精品解析：河北定兴第三中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

河北定兴第三中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 2. 已知命题，则（ ） A. 为真命题， B. 为真命题， C. 为假命题， D. 为假命题， 3. 方程的实数根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了改善空气质量，某科研单位通过实验发现：在一定范围内，每使用1个单位剂量的缓释净化剂，空气中释放的净化剂浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于时，它才能起到净化空气的作用．若一次性使用2个单位剂量的净化剂（此时浓度为使用1个单位剂量时的2倍），则有效净化时长约为（ ）（参考数据：） A. 3.8小时 B. 4.2小时 C. 4.6小时 D. 5.6小时 8. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面说法正确的有（ ） A. 集合，则 B. 函数的图象与的图象关于直线对称 C. 若，则 D. 一个扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 的值域为 11. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，且是函数在上的两个零点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若函数在上单调递增，则正数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则___________ 13. 如图，在正方形网格的格点上，则___________． 14. 已知，是函数的个零点，则___________，___________1．（第二空填“”、“”或“”） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知． （1）求； （2）求的值． 17. 已知对数函数在上的最大值和最小值的和为1． （1）求的解析式． （2）已知函数． （i）若的定义域为，求的取值范围； （ii）若的值域是，求的值． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式． （2）设函数． （i）求的单调递减区间； （ii）若，，恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）设． （i）若，求的值； （ii）当时，恒成立，求的最小值． （2）已知，且函数的最小值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北定兴第三中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】B 【解析】 【详解】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 2. 已知命题，则（ ） A. 为真命题， B. 为真命题， C. 为假命题， D. 为假命题， 【答案】B 【解析】 【详解】取，则，所以为真命题， . 3. 方程的实数根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令函数，而函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又， 因此函数在上存在零点， 所以方程的实数根所在的区间为． 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造乘“1”法，化简整理后利用基本不等式即可求出最小值，需注意等号成立条件. 【详解】由，可得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立． 故选：A 5. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以． 故. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可得，根据对数函数单调性结合中间值“”比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以． 7. 为了改善空气质量，某科研单位通过实验发现：在一定范围内，每使用1个单位剂量的缓释净化剂，空气中释放的净化剂浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于时，它才能起到净化空气的作用．若一次性使用2个单位剂量的净化剂（此时浓度为使用1个单位剂量时的2倍），则有效净化时长约为（ ）（参考数据：） A. 3.8小时 B. 4.2小时 C. 4.6小时 D. 5.6小时 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，一次性使用2个单位剂量的净化剂，浓度， 则当时，由，得，因此； 当时，由，得， 得，因此，则， 所以一次性使用2个单位剂量的净化剂，有效净化时长约为4.6小时． 8. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性得出函数的对称性和周期性，再利用周期性将所求函数值转化为已知区间内的函数值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为为偶函数，所以 则的图象关于直线对称， 对变形： 则  进一步化简得：  所以的周期为8，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面说法正确的有（ ） A. 集合，则 B. 函数的图象与的图象关于直线对称 C. 若，则 D. 一个扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A， 集合，则有，故A正确； 对于B，函数与函数互为反函数，图象关于直线对称， 函数与函数不互为反函数，图象不关于直线对称，B错误； 对于C，因为，且， 所以，即，故C正确； 对于D，扇形的周长为，圆心角为，设扇形的半径为，弧长为， 则，周长，得， 故此扇形的面积，故D错误． 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：利用对数函数定义域计算即可得；对B：借助奇函数定义判断即可得；对C：去掉绝对值后，利用对数函数单调性判断即可得；对D：令，可得可以取遍所有正实数，再利用对数函数值域判断即可得. 【详解】对A：由题可知，解得，故的定义域为，故A错误； 对B：的定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数，故B正确． 对C：当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确． 对D：，令， 因为可以取遍所有正实数，所以的值域为，故D正确． 11. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，且是函数在上的两个零点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若函数在上单调递增，则正数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】A利用图象变换可得解析式；B将问题转化为是在上的两个根，求出的范围，结合正弦函数的性质可求；C根据以及诱导公式即可求出；D求出的范围，并结合正弦函数的性质求出. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象， 再将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到的图象， 故A错误； 由，可得， 因为是函数在上的两个零点， 即是在上的两个根， 所以，即，B正确； 因为， 所以 ，C正确； ，由，可得， 因为函数在上单调递增，所以，解得，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则___________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，结合赋值法，令，即可求解. 【详解】由函数满足，令， 则． 13. 如图，在正方形网格的格点上，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用网格线求出，，由两角和的正切公式计算即可. 【详解】如图， 由图可知，，， 所以， 即， 所以． 14. 已知，是函数的个零点，则___________，___________1．（第二空填“”、“”或“”） 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】令，可得，分和两种情况，结合函数图像可得，，根据余弦函数单调性以及对数运算分析求解即可. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，则， 当时，则，故无解； 当时，作出函数与的图象， 结合与的图象可知：函数有2个零点，所以； 不妨设，则，且， 又因为在上单调递减，则， 即，可得，可得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，再根据集合的运算即可求解； （2）分为和两种情况，分别讨论即可求出答案. 【小问1详解】 解不等式得， 所以， 解不等式得， 所以， 所以或， 所以或. 【小问2详解】 当时，，解得，符合； 当时，，即. 综上，故的取值范围为. 16. 已知． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的基本关系式，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解； （2）利用三角函数的基本关系式，求得，得到的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 因为，所以，则，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 可得，， 所以. 17. 已知对数函数在上的最大值和最小值的和为1． （1）求的解析式． （2）已知函数． （i）若的定义域为，求的取值范围； （ii）若的值域是，求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义假设函数解析式，结合其单调性和待定系数法求解即可. （2）（i）将的定义域为，转化为求解在上恒成立，对分类讨论求解；（ii）整体换元，将问题转化为求解的值域内的最大值，再结合二次函数最值求解即可. 【小问1详解】 设（且）， 因为是单调函数，所以在上的最大值和最小值的和为， 则，解得，所以. 【小问2详解】 由题意得， （i）由的定义域为，可知在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，，解得， 综上所述的取值范围是； （ii）令，由的值域是， 可得取得内任意实数，则的最大值是16. 由， 得，且，则. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式． （2）设函数． （i）求的单调递减区间； （ii）若，，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由图可知，根据周期求出，根据函数的最大值求出，将代入求出，即可得到答案； （2）（i）根据两角和的正弦公式及辅助角公式求出，结合正弦函数的单调性，整体代入求解即可得答案；（ii）求出函数在上的最大值和最小值，进而得到的最大值，即在上恒成立，结合一次函数的性质列不等式组即可求出答案. 【小问1详解】 设的最小正周期为，则，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又， 所以，即， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 （i） ， 由，解得， 故的单调递减区间为. （ii）设， 因为，所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，， 当，即时，， 故在上的最大值和最小值分别为和. 因为，， 所以恒成立， 所以 解得，所以的取值范围为. 19. 已知函数． （1）设． （i）若，求的值； （ii）当时，恒成立，求的最小值． （2）已知，且函数的最小值为4，求的值． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求并代入求解；（ii）分析单调性、零点，确定零点和正负，由零点得，构造函数，并根据其性质求的最小值. （2）确定分段区间，分析各区间单调性，并根据最小值为4求解. 【小问1详解】 （i）由，可得， 所以 （ii）由题意可知在上单调递增，且， 所以当时，，当时，. 因为当时，恒成立， 所以函数有一个零点为1， 即，即 令， 因为，所以的一个零点， 且当时，，当时，， 所以，且， 所以，即的最小值为． 【小问2详解】 当时，，有， 当时，令，则， 其对称轴为，在上单调递减， 当时，令，则， 对称轴为，在上单调递增， 当时，令，则， 对称轴为，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，由函数的连续性，可知在上单调递增， 当时，， 因此， 令，解得，符合要求，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $