专题06 双星多星及宇航航行模型 讲义及课时精练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理讲义围绕“双星多星及宇航航行模型”构建知识体系，通过表格对比（如极地卫星与近地卫星特点）、模型分类（人造卫星、发射速度等四模型）梳理轨道参量、变轨原理、双星规律等核心内容，呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于例题结合航天实例（如天舟九号变轨、嫦娥六号着陆），通过模型建构与科学推理培养运动和相互作用观念，练习覆盖选择、解答题分层设计，帮助学生掌握卫星追击等题型方法，支持教师实施精准化教学。

专题06 双星多星及宇航航行模型 模型一 人造卫星 一、卫星运行参量的分析 1.卫星的轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道. 2.卫星运行参量间的关系 将天体或卫星的运动看成　匀速圆周　运动，其所需向心力由　万有引力　提供.由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得： ⇒当r增大时越高越慢 3.极地卫星和近地卫星 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地表附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为　等于　地球的半径，其运行速度约为7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）.近地卫星公转周期的理论值约为85min，天宫空间站的公转周期约为90min，轨道比近地卫星略高 联系 两种卫星的轨道平面一定通过地球的　地心　.近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星 4.地球同步卫星 特点 理解 轨道平面一定 轨道平面与　赤道　平面共面 周期一定 与地球　自转　周期相同，即T＝24h 角速度一定 与地球自转的角速度　相同　 高度一定 由G＝m（R＋h）得地球同步卫星离地面的高度h＝　－R　（离地高度h≈3.6×104km≈5.6R） 速率一定 运行速率v＝　　 向心加速度一定 由G＝ma，得a＝　 绕行方向一定 绕行方向与地球自转方向　相同 【例题精讲】 1．如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的速率分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动。则甲、乙卫星（　　） A．轨道半径之比为1：4 B．运行周期之比为1：2 C．受到的万有引力大小之比为2：1 D．向心加速度大小之比为1：1 【答案】B 【解析】解：A、设中心天体质量为M′，卫星的质量为m，卫星的轨道半径为r。卫星绕中心天体做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有 Gm 可得r，已知甲、乙两颗卫星速率相等，质量之比为M甲：M乙＝M：2M＝1：2，解得甲、乙两颗卫星的轨道半径之比r甲：r乙＝1：2，故A错误； B.根据公式T，v相等，可得甲、乙卫星的运行周期之比T甲：T乙＝r甲：r乙＝1：2，故B正确； C.甲、乙卫星的质量未知，故无法确定甲、乙卫星受到的万有引力大小之比，故C错误； D.根据向心加速度公式a，v相等，可得a甲：a乙＝r乙：r甲＝2：1，故D错误。 故选：B。 2．如图甲，“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点，图乙是航天控制中心大屏幕上显示某气象卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹。地球可视为球体，地球匀速自转，则（　　） A．该气象卫星绕地球运动的轨道是椭圆 B．地球自转周期是该气象卫星绕地球运动周期的3倍 C．该气象卫星线速度介于第一、第二宇宙速度之间 D．该气象卫星受地球的引力一定大于地球同步卫星受地球的引力 【答案】B 【解析】解：A．由图乙可知，该气象卫星相邻两次经过赤道正上方所用的时间间隔是相等的，这表明卫星绕地球做匀速圆周运动，其运行轨道为圆形，故A错误。 B．由图乙可知，在地球自转一周的时间内，恰好形成了3个完整的闭合轨迹，这意味着卫星绕地球转动了3周；设地球自转周期为T地，卫星绕地周期为T卫，则二者满足T地＝3T卫，即地球自转周期是该气象卫星绕地球运动周期的3倍，故B正确。 C．根据，可知卫星的轨道半径r越大，其运行的线速度v越小。第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是绕地球做圆周运动的卫星所能达到的最大线速度。该气象卫星的轨道半径远大于地球半径，因此其线速度必然小于第一宇宙速度，故C错误。 D．根据，可知卫星所受地球的万有引力大小不仅与轨道半径r有关，还与卫星自身的质量 m有关。因该卫星与地球静止卫星的质量关系未知，所以无法比较该气象卫星受地球的引力与静止卫星受地球的引力的大小关系，故D错误。 故选：B。 3．如图甲所示，太阳系中有一颗躺着的蓝色“冷行星”——天王星，外围空间存在着环状物质。为了测定环状物质是天王星的组成部分，还是环绕该行星的卫星群，“中国天眼”对其做了精确的观测，发现环状物质绕行星中心的运行速度v与到行星中心的距离r的关系如图乙所示（图中v0、v1均为已知值）。已知天王星的半径为R、环状物质的宽度为d，引力常量为G，以下说法正确的是（　　） A．环状物质是天王星的组成部分 B．天王星的自转周期为 C．该行星的密度为ρ D．天王星的第一宇宙速度等于v1 【答案】C 【解析】解：AB.若环状物质是天王星的组成部分，则所有环状物质同轴旋转，角速度相同，根据 v＝ωr 可知，环状物质的线速度v与到天王星中心的距离r成正比，结合题图乙可知，环状物质不是天王星的组成部分，是环绕天王星的卫星群，根据题设条件不能确定天王星的自转周期，故AB错误； C.环状物质是天王星的卫星群，则其向心力由天王星的万有引力提供，有 所以，结合题图乙可得图线的斜率 k 所以天王星的质量，结合 代入数据得ρ，故C正确； D.题图乙可知，天王星的第一宇宙速度为v0，故D错误。 故选：C。 4．天舟九号货物飞船于2025年7月15日成功发射，保障了神舟二十号和二十一号乘组在轨期间的物资需求。天舟九号发射后，火箭将其送入近地点约200公里、远地点约300公里的椭圆轨道。在天舟九号从近地点向远地点运动的过程中，关于地球对它的万有引力F及其运行速率v，下列说法正确的是（　　） A．F逐渐增大，v逐渐增大 B．F逐渐减小，v逐渐减小 C．F逐渐减小，v逐渐增大 D．F逐渐增大，v逐渐减小 【答案】B 【解析】解：根据万有引力定律可知，地球对天舟九号的万有引力为：F，在天舟九号从近地点向远地点运动的过程中，天舟九号与地球的距离r逐渐增大，则F逐渐减小。天舟九号在椭圆轨道上运动，根据开普勒第二定律可知，在天舟九号从近地点向远地点运动的过程中，其运行速率v逐渐减小，故B正确，ACD错误。 故选：B。 5．2025年10月26日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将高分十四号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。如图所示为其发射过程的模拟图。卫星先进入圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，再经椭圆轨道Ⅱ，最终进入圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动，轨道Ⅱ分别与轨道Ⅰ、轨道Ⅲ相切于P、Q两点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的过程中，地球对卫星的引力做正功 B．地球的密度为 C．在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度 D．卫星在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的运行周期 【答案】D 【解析】解：A、卫星在轨道Π上由P点向Q点运动的过程中，地球对卫星的引力方向与位移方向夹角大于90°，因此引力做负功，故A错误。 B.在地球表面处，万有引力等于重力，有。地球的质量可表示为，联立可得地球的平均密度为，故B错误。 C.根据万有引力提供向心力，有，解得向心加速度。卫星在轨道Π上经过Q点与在轨道Ⅲ上经过Q点时，到地心的距离r相同，因此加速度大小相等，故C错误。 D.由开普勒第三定律可知，运行周期的平方与轨道半长轴的三次方成正比。轨道Π的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，因此卫星在轨道Π上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的运行周期，故D正确。 故选：D。 （多选）6．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为2θ；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为T0，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．卫星Ⅰ的环绕速度比卫星Ⅱ的环绕速度大 B．卫星Ⅱ的周期为 C．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为sin2θ：1 D．地球的平均密度为 【答案】CD 【解析】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得 Gm 得v 可知，卫星的轨道半径越大，线速度越小，则卫星Ⅰ的环绕速度比卫星Ⅱ的环绕速度小，故A错误； B.由几何知识可知，静止轨道卫星Ⅰ的轨道半径为。对卫星Ⅰ和卫星Ⅱ，分别根据万有引力提供向心力有 Gm• Gm′R 解得卫星Ⅱ的周期为T＝T0，故B错误； C.对卫星Ⅰ和卫星Ⅱ，分别根据万有引力提供向心力有 Gma1 Gm′a2 解得卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为a1：a2＝sin2θ：1，故C正确； D.对静止轨道卫星Ⅰ，根据万有引力提供向心力有 Gm• 地球的平均密度为 ρ 联立解得ρ，故D正确。 故选：CD。 （多选）7．嫦娥六号探测器的发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回先河。探测器着陆月球表面的过程示意图如图所示，探测器先在半径为r轨道Ⅰ做匀速圆周运动，周期为T，从A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点B点再次变轨到近月圆轨道Ⅲ，最后安全落在月球上。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略近月点离月球表面高度，下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道Ⅱ上A和B两点加速度大小之比为 B．探测器在轨道Ⅱ上A和B两点线速度大小之比为 C．探测器在轨道Ⅱ上从A到B的最短时间为T D．月球的平均密度为 【答案】BC 【解析】解：A．根据牛顿第二定律有 解得 代入数据得探测器在轨道Ⅱ上A和B两点加速度大小之比为，故A错误； B．设探测器在轨道Ⅱ上A和B两点线速度大小分别为vA、vB，取一小段时间Δt，根据开普勒第二定律有 代入数据得，故B正确； C．根据开普勒第三定律有 解得探测器在轨道Ⅱ上运行的周期 代入数据得探测器在轨道Ⅱ上从A到B的最短时间，故C正确； D．探测器在半径为r轨道Ⅰ做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 可得，体积 代入数据得月球的平均密度，故D错误。 故选：BC。 模型二 发射速度 一、宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 （环绕速度） v1＝　7.9　km/s，是人造卫星的最小　发射　速度，也是人造卫星的最大　环绕　速度 第二宇宙速度 （逃逸速度） v2＝　11.2　km/s，是物体挣脱　地球　引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 （脱离速度） v3＝　16.7　km/s，是物体挣脱　太阳　引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的计算方法 已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量M＝5.98×1024kg，地球半径R＝6400km，g＝9.8m/s2. 方法一：由G＝m，得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s. 方法二：由mg＝m得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s，运行周期Tmin＝2π＝2×3.14×s＝5075s＝85min. 【例题精讲】 1．我国计划在2028年前后实施两次火星探测任务。某兴趣小组根据如表提供的信息，据此提出了一些说法，其中正确的是（　　） 到太阳的距离 质量 直径 自转周期 地球 L M d T 火星 1.5L 0.11M 0.5d T A．可以计算出太阳质量 B．地球表面重力加速度和火星表面重力加速度大小之比为 C．火星第一宇宙速度和地球第一宇宙速度之比为 D．地球绕太阳的周期和火星绕太阳的周期之比为1 【答案】B 【解析】解：A．要计算太阳质量，需利用万有引力定律，但题目仅提供行星到太阳的距离，未给出绕太阳运动周期、线速度、角速度、频率、转速这些物理量的其中一个，无法计算太阳质量，故A错误； B．计算表面重力加速度，在行星表面，忽略行星自转影响，物体受到的万有引力等于其重力，得 代入数据得 其中R为行星半径，地球半径，火星半径Rm＝0.25d 代入数据得，故B正确； C．第一宇宙速度可看作卫星贴近中心天体表面绕中心天体做圆周运动时的速度，此时圆周运动的半径为中心天体的半径，万有引力充当向心力得 化简得 代入数据得，故C错误； D．根据开普勒第三定律T2∝R3，火星与地球轨道半径之比 代入数据得周期之比为，故D错误。 故选：B。 2．在2025年9月3日举行的“九三阅兵”式上，“东风﹣61”陆基洲际导弹体现了我国强大的国防实力。若该导弹发射后按如图所示轨迹飞行，先后经历AB段（火箭助推加速上升）、BCD段（脱离大气层后无动力飞行）和DE段（弹头再入大气层后机动滑行），最终命中目标E点。关于弹头在各阶段的运动，下列说法正确的是（　　） A．弹头在B点时的速率等于在C点时的速率 B．弹头在BCD段的飞行轨迹为椭圆的一部分 C．弹头在最高点C处的飞行速度等于第一宇宙速度 D．弹头在DE段大气层滑行的过程所受合力方向始终指向地心 【答案】B 【解析】解：A.BCD段无动力飞行，仅受地球引力，机械能守恒。从B到C，引力做负功，动能减小，故B点速率大于C点，故A错误； B.脱离大气层后无动力，仅受万有引力作用，符合开普勒定律，轨迹为椭圆的一部分，故B正确； C.第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，C点高度远大于近地轨道，其速度小于第一宇宙速度，故C错误； D.DE段有动力，弹头同时受空气阻力和地球引力，合力是二者的矢量和，并非始终指向地心，故D错误。 故选：B。 3．如图是中国探月工程的标识，圆月的起笔处如龙头，象征中国航天事业如巨龙腾空，落笔处由一群和平鸽组成，表达了中国和平利用宇宙空间的美好愿望。把地球和月球看成质量均匀分布的球体，已知地球与月球的表面重力加速度之比为p，地球和月球的半径之比为q，下列说法正确的是（　　） A．地球和月球的第一宇宙速度之比等于pq B．地球和月球的第一宇宙速度之比等于 C．地球和月球的平均密度之比等于pq D．地球和月球的平均密度之比等于 【答案】D 【解析】解：AB.根据，得第一宇宙速度，所以地球和月球的第一宇宙速度之比等于，故AB错误； CD.由，ρ，，得，所以地球和月球的平均密度之比等于，故C错误、D正确。 故选：D。 4．已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小g随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示。关于P、Q星球，下列说法正确的是（　　） A．质量相同 B．密度相同 C．P、Q第一宇宙速度大小之比为1：3 D．同步卫星距星球表面的高度之比为1：1 【答案】B 【解析】解：A.令星球质量为M，星球半径为r0，星球内部某位置到球心间距为r，则有g，其中 代入数据得，可知，此时内部某位置的重力加速度与该位置到球心间距成正比而在星球外部某位置有 则有，可知，星球外部某位置的重力加速度与间距正平反比的关系，结合图像可知P、Q两星球的半径分别为R、2R，则有， 解得，，两星球质量不同，故A错误； B.结合上述，两星球密度分别为， 结合上述解得，故B正确； C.第一宇宙速度等于星球表面卫星的环绕速度，则有， 代入数据得，故C错误； D.两星球自转角速度相同，则自转周期相同，其同步卫星的周期相同，根据， 代入数据得，故D错误。 故选：B。 5．2025年9月3日，在北京天安门大阅兵上，我国展示了“东风﹣5C”液体洲际战略核导弹，其最具革命性的升级在于分导式多弹头（MIRV）能力。如图所示，若从地面上A点发射一枚导弹，导弹沿ACDB椭圆轨道飞行，最终击中地面目标B。已知CD段为导弹在大气层外关闭发动机后自由飞行的一段轨迹，D点距地面的高度为地球半径的，地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．导弹沿CD段飞行时处于失重状态，不受地球引力作用 B．导弹关闭发动机后的运动可视为斜抛运动 C．导弹在A点的发射速度大于第二宇宙速度 D．导弹在D点的加速度大小为 【答案】D 【解析】解：A．导弹沿CD段飞行时处于失重状态，但仍然受地球引力作用，故A错误； B．导弹关闭发动机后只受重力，但由于加速度会减小，它的运动不可视为斜抛运动，故B错误； C．导弹在A点不能脱离地球的引力范围，在该点的发射速度小于第二宇宙速度，故C错误； D．根据ma，又mg，而r＝RR，得导弹在D点的加速度大小为a，故D正确。 故选：D。 （多选）6．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空。如图所示，Ⅰ、Ⅱ为天舟九号在变轨过程中两个不同的椭圆轨道，两轨道相切于P点，Q为轨道Ⅱ的远地点，M为轨道Ⅱ上的点，PM和MQ的弧长相等，下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在轨道Ⅱ上从P到M和从M到Q的时间相同 B．天舟九号在轨道Ⅰ上经过P时速度小于地球第一宇宙速度 C．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的速度相同 D．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的加速度相同 【答案】BD 【解析】解：A.根据开普勒第二定律可知，天舟九号在轨道Ⅱ上从P到Q的速度逐渐减小，则从P到M的时间小于M到Q的时间，故A错误； B.由图可知，P到地面有一定高度，且在轨道Ⅰ上经过P点做近心运动，根据圆轨道，可知天舟九号在过P时速度小于近地卫星的绕行速度（第一宇宙速度），故B正确； C.天舟九号在轨道Ⅰ上经过P点变轨进入轨道Ⅱ时，要点火加速，则天舟九号在轨道Ⅰ比Ⅱ上经过P点时的速度小，故C错误； D.根据万有引力定律和牛顿第二定律，即ma，可知天舟九号在轨道Ⅰ和上经过P点时的加速度相同，故D正确。 故选：BD。 （多选）7．胸怀“国之大者，奔赴星辰大海”，我国祝融号已登陆火星并传回了一组火星上的图像。已知火星的直径大约是地球的一半，质量大约是地球的，则（　　） A．火星的平均密度大约是地球的 B．火星的公转周期大约是地球的 C．火星表面的重力加速度是地球的 D．火星的第一宇宙速度是地球的 【答案】CD 【解析】解：A．由密度公式 代入数据得火星与地球的密度比为，故A错误； B．因为本题地球、火星的公转轨道半径未知，故无法求出公转周期关系，故B错误； C．星球表面的万有引力近似等于重力 故星球表面的重力加速度为 代入数据得火星与地球的重力加速度比为，故C正确； D．由，可得第一宇宙速度为 代入数据得火星与地球的第一宇宙速度比为，故D正确。 故选：CD。 （多选）8．两颗行星A和B的卫星绕各自行星做匀速圆周运动。如图为卫星的角速度ω与轨道半径r的关系图，图中两图线纵截距的差值b﹣a＝lg9，已知行星B的半径是A的3倍，忽略行星自转和其他星球影响，结合图像数据，下列说法正确的是（　　） A．行星A与B的质量之比为81：1 B．行星A与B表面的重力加速度之比为1：9 C．行星B的第一宇宙速度是A的倍 D．行星A与B的平均密度之比为1：3 【答案】BD 【解析】解：A、根据万有引力提供向心力，整理可得，图中两直线的纵截距的差值b﹣a＝lg9，即，即，行星B与A的质量之比为81：1，故A错误； B.行星B的半径是A的3倍，根据黄金代换GM＝gR2，行星A与B表面的重力加速度之比为1：9，故B正确； C.第一宇宙速度公式，解得，可知行星B的第一宇宙速度是A的倍，故C错误； D.根据体积公式，可得体积之比为27：1，根据密度公式，可知行星B与A的平均密度之比为3：1，故D正确。 故选：BD。 模型三 卫星变轨和对接及双星模型 一、卫星的变轨和对接 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 二、双星和多星模型 1.双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2.多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 【例题精讲】 1．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器在预定地点准确着陆，实现世界首次月球背面采样返回。“嫦娥六号”探测器的发射过程可以简化如下：探测器由地面发射后，进入地月转移轨道，在近月点多次变轨，由椭圆轨道变为圆形轨道，圆形轨道离月球表面的高度为H，绕椭圆轨道运动的周期为T，已知月球表面的重力加速度为g月，月球的半径为R。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥六号”在圆形轨道上的运行的周期为 B．“嫦娥六号”的椭圆轨道上的远月点距离月球球心的距离为（R+H） C．“嫦娥六号”在地月转移轨道上经过近月点的加速度比在椭圆轨道上经过该点时的加速度大 D．“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度大于在圆形轨道上运动的速度 【答案】B 【解析】解：A.根据，又由mg月，联立解得“嫦娥六号”在圆形轨道上的运行的周期为T0•，故A错误； B.设“嫦娥六号”的椭圆轨道上的远月点距离月球球心的距离为r，则椭圆轨道半长轴为r椭，根据开普勒第三定律有，联立解得r（R+H），故B正确； C.根据ma可知，“嫦娥六号”在地月转移轨道上经过近月点的加速度与在椭圆轨道上经过该点时的加速度一样大，故C错误； D.“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度小于在该点的圆轨道的线速度，而在近月点的圆轨道的线速度大于在远月点圆轨道上线速度，所以“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度小于在圆形轨道上运动的速度，故D错误。 故选：B。 2．2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 【答案】D 【解析】解：AB.神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速，或先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速，都会做离心运动，不可能完成对接，故AB错误； CD.为了成功完成对接，神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速，做离心运动，故C错误，D正确。 故选：D。 3．在双星系统的运动平面内，以两天体连线为底作等边三角形，第三个顶点称为“特洛伊点”，在该点处，小物体在两个大物体的万有引力作用下做圆周运动，相对于两大物体保持静止。已知一双星系统距其他天体较远，两星质量均为M，相距为L，有一颗探测器位于“特洛伊点”上，三者在万有引力作用下保持相对静止，探测器质量远小于双星质量，万有引力常量为G，则探测器的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：探测器位于等边三角形顶点，与两星距离均为L。 每个星体对探测器的万有引力大小 两引力夹角为60°，合力大小为： 探测器做匀速圆周运动，圆心在双星系统的中心，所以轨道半径。 合力提供向心力可得 代入 解得 ，故C正确，ABD错误； 故选：C。 4．中国科学家发现了代号为TMTSJ0526的双星系统，该系统由一颗质量约为0.7MS（MS为太阳质量）的碳氧白矮星与质量约为0.3MS的热亚矮星两颗星体组成。它们的轨道平面几乎与地球的观测平面重合，用望远镜在地球附近观测，发现双星系统的亮度周期性地变暗和变亮，已知两个天体周期性地互相遮挡造成观测的双星系统亮度变化周期是该系统匀速圆周运动周期的一半。某次观测记录该双星系统的亮度随时间t的变化情况如图所示，图中“星等”表示亮度，实线为实验数据经最佳拟合得到的正弦式曲线，虚线所对时刻是曲线上“星等”最小的时刻。已知太阳质量约为，引力常量G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，π2≈10，下列说法正确的是（　　） A．碳氧白矮星和热亚矮星转动的半径之比为7：3 B．该双星系统的运转周期约为600s C．两星体之间的距离约为 D．若多年以后，两星体间的距离逐渐减小，两星体转动的角速度也将减小 【答案】C 【解析】解：A、由题可知碳氧白矮星质量为0.7MS，热亚矮星质量为0.3MS。设两星间距为L，圆周运动半径分别为R1、R2，周期为T。根据双星系统万有引力提供向心力，有，，即，解得：，故A错误； B.由实验数据拟合的亮度变化正弦曲线周期为600s，而亮度变化周期为系统运动周期的一半，故该系统运转周期T＝1200s，故B错误； C.对双星分别列式：，。化简得，。两式相加得，解得：。代入数据得L，故C正确； D.由推导可知，双星系统周期由总质量与间距决定。间距L减小而质量和不变，则周期T减小，由知角速度增大，故D错误。 故选：C。 5．在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，不考虑其他天体的影响，两者围绕连线上的O点做匀速圆周运动。正确的是（　　） A．黑洞A与B绕行的向心加速度大小相等 B．黑洞A的质量m1大于黑洞B的质量m2 C．若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，两黑洞的绕行周期变小 D．若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，两黑洞的向心加速度变小 【答案】C 【解析】解：A、黑洞A与B的角速度相同，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，根据a＝ω2r可知，黑洞A的向心加速度大于黑洞B的向心加速度，故A错误； B.两黑洞由相互间的万有引力提供向心力，则两黑洞的合外力大小相等，根据F合＝ma可知，黑洞A的向心加速度大于黑洞B的向心加速度，则黑洞A的质量m1小于黑洞B的质量m2，故B错误； C.由双星模型规律可知，黑洞A、B的角速度相同，由万有引力提供向心力，则有，且rA+rB＝L，联立解得，若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，则两黑洞做圆周运动的角速度变大，根据周期与角速度的关系可知，两黑洞的绕行周期变小，故C正确； D.若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，根据万有引力定律，可知两黑洞之间的万有引力增加，则两黑洞向心加速度增大，故D错误。 故选：C。 6．“千帆星座”是我国“卫星互联网”的核心项目，我国计划2030年突破1.5万颗低空卫星组网，形成全球覆盖能力，实现多方面赋能。其中两颗卫星的运行轨道如图所示，卫星a在圆轨道上运动，卫星b在椭圆轨道上运动，卫星仅受地球对它的万有引力作用。下列说法正确的是（　　） A．两颗卫星在经过P点时的加速度相同 B．卫星a在P点的速度大于卫星b在M点的速度 C．两颗卫星的发射速度均大于地球的第二宇宙速度 D．两颗卫星与地球的连线在任意相同时间内扫过的面积一定相等 【答案】A 【解析】解：A、根据牛顿第二定律得，则得，可知两颗卫星在经过P点时的加速度相同，故A正确； B.对于在圆轨道上运动的卫星，根据万有引力提供向心力得 可得 即轨道越高，速度越小，可知卫星a在P点的速度小于卫星b经过M点所在的圆轨道的速度。根据卫星变轨的规律可知，假设卫星b在经过M点所在的圆轨道时，须经历加速才能在椭圆轨道运行，所以卫星a在P点的速度小于卫星b在M点的速度，故B错误； C.两颗卫星均绕地球运动，没有脱离地球的束缚，所以它们的发射速度均小于第二宇宙速度，故C错误； D.根据开普勒第二定律可知，同一轨道上卫星与地球的连线在相同的时间扫过的面积相等，但卫星a和卫星b运行轨道不同，所以两个卫星与地球的连线在相同的时间扫过的面积不一定相等，故D错误。 故选：A。 7．2025年10月26日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将高分十四号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。如图所示为其发射过程的模拟图。卫星先进入圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，再经椭圆轨道Ⅱ，最终进入圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动，轨道Ⅱ分别与轨道Ⅰ、轨道Ⅲ相切于P、Q两点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的过程中，地球对卫星的引力做正功 B．地球的密度为 C．在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度 D．卫星在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的运行周期 【答案】D 【解析】解：A、卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的过程中，地球对卫星的引力与速度夹角为钝角，做负功，地球对卫星的引力，故A错误； B.在地球表面上，有 地球的密度为 联立可得地球的密度，故B错误； C.两个轨道上在同一点万有引力相同，由牛顿第二定律得 解得 则在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度，故C错误； D.因卫星在轨道Ⅱ上的半长轴小于在轨道Ⅲ上的半径，则根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的运行周期，故D正确。 故选：D。 （多选）8．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，我们称之为双星系统.设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RA＜RB，引力常量G已知，则下列说法正确的是（　　） A．星球A的向心力大于星球B的向心力 B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度 C．星球A和星球B的质量之和为 D．双星的总质量一定，若双星之间的距离增大，其转动周期也变大 【答案】CD 【解析】解：A、根据双星系统的运动规律，双星依靠彼此间的万有引力提供圆周运动的向心力，因此两星所受向心力大小相等，故A错误； B.由双星运动特性可知，二者的角速度相同，依据线速度与角速度的关系v＝ωr，可知星球A的线速度小于星球B的线速度，故B错误； C.对星球A分析，有；对星球B分析，有。结合角速度公式以及两星间距L＝RA+RB，联立解得，故C正确； D.由总质量表达式可知，在总质量不变的前提下，若双星间距L＝RA+RB增大，则其转动周期T将随之增大，故D正确。 故选：CD。 （多选）9．如图，P、Q、S三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q、S三颗星体的运动线速度大小相等 B．P、Q、S三颗星体中S星的质量最小 C．P、Q、S三颗星体中S星的加速度最小 D．P、Q、S三颗星体中S星所受的合力最小 【答案】BD 【解析】解：A．三星系统是三颗星都绕同一圆心O做匀速圆周运动，由此它们转动的角速度相同，由v＝ωr 可知星体的线速度 vP＝vQ＜vS 故A错误； BD．三颗星体都绕同一圆心O做匀速圆周运动，每个星体受到另外两个星体的万有引力的合力需指向O点，因此可得星体S、P受力如图所示， 可知S、P间的万有引力大小等于S、Q间的万有引力大小，S、P间的万有引力大小小于Q、P间的万有引力大小，两图中的两分力的夹角相等，因此 FS＜FP＝FQ 根据 可知 mS＜mP＝mQ 故BD正确； C．根据 a＝rω2 可知P、Q、S三颗星体中S星的加速度最大，故C错误。 故选：BD。 模型四 天体中的追击问题 一、天体的追及和相遇问题 “天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的. 状态 图示 关系（同向） 最近 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、） （2）圈数关系：－＝n（n＝1、2、3、） 最远 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、） （2）圈数关系：－＝（n＝1、2、3、） 二、近地卫星、同步卫星与地球赤道上的物体的联系与区别 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上的物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r同＞r物＝r近 角速度 由＝mrω2得ω＝，故ω近＞ω同 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω同＝ω物 ω近＞ω同＝ω物 线速度 由＝得v＝，故v近＞v同 由v＝rω得v同＞v物 v近＞v同＞v物 向心加 速度 由＝ma得a＝，故a近＞a同 由a＝rω2得a同＞a物 a近＞a同＞a物 【例题精讲】 1．如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为R1，另一人造卫星01星绕地球圆周运动的轨道半径为R2，且R1＜R2，此时两卫星与地心恰好在一条直线上。已知地球质量为M，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的半径 B．试验卫星线速度小于01星的线速度 C．试验卫星与01星在相同时间内与地心连线扫过的面积之比为 D．若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间，两卫星与地心再次共线 【答案】C 【解析】解：A．对地球表面的物体由 可得地球的半径，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得 因R1＜R2，可知试验卫星线速度大于01星的线速度，故B错误； C．根据 可知试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为，故C正确； D．根据万有引力提供向心力 可得 可知两卫星的周期分别， 若两颗卫星绕行方向一致，则两卫星与地心再次共线时，则 可知至少经过时间，故D错误。 故选：C。 2．2025年2月28日，太阳系中出现了“七星连珠”天文现象。为了解此类现象的周期，天文爱好者利用人工智能来模拟探究地球系统的“三星连珠”（三星位于地球同侧且共线）。如图所示，卫星a、b绕地球做匀速圆周运动的周期分别为19.2h、18h，地球同步卫星的周期为24h（等于1d），则a、b和同步卫星出现“三星连珠”的周期为（三星轨道在同一平面内且环绕方向相同）（　　） A．6d B．8d C．12d D．20d 【答案】C 【解析】解：根据卫星的追及和相遇思路，设内侧卫星（a或b）与同步卫星每次相距最近的周期为T，由，可得，代入数据可得：每隔T1＝96h＝4d，a与同步卫星相距最近；每隔T2＝72h＝3d，b与同步卫星相距最近。显然“三星连珠”的最小周期为T1和T2的最小公倍数，即T＝12d，故C正确，ABD错误。 故选：C。 3．如图甲所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为M绕Q运动的公转周期。则两行星M、N的轨道半径之比为（　　） A．9：1 B．3：1 C．13：1 D．4：1 【答案】A 【解析】解：由万有引力提供向心力，可得：，可得：，； 根据乙图M的亮度变暗时间间隔为：，可知从MN最近，到下次N追上M需要的时间为Δt，从MN最近到下次相遇需满足：（ωN﹣ωM）Δt＝2π； 由题意可知，M的周期为T0，联立可得：，，故BCD错误，A正确。 故选：A。 4．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟九号与空间站对接过程耗时约3小时，若对接完成时空间站在轨道上的位置如图所示。空间站与地球同步卫星的轨道半径的比值约为0.16，对接过程空间站中看到日出的次数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】解：设空间站的轨道半径为r1，运行周期为T1。地球同步卫星的半径为r2，已知地球同步卫星的周期T2＝24h，r1：r2＝0.16，根据开普勒第三定律可得 联立解得：T1＝1.536h 依题意知，天舟九号与空间站对接过程耗时约3小时，故对接过程空间站中看到日出的次数为n次≈2次，故ABD错误，C正确。 故选：C。 5．已知地球的自转周期为T0，地球同步卫星的轨道半径为R。某卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为，其轨道平面与赤道平面不共面。则该卫星两次经过赤道上某建筑物正上方的时间间隔可能为（　　） A． B． C． D．T0 【答案】D 【解析】解：设地球的质量为M，卫星的质量为m，运行周期为T，卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有可得，地球同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，为T0，该低轨道人造卫星的运行轨道半径为地球同步卫星轨道半径的四分之一，可得， 设该卫星两次在同一城市正上方出现的时间间隔为t，可得，解得（n＝1，2，3，）， 当 n＝7，t＝T0，故ABC错误，D正确。 故选：D。 6．如图所示，卫星A、B均绕地心在同一平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻卫星B与地心连线和卫星A与地心连线的夹角为60°、已知卫星A为地球静止轨道卫星，卫星B的周期约为2h。则从该时刻至两卫星第一次相距最远所需的时间约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据开普勒第三定律可知 代入数据得TA＝24h，设经过t时间两卫星第一次相距最远，则有 代入数据得，故A正确，BCD错误。 故选：A。 7．2022年9月27日出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学上称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。下列说法正确的是（　　） A．木星运行的向心加速度比地球的大 B．木星运行的周期比地球的小 C．下一次的“木星冲日”发生在2023年 D．下一次的“木星冲日”发生在2024年 【答案】C 【解析】解：AB.设太阳质量为M，行星的质量为m，对于行星，由牛顿第二定律可得，解得，，由于r木≈5r地，则木星运行的向心加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故AB错误； CD.根据开普勒第三定律，地球公转周期T1＝1年，可得木星公转周期 年，设经时间t再次出现“木星冲日”，则ω1t﹣ω2t ＝2π，其中，，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2023年，故C正确，D错误。 故选：C。 （多选）8．2025年4月25日1时17分，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。如图A为中国空间站，B为地球同步卫星，两者运动方向相同。已知中国空间站绕地球的公转周期为90分钟，万有引力常量为G。某时刻两者相距最近，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星的机械能大于中国空间站的机械能 B．地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为 C．若已知两者相距最近时的距离，可求出地球质量 D．地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过96分钟 【答案】BCD 【解析】解：A．由于空间站和地球同步卫星的质量关系未知，则无法判断机同步卫星与中国空间站的机械能大小，故A错误； B．根据，代入数据解得地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为，故B正确； C．若已知两者相距最近时的距离，即rB﹣rA为已知条件，根据mArA，mBrB，即可求出地球质量，故C正确； D．根据（）•t＝2π，代入数据解得地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过t＝96分钟，故D正确。 故选：BCD。 （多选）9．如图所示，A、B两卫星绕地球沿顺时针方向做匀速圆周运动，A卫星对地球的张角为2α，B卫星对地球的张角为2θ，α＞θ，A卫星做圆周运动的周期为T，关于两卫星绕地球做圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．A、B两卫星做圆周运动的半径之比为 B．A、B两卫星的线速度之比为 C．A、B两卫星的加速度之比为 D．A、B两卫星从第一次相距最近到第二次相距最近的时间间隔为T 【答案】BC 【解析】解：分析卫星在轨道的几何关系及运动规律如下： A.设地球半径为R，卫星轨道半径为r。根据几何关系可知，卫星对地球的张角的一半α满足：，解得：。同理，。故A、B两卫星做圆周运动的半径之比，故A错误； B.由万有引力提供向心力可得，。则线速度之比，故B正确； C.由万有引力提供向心力可得，。则加速度之比，故C正确； D.由于α＞θ，则rA＜rB，根据开普勒第三定律可知TA＜TB，即A的角速度更大。两卫星均沿顺时针方向运动，从第一次相距最近到第二次相距最近需满足（ωA﹣ωB）Δt＝2π。根据可知，，即。代入，解得：，故D错误。 故选：BC。 （多选）10．如图所示，在长为d的机械臂作用下，微型卫星与空间站一起绕地球做匀速圆周运动，微型卫星、空间站、地球始终位于同一直线。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，微型卫星质量为m，空间站轨道半径为r，忽略空间站与卫星之间的万有引力以及机械臂对空间站的作用力。下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大小为R B．微型卫星的线速度大小为 C．机械臂对微型卫星的作用力大小为mgR2[] D．机械臂对微型卫星的作用力大小为mgR2[] 【答案】BD 【解析】解：A、对空间站，根据万有引力提供向心力有 ，解得：； 同时有，解得：。 在地球表面附近，万有引力近似等于重力，有，故A错误； B.微型卫星与空间站角速度相同，其线速度v2＝ω（r+d），代入ω得，故B正确； CD、对微型卫星，由牛顿第二定律得，联立解得，故C错误，D正确。 故选：BD。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．2025年8月9日，捷龙三号遥六运载火箭以一箭十一星的方式成功将11颗卫星送入高度600公里、与赤道平面夹角为50°的近地轨道，这些卫星最终分布在该轨道的不同位置。关于这些卫星，下列说法正确的是（　　） A．向心力相同 B．线速度相同 C．周期相同 D．向心加速度相同 【答案】C 【解析】解：A、卫星在该轨道的不同位置做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，可得向心力， 其中m为卫星的质量。因这些卫星的质量m可能不同，所以向心力不一定相同，故A错误； B.根据万有引力提供向心力得，解得卫星做匀速圆周运动时线速度的大小为 因轨道半径r相同，故线速度大小相同，但线速度是矢量，方向随位置而变化，所以这些卫星的线速度不同，故B错误； C.根据万有引力提供向心力得，可得卫星做匀速圆周运动时的周期为 r相同，则这些卫星的周期相同，故C正确； D.根据万有引力提供向心力得，解得卫星做匀速圆周运动时的向心加速度大小为，r相同，则向心加速度大小相同。但向心加速度是矢量，方向指向地心且随位置而变化，所以这些卫星的向心加速度不同，故D错误。 故选：C。 2．天舟七号货运飞船为“天宫”空间站完成货物补给，其发射过程简化为：飞船首先进入环绕地球的近地停泊轨道，自停泊轨道B点进入椭圆形转移轨道，在转移轨道上无动力飞行至A点打开发动机进入空间站轨道与空间站对接，忽略飞船在发射过程中质量的变化和运动中所受极其稀薄大气的阻力。下列说法正确的是（　　） A．飞船在停泊轨道的动能小于在空间站轨道的动能 B．飞船在停泊轨道上B点动能小于转移轨道上A点动能 C．飞船在转移轨道无动力飞行时从B点到A点过程中机械能逐渐减小 D．飞船在空间站轨道的机械能大于在停泊轨道的机械能 【答案】D 【解析】解：A.由，得，飞船在停泊轨道的半径小于在空间站轨道半径，飞船在停泊轨道的运行速度大于在空间站轨道运行速度，则飞船在停泊轨道的动能大于在空间站轨道的动能，故A错误； B.停泊轨道B点速度小于转移轨道B点速度（因为B点加速进入椭圆），飞船在停泊轨道的运行速度大于在空间站轨道运行速度，转移轨道A点速度小于转移轨道B点速度，故飞船在停泊轨道上B点动能大于转移轨道上A点动能，故B错误； C.飞船在转移轨道无动力飞行时只有万有引力做功，完成引力势能与动能的相互转化，则机械能守恒，故C错误； D.卫星从停泊轨道转移到同步轨道需要点火加速，因此卫星在同步轨道的机械能大于在停泊轨道的机械能，故D正确。 故选：D。 3．2025年9月6日我国在第三届深空探测（天都）国际会议上提出，拟对某小行星实施“伴飞、撞击、伴飞”的动能撞击防御验证任务：先发射观测器抵近观测，再发射撞击器高速撞击，最后观测器再次围绕小行星观测。已知该小行星可视为质量均匀的球体，半径为R，表面重力加速度为g星，引力常量为G。观测器绕小行星做半径为3R的匀速圆周运动；撞击器正面撞击小行星中心处，且撞击后撞击器完全附着，观测器经过调整后仍然围绕小行星做半径为3R的匀速圆周运动。忽略小行星自转及其他天体引力，下列说法正确的是（　　） A．撞击前小行星的质量为 B．撞击前观测器绕小行星运动的周期为2π C．撞击后观测器的速度变大 D．撞击后观测器的加速度减小 【答案】C 【解析】解：A、忽略小行星的自转，行星表面物体所受重力等于万有引力，即mg星＝G，解得小行星的质量M，故A错误； B.观测器绕小行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Gm3R，解得T＝6π，故B错误； C.观测器绕小行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Gm，解得v，撞击后M变大，则观测器的速度变大，故C正确； D.观测器绕小行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Gma，解得a，撞击后M变大，观测器的加速度变大，故D错误。 故选：C。 4．嫦娥六号结束月球采样后，上升器从月球表面点火起飞后进入环月圆轨道飞行。上升器与在环月圆轨道Ⅰ上等待的返回器交会对接后，返回器在P点变轨后进入椭圆轨道Ⅱ运行，之后进行月地转移、再入大气层……，圆满完成了任务。下列说法正确的是（　　） A．上升器起飞过程中机械能越来越小 B．返回器在轨道Ⅰ等候时处于受力平衡状态 C．返回器从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P点需要加速 D．返回器在轨道Ⅱ远离P点的过程中加速度越来越大 【答案】C 【解析】解：A、上升器点火上升过程中，升力对它做正功，其机械能增大，故A错误； B.返回器在轨道Ⅰ等候时做匀速圆周运动，速度不断变化，处于非平衡状态，故B错误； C.返回器从轨道Ⅰ进入Ⅱ做离心运动，需要在P点加速，故C正确； D.返回器在轨道Ⅱ远离P点的过程中，离月球越来越远，月球对它的万有引力越来越小，则加速度也越来越小，故D错误。 故选：C。 5．如图所示，在轨运行的天宫空间站与北斗同步轨道卫星均可近似围绕地球做匀速圆周运动。两者相关物理量比较，下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大 B．空间站的周期大 C．北斗卫星的角速度大 D．北斗卫星的加速度大 【答案】A 【解析】解：A、根据图示可知，天宫空间站处于近地轨道，北斗同步卫星处于高轨道，即空间站的轨道半径小于北斗卫星的轨道半径，r天＜r北。根据万有引力提供向心力，解得线速度，由于r天＜r北，则v天＞v北，故空间站的线速度大，故A正确； B.根据，解得周期，由于r天＜r北，则T天＜T北，故空间站的周期小，故B错误； C.根据，解得角速度，由于r天＜r北，则ω天＞ω北，故空间站的角速度大，故C错误； D.根据，解得向心加速度，由于r天＜r北，则a天＞a北，故空间站的加速度大，故D错误。 故选：A。 6．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期T1绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是rP和rQ（rP＜rQ），P有一颗卫星M，以轨道半径rM绕P顺时针以周期T2做匀速圆周运动，已知T1＞T2，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为T2的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 【答案】D 【解析】解：A、对于双星系统中的星体P，根据牛顿第二定律可得，解得Q的质量为，故A正确； B.对于环绕P运行的卫星M，由万有引力提供向心力得，解得P的质量为，则恒星P与Q之间的万有引力大小为，故B正确； C.假设Q也有一颗周期为T2的卫星，设其质量为m，轨道半径为r，根据牛顿第二定律有，解得，同理可得卫星M的轨道半径，对于双星系统有，由于rP＜rQ，则有MP＞MQ，进而可得r＜rM，故C正确； D.如图所示： 当P、Q、M三星由图示位置运动至再次共线时，P、Q转过的圆心角θ1与M转过的圆心角θ2互补，满足，解得，故D错误。 本题选不正确的，故选：D。 7．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由相距较近的恒星组成，每颗恒星的半径远小于两颗恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们仅在彼此的万有引力作用下，绕某一固定点做匀速圆周运动。如图即为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，二者球心连线的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．A星球的轨道半径为 B．B星球的轨道半径为 C．双星运行的周期为 D．若近似认为A星球固定不动，B星球绕A星球做圆周运动，则B星球的运行周期为 【答案】C 【解析】解：AB、在双星系统中，两星体之间的万有引力大小相等，它们绕共同圆心做匀速圆周运动的角速度ω与周期T相同。根据万有引力充当向心力，有和，联立可得m1r1＝m2r2；结合轨道半径之和r1+r2＝L，解得A星的轨道半径，B星的轨道半径，故A、B错误； C.由向心力公式，代入r1的表达式，解得运行周期，即，故C正确； D.若将A星近似视为固定不动，则由，可解得B星的运动周期，故D错误。 故选：C。 8．天文观测已经确定了月地距离r，以及月地环绕运动的周期T，如图所示。在不考虑宇宙中其他天体影响的情况下，若已知万有引力常量G，可以有两种方案利用r、T、G对这一系统的其他量进行估算：方案一是认为地球不动，月球绕地球做匀速圆周运动；方案二是将地球和月球视作双星系统，它们都绕其连线上某点做匀速圆周运动。则下列说法中错误的是（　　） A．按照方案一，只能估算地球的质量，不能估算地球和月球的总质量 B．按照方案二，只能估算地球和月球的总质量，不能估算地球的质量 C．按照方案一估算的月球速度大于按照方案二估算的月球速度 D．按照方案一估算的月球加速度小于按照方案二估算的月球加速度 【答案】D 【解析】解：A.按照方案一，根据 可得 则只能估算地球的质量M，不能估算月球的质量m。即不能估算地球和月球的总质量，故A正确； B.按照方案二，根据 其中r＝r1+r2 解得 即只能估算地球和月球的总质量，不能估算地球的质量，B正确； CD.按照方案一根据可得月球的速度 月球加速度 按照方案二可得月球的速度 月球加速度 因r＞r'可知V＞V'，a＞a' 即按照方案一估算的月球速度大于按照方案二估算的月球速度，按照方案一估算的月球加速度大于按照方案二估算的月球加速度，C正确，D错误。 本题让选错误的选项，故选：D。 2． 多选题（共3小题） （多选）9．2025年4月27日，天链二号05星成功发射，其发射过程可简化如下：卫星先进入半径为r的圆轨道Ⅰ，再经椭圆轨道Ⅱ，最终进入半径为6r的圆轨道Ⅲ。AB为椭圆长轴，不计卫星的质量变化。下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运动的周期之比为 B．卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上运动的线速度之比为 C．卫星在轨道Ⅱ上的机械能大于其在轨道Ⅲ上的机械能 D．卫星在轨道Ⅱ上B点的加速度等于其在轨道Ⅲ上B点的加速度 【答案】BD 【解析】解：A.卫星在轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ上运行过程，椭圆轨道Ⅱ的半长轴a，根据开普勒第三定律有，代入数据解得卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运动的周期之比，故A错误； B.根据万有引力提供向心力，得v，可得卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上运动的线速度之比为：1，故B正确； C.同一卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在B位置加速，火箭发动机对卫星做正功，可知卫星在轨道Ⅱ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能，故C错误； D.根据牛顿第二定律ma可知，卫星在轨道Ⅱ上B点的加速度等于其在轨道Ⅲ上B点的加速度，故D正确。 故选：BD。 （多选）10．我国空间站在距离地面约400公里的轨道绕地球做匀速圆周运动，地球的静止轨道卫星距离地面约36000公里。关于静止轨道卫星的描述，下列说法正确的是（　　） A．运行周期大于空间站的运行周期 B．运行速度大于地球的第一宇宙速度 C．加速度小于空间站的加速度 D．静止轨道卫星可能经过文山州正上空 【答案】AC 【解析】解：A.根据开普勒第三定律，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的运行周期大于空间站的运行周期，故A正确； B.第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，是绕地球表面做匀速圆周运动的最大的运行速度，该卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度，故B错误； C.由牛顿第二定律，由，得，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的加速度小于空间站的加速度，故C正确； D.地球静止轨道卫星的轨道平面与赤道平面重合，即静止轨道卫星的轨道在赤道的正上方，则卫星不可能经过文山州正上方，故D错误。 故选：AC。 （多选）11．2024年2月25日从中国科学院云南天文台获悉，近期国内多个团队合作，利用清华大学—马化腾巡天望远镜（TMTS），发现了一距离地球2761光年的致密双星系统—TMTSJ0526。已知组成某双星系统的两颗恒星A和B，质量分别为m1和m2（m1＞m2），相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．A和B的向心加速度大小相等 B．A和B的线速度之比为m2：m1 C．A和B的角速度均为 D．A和B的向心力大小均为 【答案】BCD 【解析】解：A、恒星A和B间的万有引力大小为 双星靠相互间的万有引力提供向心力，则A和B的向心加速度大小分别为 ， 可知，A和B的向心加速度大小不相等，故A错误； B.设两颗恒星A和B运动的轨道半径分别为r1、r2，恒星A和B共轴转动，角速度相同，设为ω，根据万有引力提供向心力得 则得 根据v＝ωr，ω相等，可得A和B的线速度之比为 ，故B正确； C.根据，结合r1+r2＝L，解得A和B的角速度均为，故C正确； D.根据万有引力提供向心力，可知A和B的向心力大小均为，故D正确。 故选：BCD。 三．解答题（共3小题） 12．土卫六号卫星绕土星运行，在距离土星表面高度为h处做匀速圆周运动。已知土星可图丙视为半径为R的均质球体，其表面重力加速度为g，万有引力常量为G。求： （1）土星的质量M； （2）土卫六号绕土星做圆周运动的线速度大小v。 【答案】（1）土星的质量大小为。 （2）土卫六号绕土星做圆周运动的线速度大小为。 【解析】解：（1）在土星表面，忽略自转的影响，万有引力近似等于重力，即，由此解得土星的质量为。 （2）土卫六号绕土星做匀速圆周运动，其轨道半径r＝R+h，万有引力提供其做圆周运动所需的向心力，有，联立上述关系解得其线速度大小为。 答：（1）土星的质量大小为。 （2）土卫六号绕土星做圆周运动的线速度大小为。 13．如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 （1）求卫星B环绕地球运动的周期； （2）求在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 【答案】（1）卫星B环绕地球运动的周期为。 （2）在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数为4次。 【解析】解：（1）由开普勒第三定律可得，结合rA＝4rB，解得：，即。 （2）当两卫星相距最近时，其转过的角度差满足关系式Δθ＝（ωB﹣ωA）t＝2nπ，其中n取值为0，1，2… 已知，。在的时间间隔内，角度差为。由于需满足2nπ≤7π，故自然数n可取0，1，2，3共4个值，因此两卫星相距最近的次数为4次。 答：（1）卫星B环绕地球运动的周期为。 （2）在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数为4次。 14．模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。 （1）在研究地球﹣月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球﹣月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为M，月球的质量为m，二者相距L，引力常量为G。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： （a）根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期T1； （b）根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期T2； （2）如图所示，行星绕太阳做椭圆运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点B到太阳中心的距离为rB，已知太阳质量为M，行星质量为m，万有引力常量为G，行星通过B点处的速率为vB，求B点的曲率半径（B点附近的曲线运动可看作圆周运动，该圆周的半径叫曲率半径。） 【答案】（1）（a）月球绕地球转动的周期T1为。 （b）月球做圆周运动的周期T2为。 （2）B点的曲率半径为。 【解析】解：（1）（a）在第一种情形中，月球围绕地球近似做匀速圆周运动，万有引力作为其向心力来源，由，解得：。 （b）在第二种情形中，地月系统绕其共同质心旋转，由及r地+r月＝L可得。 根据牛顿第二定律可得，联立解得：。 （2）当行星运动至近日点B时，其速度方向与万有引力方向相互垂直，此时引力完全充当向心力，依据牛顿第二定律有，由此可解得B点处的曲率半径为。 答：（1）（a）月球绕地球转动的周期T1为。 （b）月球做圆周运动的周期T2为。 （2）B点的曲率半径为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双星多星及宇航航行模型 模型一 人造卫星 一、卫星运行参量的分析 1.卫星的轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道. 2.卫星运行参量间的关系 将天体或卫星的运动看成　匀速圆周　运动，其所需向心力由　万有引力　提供.由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得： ⇒当r增大时越高越慢 3.极地卫星和近地卫星 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地表附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为　等于　地球的半径，其运行速度约为7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）.近地卫星公转周期的理论值约为85min，天宫空间站的公转周期约为90min，轨道比近地卫星略高 联系 两种卫星的轨道平面一定通过地球的　地心　.近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星 4.地球同步卫星 特点 理解 轨道平面一定 轨道平面与　赤道　平面共面 周期一定 与地球　自转　周期相同，即T＝24h 角速度一定 与地球自转的角速度　相同　 高度一定 由G＝m（R＋h）得地球同步卫星离地面的高度h＝　－R　（离地高度h≈3.6×104km≈5.6R） 速率一定 运行速率v＝　　 向心加速度一定 由G＝ma，得a＝　 绕行方向一定 绕行方向与地球自转方向　相同 【例题精讲】 1．如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的速率分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动。则甲、乙卫星（　　） A．轨道半径之比为1：4 B．运行周期之比为1：2 C．受到的万有引力大小之比为2：1 D．向心加速度大小之比为1：1 2．如图甲，“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点，图乙是航天控制中心大屏幕上显示某气象卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹。地球可视为球体，地球匀速自转，则（　　） A．该气象卫星绕地球运动的轨道是椭圆 B．地球自转周期是该气象卫星绕地球运动周期的3倍 C．该气象卫星线速度介于第一、第二宇宙速度之间 D．该气象卫星受地球的引力一定大于地球同步卫星受地球的引力 3．如图甲所示，太阳系中有一颗躺着的蓝色“冷行星”——天王星，外围空间存在着环状物质。为了测定环状物质是天王星的组成部分，还是环绕该行星的卫星群，“中国天眼”对其做了精确的观测，发现环状物质绕行星中心的运行速度v与到行星中心的距离r的关系如图乙所示（图中v0、v1均为已知值）。已知天王星的半径为R、环状物质的宽度为d，引力常量为G，以下说法正确的是（　　） A．环状物质是天王星的组成部分 B．天王星的自转周期为 C．该行星的密度为ρ D．天王星的第一宇宙速度等于v1 4．天舟九号货物飞船于2025年7月15日成功发射，保障了神舟二十号和二十一号乘组在轨期间的物资需求。天舟九号发射后，火箭将其送入近地点约200公里、远地点约300公里的椭圆轨道。在天舟九号从近地点向远地点运动的过程中，关于地球对它的万有引力F及其运行速率v，下列说法正确的是（　　） A．F逐渐增大，v逐渐增大 B．F逐渐减小，v逐渐减小 C．F逐渐减小，v逐渐增大 D．F逐渐增大，v逐渐减小 5．2025年10月26日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将高分十四号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。如图所示为其发射过程的模拟图。卫星先进入圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，再经椭圆轨道Ⅱ，最终进入圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动，轨道Ⅱ分别与轨道Ⅰ、轨道Ⅲ相切于P、Q两点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的过程中，地球对卫星的引力做正功 B．地球的密度为 C．在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度 D．卫星在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的运行周期 （多选）6．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为2θ；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为T0，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．卫星Ⅰ的环绕速度比卫星Ⅱ的环绕速度大 B．卫星Ⅱ的周期为 C．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为sin2θ：1 D．地球的平均密度为 （多选）7．嫦娥六号探测器的发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回先河。探测器着陆月球表面的过程示意图如图所示，探测器先在半径为r轨道Ⅰ做匀速圆周运动，周期为T，从A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点B点再次变轨到近月圆轨道Ⅲ，最后安全落在月球上。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略近月点离月球表面高度，下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道Ⅱ上A和B两点加速度大小之比为 B．探测器在轨道Ⅱ上A和B两点线速度大小之比为 C．探测器在轨道Ⅱ上从A到B的最短时间为T D．月球的平均密度为 模型二 发射速度 一、宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 （环绕速度） v1＝　7.9　km/s，是人造卫星的最小　发射　速度，也是人造卫星的最大　环绕　速度 第二宇宙速度 （逃逸速度） v2＝　11.2　km/s，是物体挣脱　地球　引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 （脱离速度） v3＝　16.7　km/s，是物体挣脱　太阳　引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的计算方法 已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量M＝5.98×1024kg，地球半径R＝6400km，g＝9.8m/s2. 方法一：由G＝m，得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s. 方法二：由mg＝m得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s，运行周期Tmin＝2π＝2×3.14×s＝5075s＝85min. 【例题精讲】 1．我国计划在2028年前后实施两次火星探测任务。某兴趣小组根据如表提供的信息，据此提出了一些说法，其中正确的是（　　） 到太阳的距离 质量 直径 自转周期 地球 L M d T 火星 1.5L 0.11M 0.5d T A．可以计算出太阳质量 B．地球表面重力加速度和火星表面重力加速度大小之比为 C．火星第一宇宙速度和地球第一宇宙速度之比为 D．地球绕太阳的周期和火星绕太阳的周期之比为1 2．在2025年9月3日举行的“九三阅兵”式上，“东风﹣61”陆基洲际导弹体现了我国强大的国防实力。若该导弹发射后按如图所示轨迹飞行，先后经历AB段（火箭助推加速上升）、BCD段（脱离大气层后无动力飞行）和DE段（弹头再入大气层后机动滑行），最终命中目标E点。关于弹头在各阶段的运动，下列说法正确的是（　　） A．弹头在B点时的速率等于在C点时的速率 B．弹头在BCD段的飞行轨迹为椭圆的一部分 C．弹头在最高点C处的飞行速度等于第一宇宙速度 D．弹头在DE段大气层滑行的过程所受合力方向始终指向地心 3．如图是中国探月工程的标识，圆月的起笔处如龙头，象征中国航天事业如巨龙腾空，落笔处由一群和平鸽组成，表达了中国和平利用宇宙空间的美好愿望。把地球和月球看成质量均匀分布的球体，已知地球与月球的表面重力加速度之比为p，地球和月球的半径之比为q，下列说法正确的是（　　） A．地球和月球的第一宇宙速度之比等于pq B．地球和月球的第一宇宙速度之比等于 C．地球和月球的平均密度之比等于pq D．地球和月球的平均密度之比等于 4．已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小g随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示。关于P、Q星球，下列说法正确的是（　　） A．质量相同 B．密度相同 C．P、Q第一宇宙速度大小之比为1：3 D．同步卫星距星球表面的高度之比为1：1 5．2025年9月3日，在北京天安门大阅兵上，我国展示了“东风﹣5C”液体洲际战略核导弹，其最具革命性的升级在于分导式多弹头（MIRV）能力。如图所示，若从地面上A点发射一枚导弹，导弹沿ACDB椭圆轨道飞行，最终击中地面目标B。已知CD段为导弹在大气层外关闭发动机后自由飞行的一段轨迹，D点距地面的高度为地球半径的，地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．导弹沿CD段飞行时处于失重状态，不受地球引力作用 B．导弹关闭发动机后的运动可视为斜抛运动 C．导弹在A点的发射速度大于第二宇宙速度 D．导弹在D点的加速度大小为 （多选）6．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空。如图所示，Ⅰ、Ⅱ为天舟九号在变轨过程中两个不同的椭圆轨道，两轨道相切于P点，Q为轨道Ⅱ的远地点，M为轨道Ⅱ上的点，PM和MQ的弧长相等，下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在轨道Ⅱ上从P到M和从M到Q的时间相同 B．天舟九号在轨道Ⅰ上经过P时速度小于地球第一宇宙速度 C．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的速度相同 D．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的加速度相同 （多选）7．胸怀“国之大者，奔赴星辰大海”，我国祝融号已登陆火星并传回了一组火星上的图像。已知火星的直径大约是地球的一半，质量大约是地球的，则（　　） A．火星的平均密度大约是地球的 B．火星的公转周期大约是地球的 C．火星表面的重力加速度是地球的 D．火星的第一宇宙速度是地球的 （多选）8．两颗行星A和B的卫星绕各自行星做匀速圆周运动。如图为卫星的角速度ω与轨道半径r的关系图，图中两图线纵截距的差值b﹣a＝lg9，已知行星B的半径是A的3倍，忽略行星自转和其他星球影响，结合图像数据，下列说法正确的是（　　） A．行星A与B的质量之比为81：1 B．行星A与B表面的重力加速度之比为1：9 C．行星B的第一宇宙速度是A的倍 D．行星A与B的平均密度之比为1：3 模型三 卫星变轨和对接及双星模型 一、卫星的变轨和对接 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 二、双星和多星模型 1.双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2.多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 【例题精讲】 1．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器在预定地点准确着陆，实现世界首次月球背面采样返回。“嫦娥六号”探测器的发射过程可以简化如下：探测器由地面发射后，进入地月转移轨道，在近月点多次变轨，由椭圆轨道变为圆形轨道，圆形轨道离月球表面的高度为H，绕椭圆轨道运动的周期为T，已知月球表面的重力加速度为g月，月球的半径为R。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥六号”在圆形轨道上的运行的周期为 B．“嫦娥六号”的椭圆轨道上的远月点距离月球球心的距离为（R+H） C．“嫦娥六号”在地月转移轨道上经过近月点的加速度比在椭圆轨道上经过该点时的加速度大 D．“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度大于在圆形轨道上运动的速度 2．2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 3．在双星系统的运动平面内，以两天体连线为底作等边三角形，第三个顶点称为“特洛伊点”，在该点处，小物体在两个大物体的万有引力作用下做圆周运动，相对于两大物体保持静止。已知一双星系统距其他天体较远，两星质量均为M，相距为L，有一颗探测器位于“特洛伊点”上，三者在万有引力作用下保持相对静止，探测器质量远小于双星质量，万有引力常量为G，则探测器的速度为（　　） A． B． C． D． 4．中国科学家发现了代号为TMTSJ0526的双星系统，该系统由一颗质量约为0.7MS（MS为太阳质量）的碳氧白矮星与质量约为0.3MS的热亚矮星两颗星体组成。它们的轨道平面几乎与地球的观测平面重合，用望远镜在地球附近观测，发现双星系统的亮度周期性地变暗和变亮，已知两个天体周期性地互相遮挡造成观测的双星系统亮度变化周期是该系统匀速圆周运动周期的一半。某次观测记录该双星系统的亮度随时间t的变化情况如图所示，图中“星等”表示亮度，实线为实验数据经最佳拟合得到的正弦式曲线，虚线所对时刻是曲线上“星等”最小的时刻。已知太阳质量约为，引力常量G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，π2≈10，下列说法正确的是（　　） A．碳氧白矮星和热亚矮星转动的半径之比为7：3 B．该双星系统的运转周期约为600s C．两星体之间的距离约为 D．若多年以后，两星体间的距离逐渐减小，两星体转动的角速度也将减小 5．在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，不考虑其他天体的影响，两者围绕连线上的O点做匀速圆周运动。正确的是（　　） A．黑洞A与B绕行的向心加速度大小相等 B．黑洞A的质量m1大于黑洞B的质量m2 C．若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，两黑洞的绕行周期变小 D．若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，两黑洞的向心加速度变小 6．“千帆星座”是我国“卫星互联网”的核心项目，我国计划2030年突破1.5万颗低空卫星组网，形成全球覆盖能力，实现多方面赋能。其中两颗卫星的运行轨道如图所示，卫星a在圆轨道上运动，卫星b在椭圆轨道上运动，卫星仅受地球对它的万有引力作用。下列说法正确的是（　　） A．两颗卫星在经过P点时的加速度相同 B．卫星a在P点的速度大于卫星b在M点的速度 C．两颗卫星的发射速度均大于地球的第二宇宙速度 D．两颗卫星与地球的连线在任意相同时间内扫过的面积一定相等 7．2025年10月26日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将高分十四号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。如图所示为其发射过程的模拟图。卫星先进入圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，再经椭圆轨道Ⅱ，最终进入圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动，轨道Ⅱ分别与轨道Ⅰ、轨道Ⅲ相切于P、Q两点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的过程中，地球对卫星的引力做正功 B．地球的密度为 C．在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度 D．卫星在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的运行周期 （多选）8．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，我们称之为双星系统.设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RA＜RB，引力常量G已知，则下列说法正确的是（　　） A．星球A的向心力大于星球B的向心力 B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度 C．星球A和星球B的质量之和为 D．双星的总质量一定，若双星之间的距离增大，其转动周期也变大 （多选）9．如图，P、Q、S三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q、S三颗星体的运动线速度大小相等 B．P、Q、S三颗星体中S星的质量最小 C．P、Q、S三颗星体中S星的加速度最小 D．P、Q、S三颗星体中S星所受的合力最小 模型四 天体中的追击问题 一、天体的追及和相遇问题 “天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的. 状态 图示 关系（同向） 最近 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、） （2）圈数关系：－＝n（n＝1、2、3、） 最远 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、） （2）圈数关系：－＝（n＝1、2、3、） 二、近地卫星、同步卫星与地球赤道上的物体的联系与区别 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上的物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r同＞r物＝r近 角速度 由＝mrω2得ω＝，故ω近＞ω同 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω同＝ω物 ω近＞ω同＝ω物 线速度 由＝得v＝，故v近＞v同 由v＝rω得v同＞v物 v近＞v同＞v物 向心加 速度 由＝ma得a＝，故a近＞a同 由a＝rω2得a同＞a物 a近＞a同＞a物 【例题精讲】 1．如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为R1，另一人造卫星01星绕地球圆周运动的轨道半径为R2，且R1＜R2，此时两卫星与地心恰好在一条直线上。已知地球质量为M，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的半径 B．试验卫星线速度小于01星的线速度 C．试验卫星与01星在相同时间内与地心连线扫过的面积之比为 D．若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间，两卫星与地心再次共线 2．2025年2月28日，太阳系中出现了“七星连珠”天文现象。为了解此类现象的周期，天文爱好者利用人工智能来模拟探究地球系统的“三星连珠”（三星位于地球同侧且共线）。如图所示，卫星a、b绕地球做匀速圆周运动的周期分别为19.2h、18h，地球同步卫星的周期为24h（等于1d），则a、b和同步卫星出现“三星连珠”的周期为（三星轨道在同一平面内且环绕方向相同）（　　） A．6d B．8d C．12d D．20d 3．如图甲所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为M绕Q运动的公转周期。则两行星M、N的轨道半径之比为（　　） A．9：1 B．3：1 C．13：1 D．4：1 4．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟九号与空间站对接过程耗时约3小时，若对接完成时空间站在轨道上的位置如图所示。空间站与地球同步卫星的轨道半径的比值约为0.16，对接过程空间站中看到日出的次数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知地球的自转周期为T0，地球同步卫星的轨道半径为R。某卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为，其轨道平面与赤道平面不共面。则该卫星两次经过赤道上某建筑物正上方的时间间隔可能为（　　） A． B． C． D．T0 6．如图所示，卫星A、B均绕地心在同一平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻卫星B与地心连线和卫星A与地心连线的夹角为60°、已知卫星A为地球静止轨道卫星，卫星B的周期约为2h。则从该时刻至两卫星第一次相距最远所需的时间约为（　　） A． B． C． D． 7．2022年9月27日出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学上称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。下列说法正确的是（　　） A．木星运行的向心加速度比地球的大 B．木星运行的周期比地球的小 C．下一次的“木星冲日”发生在2023年 D．下一次的“木星冲日”发生在2024年 （多选）8．2025年4月25日1时17分，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。如图A为中国空间站，B为地球同步卫星，两者运动方向相同。已知中国空间站绕地球的公转周期为90分钟，万有引力常量为G。某时刻两者相距最近，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星的机械能大于中国空间站的机械能 B．地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为 C．若已知两者相距最近时的距离，可求出地球质量 D．地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过96分钟 （多选）9．如图所示，A、B两卫星绕地球沿顺时针方向做匀速圆周运动，A卫星对地球的张角为2α，B卫星对地球的张角为2θ，α＞θ，A卫星做圆周运动的周期为T，关于两卫星绕地球做圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．A、B两卫星做圆周运动的半径之比为 B．A、B两卫星的线速度之比为 C．A、B两卫星的加速度之比为 D．A、B两卫星从第一次相距最近到第二次相距最近的时间间隔为T （多选）10．如图所示，在长为d的机械臂作用下，微型卫星与空间站一起绕地球做匀速圆周运动，微型卫星、空间站、地球始终位于同一直线。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，微型卫星质量为m，空间站轨道半径为r，忽略空间站与卫星之间的万有引力以及机械臂对空间站的作用力。下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大小为R B．微型卫星的线速度大小为 C．机械臂对微型卫星的作用力大小为mgR2[] D．机械臂对微型卫星的作用力大小为mgR2[] 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．2025年8月9日，捷龙三号遥六运载火箭以一箭十一星的方式成功将11颗卫星送入高度600公里、与赤道平面夹角为50°的近地轨道，这些卫星最终分布在该轨道的不同位置。关于这些卫星，下列说法正确的是（　　） A．向心力相同 B．线速度相同 C．周期相同 D．向心加速度相同 2．天舟七号货运飞船为“天宫”空间站完成货物补给，其发射过程简化为：飞船首先进入环绕地球的近地停泊轨道，自停泊轨道B点进入椭圆形转移轨道，在转移轨道上无动力飞行至A点打开发动机进入空间站轨道与空间站对接，忽略飞船在发射过程中质量的变化和运动中所受极其稀薄大气的阻力。下列说法正确的是（　　） A．飞船在停泊轨道的动能小于在空间站轨道的动能 B．飞船在停泊轨道上B点动能小于转移轨道上A点动能 C．飞船在转移轨道无动力飞行时从B点到A点过程中机械能逐渐减小 D．飞船在空间站轨道的机械能大于在停泊轨道的机械能 3．2025年9月6日我国在第三届深空探测（天都）国际会议上提出，拟对某小行星实施“伴飞、撞击、伴飞”的动能撞击防御验证任务：先发射观测器抵近观测，再发射撞击器高速撞击，最后观测器再次围绕小行星观测。已知该小行星可视为质量均匀的球体，半径为R，表面重力加速度为g星，引力常量为G。观测器绕小行星做半径为3R的匀速圆周运动；撞击器正面撞击小行星中心处，且撞击后撞击器完全附着，观测器经过调整后仍然围绕小行星做半径为3R的匀速圆周运动。忽略小行星自转及其他天体引力，下列说法正确的是（　　） A．撞击前小行星的质量为 B．撞击前观测器绕小行星运动的周期为2π C．撞击后观测器的速度变大 D．撞击后观测器的加速度减小 4．嫦娥六号结束月球采样后，上升器从月球表面点火起飞后进入环月圆轨道飞行。上升器与在环月圆轨道Ⅰ上等待的返回器交会对接后，返回器在P点变轨后进入椭圆轨道Ⅱ运行，之后进行月地转移、再入大气层……，圆满完成了任务。下列说法正确的是（　　） A．上升器起飞过程中机械能越来越小 B．返回器在轨道Ⅰ等候时处于受力平衡状态 C．返回器从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P点需要加速 D．返回器在轨道Ⅱ远离P点的过程中加速度越来越大 5．如图所示，在轨运行的天宫空间站与北斗同步轨道卫星均可近似围绕地球做匀速圆周运动。两者相关物理量比较，下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大 B．空间站的周期大 C．北斗卫星的角速度大 D．北斗卫星的加速度大 6．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期T1绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是rP和rQ（rP＜rQ），P有一颗卫星M，以轨道半径rM绕P顺时针以周期T2做匀速圆周运动，已知T1＞T2，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为T2的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 7．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由相距较近的恒星组成，每颗恒星的半径远小于两颗恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们仅在彼此的万有引力作用下，绕某一固定点做匀速圆周运动。如图即为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，二者球心连线的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．A星球的轨道半径为 B．B星球的轨道半径为 C．双星运行的周期为 D．若近似认为A星球固定不动，B星球绕A星球做圆周运动，则B星球的运行周期为 8．天文观测已经确定了月地距离r，以及月地环绕运动的周期T，如图所示。在不考虑宇宙中其他天体影响的情况下，若已知万有引力常量G，可以有两种方案利用r、T、G对这一系统的其他量进行估算：方案一是认为地球不动，月球绕地球做匀速圆周运动；方案二是将地球和月球视作双星系统，它们都绕其连线上某点做匀速圆周运动。则下列说法中错误的是（　　） A．按照方案一，只能估算地球的质量，不能估算地球和月球的总质量 B．按照方案二，只能估算地球和月球的总质量，不能估算地球的质量 C．按照方案一估算的月球速度大于按照方案二估算的月球速度 D．按照方案一估算的月球加速度小于按照方案二估算的月球加速度 2． 多选题（共3小题） （多选）9．2025年4月27日，天链二号05星成功发射，其发射过程可简化如下：卫星先进入半径为r的圆轨道Ⅰ，再经椭圆轨道Ⅱ，最终进入半径为6r的圆轨道Ⅲ。AB为椭圆长轴，不计卫星的质量变化。下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运动的周期之比为 B．卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上运动的线速度之比为 C．卫星在轨道Ⅱ上的机械能大于其在轨道Ⅲ上的机械能 D．卫星在轨道Ⅱ上B点的加速度等于其在轨道Ⅲ上B点的加速度 （多选）10．我国空间站在距离地面约400公里的轨道绕地球做匀速圆周运动，地球的静止轨道卫星距离地面约36000公里。关于静止轨道卫星的描述，下列说法正确的是（　　） A．运行周期大于空间站的运行周期 B．运行速度大于地球的第一宇宙速度 C．加速度小于空间站的加速度 D．静止轨道卫星可能经过文山州正上空 （多选）11．2024年2月25日从中国科学院云南天文台获悉，近期国内多个团队合作，利用清华大学—马化腾巡天望远镜（TMTS），发现了一距离地球2761光年的致密双星系统—TMTSJ0526。已知组成某双星系统的两颗恒星A和B，质量分别为m1和m2（m1＞m2），相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．A和B的向心加速度大小相等 B．A和B的线速度之比为m2：m1 C．A和B的角速度均为 D．A和B的向心力大小均为 三．解答题（共3小题） 12．土卫六号卫星绕土星运行，在距离土星表面高度为h处做匀速圆周运动。已知土星可图丙视为半径为R的均质球体，其表面重力加速度为g，万有引力常量为G。求： （1）土星的质量M； （2）土卫六号绕土星做圆周运动的线速度大小v。 13．如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 （1）求卫星B环绕地球运动的周期； （2）求在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 14．模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。 （1）在研究地球﹣月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球﹣月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为M，月球的质量为m，二者相距L，引力常量为G。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： （a）根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期T1； （b）根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期T2； （2）如图所示，行星绕太阳做椭圆运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点B到太阳中心的距离为rB，已知太阳质量为M，行星质量为m，万有引力常量为G，行星通过B点处的速率为vB，求B点的曲率半径（B点附近的曲线运动可看作圆周运动，该圆周的半径叫曲率半径。） 1 学科网（北京）股份有限公司 $