，再利用二次根式性质化简，代入的值计算． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的， 错误的原因是：对化简时，错误地将变形为（实际应为），且未正确利用的性质判断符号． （2）解：原式． 根据二次根式性质，已知，则，故： 代入化简： 原式． 将代入， 解得：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题关键是先将被开方数化为完全平方式，再结合字母的取值判断绝对值内式子的正负，进而正确化简． 19．（25-26八年级上·全国·假期作业）观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可； （2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 验证： ， ∴正确； （2）由（1）中的规律可知， ∴， 验证：；正确． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.1二次根式及其性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 · 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5） 形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。 知识点二、二次根式的性质 二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展 注意 （a≥0）的性质 ≥0 （a≥0） 一个非负数的算术平方根是非负数。 （1）二次根式的非负性（≥0，a≥0）应用较多，如：+=0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如+，则x的取值范围是x-a≥0，a-x≥0，解得x=a。 （2）具有非负性的性质：①a2≥0；②｜a｜≥0；③≥0（a≥0）。 （3）若a2+｜b｜+=0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。 （a≥0）的最小值为0。 （）2（a≥0）的性质 （）2 = a（a≥0） 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1；逆用公式：若a≥0，则a=（）2如：2=（）2，=（）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-) 的性质 =｜a｜=a（a≥0）或 =｜a｜= - a（a＜0） 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 （1）正用公式：=｜3-π｜=3-π （2）逆用公式：3==3 化简形如的式子时，先转化为 ｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。 【题型归纳】 题型一：二次根式的定义 【例1】．（25-26八年级下·全国）下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2026八年级下·全国·专题练习）给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型二：二次根式有意义的条件 【例2】．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为一切实数 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）要使有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川雅安·期末）使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 题型三：二次根式的参数问题 【例3】．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 2．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：利用二次根式的性质化简 【例4】．（2026八年级下·全国·专题练习）已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是_____________． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是____________． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ． 3．（25-26九年级上·湖南·月考）已知，化简：_____． 题型五：二次根式的综合问题 【例5】．（25-26七年级上·山东泰安·期末）探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 2、（25-26八年级下·全国·课后作业）【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 【高分演练】 一、单选题 1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）要使在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示为（   ） A．B．C．D． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·四川资阳·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______； （3）______． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则_____，_____． 13．（2026·四川遂宁·一模）已知，则的值为______． 14．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，，…，则____________． 三、解答题 15．（2026八年级下·全国·专题练习）化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 17．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中． 19．（25-26八年级上·全国·假期作业）观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $