21.3.3 正方形 同步练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.3.3 正方形（解析版） 知识点1、正方形的性质 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答． 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确， 综上，正确的结论共有4个． 2．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的对角线特征来逐一判断选项即可． 【详解】解：A.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等且垂直，A选项不符合题意； B.正方形的对角线相等且互相垂直平分，B选项符合题意； C.菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，C选项不符合题意． D.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，D选项不符合题意． 故选：B． 3．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格中的度数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 如图：先判定可得，进而得到，由正方形的性质可得，然后求和即可解答． 【详解】解：如图： 根据题意和图形可知可看作两个全等矩形的对角线， ∴， 由图可知， ∴ ∴ ， ∴， ∵可以看作是正方形对角线和边构成的角， ∴ ∴． 故选B． 4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形及菱形的性质，熟练掌握正方形及菱形的性质是解题关键，选项A、C和D是菱形的必然性质，故排除；选项B是菱形不一定具有的，对角线相等是正方形特有而菱形不一定具有的性质据此得出结论． 【详解】解：∵正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等（只有正方形时相等）， ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选：B． 5．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据正方形的性质以及已知条件，根据等角的余角相等，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．过点作，垂足为，根据正方形的性质及角平分线的性质可知，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴， 即点到直线的距离为， 故选：C． 7．如图，平行四边形和正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；由平角的定义求出，由三角形内角和定理求出，再由平行四边形的对角相等即可得出结果. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴(平行四边形对角相等）． 故选：B． 8．如图，有两个正方形、和一个等边三角形，则图中度数为的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，再根据正方形的性质可得，利用角的和差得和等于；再利用四边形内角和为求出，由平角的定义即可得到和等于，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵正方形、， ∴， ∴； ∵， ∴， 故选：D． 9．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 【答案】(1)为直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力． （1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定； （2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长． 【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下： 设正方形的边长为，则． 是的中点， ． 在正方形中， 在中，； 在中，； 在中，， ， 为直角三角形； （2）因为正方形的面积为16， ， ， （负值已舍去）． 10．如图所示，在正方形中，，是上的一点．且．连接．动点从点沿向终点运动，当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，求点运动的路程． 【答案】7或13 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形性质，根据题意，分两种情况讨论，由全等三角形性质得到对应边相等，从而列式求解即可得到答案，熟练掌握三角形全等的性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ①当点在上时， ， ， 由题意可得：； ②当点在上时， ， ， 由题意得：， 当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，点运动的路程为7或13． 知识点2 正方形的判定 1．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．四边都相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形，菱形，矩形的判定，熟练掌握正方形，菱形，矩形的判定是解题的关键；根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴A错误； ∵四边都相等的四边形是菱形，∴B正确； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴C错误； ∵对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴D错误； 故选：B． 2．下列命题中正确的是 （    ） A．四角相等且两边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线和一边的夹角是的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查命题，命题是由题设和结论两部分组成的陈述句，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，熟记正方形的判定是解决问题的关键． 根据特殊平行四边形的判定与性质，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、四角相等的四边形是矩形，再加上两边相等，这两边未明确是对边还是邻边，只要不是邻边相等，该四边形不能判定为正方形，选项命题是错误的，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，选项命题是错误的，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，选项命题是错误的，不符合题意； D、在菱形中，邻边相等，若对角线和一边的夹角是，进而得到有一个内角为，则此菱形是正方形，选项命题是正确的，符合题意； 故选：D． 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 4．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 5．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 6．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握菱形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意利用菱形的性质以及全等三角形的判定先证得，进而证得四边形为正方形． 【详解】证明：四边形为矩形，四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为正方形． 7．如图所示，在中，在，平分，于E．于F，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，角平分线的性质，根据已知可得四边形是矩形，再由角平分线性质可得，由有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出结论． 【详解】证明：∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵平分，，， ∴， ∴矩形是正方形． 8．如图，已知．请用尺规作图法，求作正方形，使得点D是边的中点，在边上，且点G在的内部．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，线段垂直平分线的尺规作图和线段的尺规作图．先作的垂直平分线交于点D，再过点D作于点E，然后在上截取，再分别以D，F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，即可． 【详解】解：如图，正方形即为所求． 理由：由作图得：，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． 9．如图，点分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)选①②或①③，证明见解析 【分析】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定： （1）利用三角形中位线即可证明； （2）选①②：根据四边形为平行四边形，平分，可得四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；选①③：根据四边形为平行四边形，，可得四边形是矩形，再由及三角形中位线的性质可得，从而可证四边形是正方形；选②③：不能证明四边形是正方形． 【详解】（1）分别是的中点， 都是的中位线， ， 四边形为平行四边形； （2）选择①②： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 又∵， 四边形是正方形． 选择①③： 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， 点分别是的中点， 是的中位线， 四边形是正方形． 选②③： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 点分别是的中点， 是的中位线， 故四边形不一定是正方形． 10．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1) ______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图（2），在中，，高，，则的长度是______（直接写出结果不写解答过程）． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3) 【分析】根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； 作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形； 设，根据已知条件得到，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论； 把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，，， ， ． 故答案为； （2）作于，如图所示： ，， ， 四边形是矩形， ，外角平分线交于点， ，， ， 四边形是正方形； 设， ， ， 由得四边形是正方形， ， 在与中， ≌， ， 同理，， 在中，， 即， 解得：， 的长为； （3）如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由得：四边形是正方形，，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、外角平分线性质、矩形与正方形的判定及性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．构造辅助线　，结合垂直关系和角平分线性质证明邻边相等是解题的关键． 11．在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 12．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 13．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，由正方形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是正方形． 【详解】证明：∵正方形的对角线相交于点O， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 14．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)正方形；理由见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： 四边形为矩形， ． ， ， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ． 四边形为正方形． （2）解∶∵四边形为正方形，， ． ， ． ∵是的平分线， ． 在和中， ， ． 1．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又 ， ， ， 四边形是正方形． 2．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． （1）由正方形的性质得出，平分，由角平分线的性质定理得，根据正方形的判定定理即可证明； （2）作于点F．先证是等腰直角三角形，进而证明四边形为矩形，得出，．再证，由全等三角形的性质得出，再由正方形的性质得出，代入即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为其对角线， ∴，平分． 又∵， ∴，． ∴四边形是正方形． （2）解：如图，作于点F． ∵四边形是边长为1的正方形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ． ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 由（1）知四边形是正方形， ∴ ∴， 即 整理得， 其中自变量x的取值范围为． 3．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 4．在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及正方形的面积计算，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得和，即可得出结论； （2）根据正方形的性质可得，再利用正方形的面积公式即可计算出结果． 【详解】（1）解：证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，，D是的中点， ∴在中，，， ∴平行四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知，， 在中，， ． 5．【问题提出】 （1）如图1，菱形的四个顶点、、、分别在正方形的边、、、上，其中．求证：菱形是正方形； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个正方形的游乐场，其中，，为了进一步提高周围居民的生活质量，政府计划对其进行扩建，根据规划要求，游乐场的三个游乐项目、、分别在正方形的边、、上，游乐项目扩建在正方形外，且，．当美食城区域的面积为时，求游乐项目到入口的距离的长度． 【答案】（1）见解析；（2）游乐项目到入口的距离的长度为 【分析】此题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）证明，则，求出，即可证明结论成立； （2）过点作，交的延长线于点，连接，证明四边形为菱形，求出，设，则，得到，求出，即，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 四边形是菱形， ， 在和中，，， ， ， ， ， 菱形为正方形． （2）解：过点作，交的延长线于点，连接， ∴， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， ， ，即， 故游乐项目到入口的距离的长度为． 6．如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【分析】（1）由正方形的性质，结合已知可证明，可得，，从而可得，即可证得结论； （2）由正方形的面积可得边长，根据勾股定理计算，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵正方形的面积为4， ∴，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，菱形的判定，求算术平方根，勾股定理． 7．已知，正方形的边在正方形的边上，延长到H，使，K在边上，且，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形和全等三角形的性质与判定是解题的关键． 根据正方形的性质得出，，，利用全等三角形的判定证明，推出，，推出四边形为菱形，再求出，根据正方形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 8．在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 9．如图，在正方形中，，点是上的一点，连结．过点作，交于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若恰为的中点，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，于点，利用正方形性质推出，并证明四边形是矩形，进而证明，结合全等三角形性质推出，即可证明矩形是正方形； （2）连接，结合正方形性质，以及线段中点特点，推出，再利用勾股定理求出，，由（1）得，设，则，结合勾股定理求出的值，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，作于点，于点． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． （2）解：如图，连接， 为的中点， ， ，， 在中，， ∵四边形是正方形， ， ，即， 解得， ∴， 由（1）得，设，则． ∴， 解得(负值舍去)，即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 10．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． (1)求证：四边形是矩形． (2)若还满足，则四边形的形状为 ． 【答案】(1)见解析 (2)正方形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论； （2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键． 1．推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形．理由见解析；（2），证明见解析；（3）的长为 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形 （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）作于G，根据勾股定理求出，由（2）可得，，进而求出，根据勾股定理计算的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形．理由如下： 由旋转的性质，得， ， ， ∴四边形是矩形． 又， ∴四边形是正方形． （2）．证明如下： 如图①，过点D作于点． ， ． 四边形是正方形， ， ， ． 又， ， ． 将绕点B按顺时针方向旋转得到． 四边形是正方形， ， ， ． （3）如图②，过点D作于点H． 四边形是正方形，． 四边形是正方形， ． 在中，由勾股定理，得， ． 同（2）可得，， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 2．综合与实践 数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图①，已知矩形纸片，其中，． (1)操作判断 将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究发现 将图①的纸片展平，把四边形剪下来，如图②，取边的中点，将沿折叠得到，延长交CD于点N． ①求的长； ②直接写出的周长． 【答案】(1)四边形是正方形，见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质即可证明四边形是正方形； （2）①先证明四边形是矩形，可得，，根据点是边的中点，得，根据勾股定理即可求出 ②连结，由折叠性质可得到，，，然后证明可得到，最后计算的周长为，即可解答； 【详解】（1）解∶四边形是正方形．理由∶ 四边形是矩形， ， 将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处， ，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． （2）①四边形是矩形，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 点是边的中点， ， 在中 ． ②连接， 由折叠性质得∶，，， 为的中点， ， ， 与中， ， 的周长为∶， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．综合与实践 如图1，正方形的对角线与交于点，，两边分别与，交于点，． (1)与的数量关系为______；（直接写出答案） (2)如图2，点是正方形对角线上一点，，经过点，交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在图2的基础上，连接，点是的中点，分别连接，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)是等腰三角形理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质和，证，进而得到直接． （2）方法一：过点作于点，于点，再根据正方形到的性质证明即可解答． 方法二：利用正方形的性质证出，再证，进而根据等角对等边得． （3）利用直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】（1）解：； 证明：∵四边形是正方形 ∴∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∠AOB=90° ∵ ∴∠AOE=∠BOF ∴（ASA） （2）解：方法一： ，理由如下： 过点作于点，于点 ∵四边形是正方形∴，，平分， ∴， ∵，∴ ∴ ∵∴ ∴ 在和中， ∴ ∴． 在和中， ∴∴ ∴ 方法二：，理由如下： 在正方形中，，，平分 ∴ 在和中， ∴ 在四边形中，， ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：是等腰三角形理由如下： 在中，点是的中点，∴ 在中，点是的中点，∴ ∴ ∴是等腰三角形 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，数量掌握相关知识是解本题的关键． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.3.3 正方形 知识点1、正方形的性质 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 3．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 5．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（   ） A．2 B． C．3 D． 7．如图，平行四边形和正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，有两个正方形、和一个等边三角形，则图中度数为的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 10．如图所示，在正方形中，，是上的一点．且．连接．动点从点沿向终点运动，当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，求点运动的路程． 知识点2 正方形的判定 1．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．四边都相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是正方形 2．下列命题中正确的是 （    ） A．四角相等且两边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线和一边的夹角是的菱形是正方形 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 6．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 7．如图所示，在中，在，平分，于E．于F，求证：四边形是正方形． 8．如图，已知．请用尺规作图法，求作正方形，使得点D是边的中点，在边上，且点G在的内部．（保留作图痕迹，不写作法） 9．如图，点分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 10．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1) ______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图（2），在中，，高，，则的长度是______（直接写出结果不写解答过程）． 11．在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 12．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 13．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 14．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 1．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 2．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 3．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 4．在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 5．【问题提出】 （1）如图1，菱形的四个顶点、、、分别在正方形的边、、、上，其中．求证：菱形是正方形； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个正方形的游乐场，其中，，为了进一步提高周围居民的生活质量，政府计划对其进行扩建，根据规划要求，游乐场的三个游乐项目、、分别在正方形的边、、上，游乐项目扩建在正方形外，且，．当美食城区域的面积为时，求游乐项目到入口的距离的长度． 6．如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 7．已知，正方形的边在正方形的边上，延长到H，使，K在边上，且，求证：四边形为正方形． 8．在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 9．如图，在正方形中，，点是上的一点，连结．过点作，交于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若恰为的中点，请求出的长． 10．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． (1)求证：四边形是矩形． (2)若还满足，则四边形的形状为 ． 1．推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 2．综合与实践 数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图①，已知矩形纸片，其中，． (1)操作判断 将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究发现 将图①的纸片展平，把四边形剪下来，如图②，取边的中点，将沿折叠得到，延长交CD于点N． ①求的长； ②直接写出的周长． 3．综合与实践 如图1，正方形的对角线与交于点，，两边分别与，交于点，． (1)与的数量关系为______；（直接写出答案） (2)如图2，点是正方形对角线上一点，，经过点，交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在图2的基础上，连接，点是的中点，分别连接，．判断的形状，并说明理由． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $