专题6.4 二项式定理（15类考点）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选修第三册

专题6.4 二项式定理 【知识梳理】 1 【考点1：二项展开式与通项】 4 【考点2：根据二项式的第k项求值】 5 【考点3：多项式的展开式】 5 【考点4： 求指定项的二项式系数】 5 【考点5：二项式系数的增减性和最值】 6 【考点6： 二项式的系数和】 7 【考点7：求指定项的系数】 7 【考点8：求有理项或其系数】 8 【考点9：由项的系数确定参数】 10 【考点10：二项展开式各项的系数和】 10 【考点11： 求系数最大（小）的项】 11 【考点12： 奇次项与偶次项的系数和】 13 【考点13： 三项展开式的系数问题】 14 【考点14： 两个二项式乘积展开式的系数问题 】 14 【考点15： 由二项展开式各项系数和求参数】 15 【知识梳理】 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2； (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　 注：求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤： 注：赋值法在求各项系数和中的应用： (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　　 2．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 注：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下： 思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 3．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【考点1：二项展开式与通项】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 3．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）求的二项展开式． 5．（25-26高二·全国·课堂例题）求的展开式； 【考点2：根据二项式的第k项求值】 1．（24-25高三下·陕西·月考）在的展开式中，的系数为84，则_____________． 2．（25-26高三上·广东·月考）若的展开式中第4项为160，则__________. 3．（25-26高三上·上海·月考）在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为______.（用数字作答） 4．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 _____. 5．（25-26高三上·四川眉山·月考）将个班分别从个景点中选择一处游览，共有种不同的选法，则在的展开式中，含项的系数为__________. 【考点3：多项式的展开式】 1．（24-25高二下·河北沧州·月考）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）的展开式的常数项为（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期中）的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖南湘潭·期末）在的展开式中常数项等于_______. 【考点4： 求指定项的二项式系数】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 3．（25-26高三上·天津和平·月考）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（   ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________. 5．（25-26高三上·四川德阳·月考）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 【考点5：二项式系数的增减性和最值】 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 3．（25-26高二上·江西景德镇·期末）的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数最大的项为___________． 5．（25-26高三上·山东青岛·期末）的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 【考点6： 二项式的系数和】 1．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 2．（25-26高二下·全国·课后作业）二项式的奇数项二项式系数和是64，则等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高三下·云南昆明·月考）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ） A．243 B．81 C．64 D．32 4．（多选）（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知展开式中各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．展开式中所有项的系数之和为64 C．展开式中的常数项是 D．展开式中含的项是 5．（25-26高三上·四川成都·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【考点7：求指定项的系数】 1．（25-26高二上·北京·期中）在的展开式中，的系数等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．（25-26高三上·河南商丘·期末）的展开式中的常数项为（    ） A．112 B．56 C． D． 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）的二项展开式中，第四项的系数是（    ） A． B．560 C．84 D． 4．（2026·陕西·模拟预测）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 5．（25-26高三下·辽宁·开学考试）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【考点8：求有理项或其系数】 1．（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为15 B．各项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项的系数和为16 2．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 3．（25-26高二上·山东东营·期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． (1)求； (2)求展开式中所有的有理项． 4．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是7∶2. (1)求； (2)求展开式中所有的有理项. 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【考点9：由项的系数确定参数】 1．（25-26高三上·河南漯河·期末）的展开式中的系数为720，则__________. 2．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为10，则的值为_______. 3．（2026·湖南常德·一模）的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________. 4．（25-26高三上·陕西西安·期末）在的展开式中，若第4项的系数为280，则______. 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）的展开式中的系数为49，则的值为______． 【考点10：二项展开式各项的系数和】 1．（2026·福建龙岩·一模）设，则（    ） A．1 B．2 C．31 D．32 2．（多选）（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）关于的展开式，下列结论正确的是（   ） A．展开式共7项 B．所有项的二项式系数之和为64 C．常数项为540 D．所有项的系数之和为64 3．（多选）（25-26高三上·河北衡水·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 4．（多选）（25-26高二下·江西赣州·开学考试）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 5．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点11： 求系数最大（小）的项】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 2．（多选）（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（     ） A． B．的展开式中的系数为3 C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 3．（25-26高二上·上海浦东新·期末）的二项展开式中系数最大的项是__________. 4．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在的展开式中，求： (1)常数项； (2)二项式系数最大的项； (3)展开式中所有项的系数和. 5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数绝对值的和； (3)求展开式中系数最大的项． 【考点12： 奇次项与偶次项的系数和】 1．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知，则的值为________．（用数字作答） 2．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）记，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·广东广州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． 4．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．除以2的余数为1 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 【考点13： 三项展开式的系数问题】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（山东聊城市2026届高三下学期高考模拟试题数学（一））的展开式中的系数是____________． 3．（2026高三·全国·专题练习）在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 4．（2026高二·全国·专题练习）的展开式中，的系数为______ 5．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 【考点14： 两个二项式乘积展开式的系数问题 】 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）若，则（   ） A．8 B． C．2 D．42 2.（多选）（2026·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北衡水·期末）的展开式中的系数为__________. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中的系数是________． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【考点15： 由二项展开式各项系数和求参数】 1．（2026高三·北京·专题练习）已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 2．（多选）（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 3．（多选）（25-26高三上·湖南邵阳·月考）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（    ） A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64 C．常数项为135 D．常数项为-135 4．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数________． 5．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 二项式定理 【知识梳理】 1 【考点1：二项展开式与通项】 4 【考点2：根据二项式的第k项求值】 5 【考点3：多项式的展开式】 7 【考点4： 求指定项的二项式系数】 9 【考点5：二项式系数的增减性和最值】 11 【考点6： 二项式的系数和】 13 【考点7：求指定项的系数】 15 【考点8：求有理项或其系数】 17 【考点9：由项的系数确定参数】 20 【考点10：二项展开式各项的系数和】 22 【考点11： 求系数最大（小）的项】 24 【考点12： 奇次项与偶次项的系数和】 29 【考点13： 三项展开式的系数问题】 32 【考点14： 两个二项式乘积展开式的系数问题 】 34 【考点15： 由二项展开式各项系数和求参数】 36 【知识梳理】 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2； (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　 注：求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤： 注：赋值法在求各项系数和中的应用： (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　　 2．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 注：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下： 思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 3．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【考点1：二项展开式与通项】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】的展开式中的第4项为. 故选：A. 2．（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出通项，进而计算第四项即可； 【详解】二项式的通项为， 则． 故选：A. 3．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 【答案】 24 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）求的二项展开式． 【答案】 【分析】法一：直接利用二项式定理展开并化简；法二：先化简再利用二项式定理展开． 【详解】法一： ， 法二： ， ， ． 5．（25-26高二·全国·课堂例题）求的展开式； 【答案】 【分析】法一、法二，由二项式定理即可求解； 【详解】方法一： ． 方法二： ． 【考点2：根据二项式的第k项求值】 1．（24-25高三下·陕西·月考）在的展开式中，的系数为84，则_____________． 【答案】7 【分析】先求出通项公式，再结合已知条件建立等量关系求解即可. 【详解】由题意知二项式展开式通项公式为， 又因为的系数为84，所以， 所以. 故答案为：7. 2．（25-26高三上·广东·月考）若的展开式中第4项为160，则__________. 【答案】 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 3．（25-26高三上·上海·月考）在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为______.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意求得二项展开式的通项，结合展开式中的第四项为常数项求得的值，进而求解常数项. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 可得展开式的第四项为， 因为二项展开式的第四项为常数项，所以，解得. 该常数项为. 故答案为： 4．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 _____. 【答案】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合展开式中的第 4 项为常数项，进而求得的值. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 可得展开式的第4项为， 因为二项展开式的第4项为常数项，所以，解得. 故答案为：. 5．（25-26高三上·四川眉山·月考）将个班分别从个景点中选择一处游览，共有种不同的选法，则在的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】 【分析】根据题意求出的值，利用二项展开式的通项求解即可得到结果. 【详解】由题意得：. 在的二项展开式中，通项为， 由得，该项为，含项的系数为. 故答案为：. 【考点3：多项式的展开式】 1．（24-25高二下·河北沧州·月考）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式求解即得. 【详解】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为： ， 所以x的系数为． 故选：A 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 【答案】A 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项只含有1个字母时，有3项， 当展开式的项只含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， ∴的展开式共有45项. 故选:A． 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）的展开式的常数项为（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先根据二项展开式通项公式求含系数，再根据多项式法则求常数项. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 令，则， 所以的展开式的常数项为. 故选：D. 【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期中）的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中将看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令的指数为0，即可求解. 【详解】，展开式通项为 ， 令，当时， 为常数项即. 故选:A. 【点睛】本题考查二项展开式求特定项，解题关键要求出通项，属于中档题. 5．（24-25高二下·湖南湘潭·期末）在的展开式中常数项等于_______. 【答案】16 【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案. 【详解】因为展开式的通项为，， 的展开式中常数项由两项构成， 即与， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：16. 【考点4： 求指定项的二项式系数】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 3．（25-26高三上·天津和平·月考）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（   ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 【答案】C 【分析】利用二项式的展开式中系数的规律及二项式展开式的通项公式即可解出. 【详解】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以， 设展开式第项为常数项，则， ， ， 该二项式的展开式中常数项为， 故选：C. 4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________. 【答案】6 【分析】利用二项式系数的性质求解. 【详解】由题得，所以， 故答案为：. 5．（25-26高三上·四川德阳·月考）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 【答案】60 【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解. 【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等， ，，则的展开式中的通项为： ，令，解得， 故该展开式中的系数为 故答案为：60 【考点5：二项式系数的增减性和最值】 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质确定二项展开式的项数即可求得答案. 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 【答案】D 【分析】结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 3．（25-26高二上·江西景德镇·期末）的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据的二项式系数最大为再计算二项系数最大项. 【详解】的二项展开式中二项系数最大为， 所以二项展开式中二项系数最大的项是和. 故选：C. 4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数最大的项为___________． 【答案】 【分析】利用二项式性质确定二项式系数最大的项为第5项，再利用二项式定理求出展开式的通项，进而求解即可. 【详解】由二项式性质得的展开式中二项式系数最大的项为第5项， 由二项式定理得的展开式通项为，， 令，解得，则第5项为. 故答案为： 5．（25-26高三上·山东青岛·期末）的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 【答案】 【分析】利用二项式系数的性质以及二项展开式的通项公式可得答案. 【详解】二项式 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， 二项式系数最大值出现在中间项， 当 为偶数时，最大项为第 项， 因此有 ，解得 ， 展开式的通项公式为： 令 ，解得 ， 代入通项，得系数为： 因此，展开式中 的系数为 . 故答案为： 【考点6： 二项式的系数和】 1．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）二项式的奇数项二项式系数和是64，则等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二项式的系数和性质求解. 【详解】二项式的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， ，． 故选：C． 3．（25-26高三下·云南昆明·月考）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ） A．243 B．81 C．64 D．32 【答案】B 【分析】根据二项式系数和公式求出，再利用赋值法求各项系数的和. 【详解】因为二项式系数的和是16，所以，解得， 令得展开式中各项系数的和为. 故选：B. 4．（多选）（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知展开式中各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．展开式中所有项的系数之和为64 C．展开式中的常数项是 D．展开式中含的项是 【答案】ABD 【分析】由，求得，再由二项式定理通项公式，和赋值法逐项判断即可. 【详解】由题意可得，解得，A正确. 令，得，B正确. 展开式的通项. 令，得，则，C错误. 令，得，则，D正确. 故选：ABD 5．（25-26高三上·四川成都·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 【考点7：求指定项的系数】 1．（25-26高二上·北京·期中）在的展开式中，的系数等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】求出的展开式的通项公式，令求得，再代入通项公式求解对应的系数即可. 【详解】因为的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 所以的系数为. 2．（25-26高三上·河南商丘·期末）的展开式中的常数项为（    ） A．112 B．56 C． D． 【答案】A 【详解】由二项式，得， 令，得， 于是展开式中的常数项为. 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）的二项展开式中，第四项的系数是（    ） A． B．560 C．84 D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式直接求解即可． 【详解】根据二项式展开式，可知第四项为， 所以第四项的系数是． 4．（2026·陕西·模拟预测）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出含的项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42. 故选：B 5．（25-26高三下·辽宁·开学考试）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】要计算的展开式中的系数，只需利用二项式定理分析两个二项式的展开式，组合得到的项即可得到的系数. 【详解】①取常数项得取项得，乘积系数为80； ②取项得取常数项得，乘积系数为. 将以上结果相加得. 故答案为： 【考点8：求有理项或其系数】 1．（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为15 B．各项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项的系数和为16 【答案】AC 【分析】应用二项式的通项公式计算求解A，结合组合数公式计算判断D，应用系数和计算判断B，应用二项式系数性质判断C. 【详解】的展开式通项为． 当时，常数项为，故A正确； 令，得各项的系数和为，故B错误； 展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故C正确； 有理项指指数为整数的项，即奇数项，其系数和为，故错误． 故选：AC． 2．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 3．（25-26高二上·山东东营·期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． (1)求； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）由题知，解方程即可求得答案； （2）写出二项展开式通项，令的指数为整数，求出参数的值，代入通项即可得解 【详解】（1）解：因为展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是 所以，即， 整理得，解得或（舍） 所以 （2）解：由（1）知，展开式的通项公式为： ， 令，则，即展开式的第1,3,5项为有理项， ，， 所以展开式中的有理项有：，， 4．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是7∶2. (1)求； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用二项式系数和组合数公式可得出关于的方程，即可解得的值； （2）写出二项展开式通项，令的指数为整数，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】（1）第5项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， ，解得或（舍去）. （2）由（1）可知，展开式为， 令，则， 故第2项，第4项，第6项，第8项，第10项为有理项， 它们分别为， . 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）求得展开式的通项，结合题意，列出方程，即可求解； （2）由（1）中展开式的通项，令，求得，代入计算，即可求解； （3）由（1）中展开式的通项，令，求得，结合，得到为偶数，分别确定和的值，代入计算，即可求解. 【详解】（1）由二项式展开式的通项为， 因为第6项为常数项，即当时，，解得． （2）由（1）知：展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中含的项为． （3）由（1）知：展开式的通项为，其中， 令，可得，即， 因为，所以为偶数， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 当时，可得，此时， 所以展开式的第3项，第6项与第9项为有理项，分别为，，． 【考点9：由项的系数确定参数】 1．（25-26高三上·河南漯河·期末）的展开式中的系数为720，则__________. 【答案】2 【分析】由二项式展开式的通项公式结合题意即可求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以当时，展开式中的系数为. 故答案为：2 2．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为10，则的值为_______. 【答案】2 【分析】写出的二项式展开通项，得到项的系数，根据题意，可得的方程，即可求解. 【详解】二项式的展开式的第项为， 令，解得， 所以的系数为，解得. 故答案为：. 3．（2026·湖南常德·一模）的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________. 【答案】1 【分析】根据二项展开式通项，结合的系数求解即可. 【详解】展开式的通项公式， 令，得，依题意有，解得. 故答案为：1 4．（25-26高三上·陕西西安·期末）在的展开式中，若第4项的系数为280，则______. 【答案】2 【分析】先求出通项，然后代入即可. 【详解】的展开式的通项为，则第4项的系数为，解得. 故答案为：. 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）的展开式中的系数为49，则的值为______． 【答案】2 【分析】先求出展开式的通项公式，再根据通项公式求出展开式中的系数，进而求得的值. 【详解】因为的二项展开式为， 令，可得； 令，可得； 可得， 所以，解得：． 故答案为：2． 【考点10：二项展开式各项的系数和】 1．（2026·福建龙岩·一模）设，则（    ） A．1 B．2 C．31 D．32 【答案】C 【分析】利用赋值法即可求解系数和. 【详解】令得：， 令得：， 所以. 2．（多选）（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）关于的展开式，下列结论正确的是（   ） A．展开式共7项 B．所有项的二项式系数之和为64 C．常数项为540 D．所有项的系数之和为64 【答案】ABD 【分析】根据二项式展开式的项的特征得出A，由二项式系数和项的系数之和的计算公式判断B、D，再利用通项公式判断C. 【详解】对于A，因为，所以展开式共有7项，故A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项公式为，， 令，解得，此时常数项为，故C错误； 对于D，令，则所有项的系数和为，故D正确． 3．（多选）（25-26高三上·河北衡水·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 【答案】BD 【分析】由二项式展开的项数为，可判断A；求出二项式系数和为，可判断B；利用赋值法求出所有项的系数和，可判断C；求出第3项，可判断D. 【详解】对于A，因为，所以展开后共有7项，故A错误； 对于B，由题意可知二项式系数和为，故B正确； 对于C，令，则所有项的系数和，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：BD. 4．（多选）（25-26高二下·江西赣州·开学考试）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 【答案】ABD 【分析】通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 5．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 【考点11： 求系数最大（小）的项】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 【答案】C 【分析】先根据系数比列式计算得出，再应用系数为实数及系数最大得出即可求解. 【详解】． 由，得， 所以， 又， 据此可知当时系数为实数， 实数系数分别为， ，， ， ，， 经比较可知最大值为210，此时，对应第五项. 故选：C． 2．（多选）（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（     ） A． B．的展开式中的系数为3 C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 【答案】BCD 【分析】根据二项式展开式的概念，根据常数项求出参数值，写出二项式的展开式，进而逐一判断各选项正误. 【详解】二项式的展开式的第项为， 当时，即时，可得，解得，所以A错误； 可得二项式， 展开式中的系数为3，所以B正确； 各项系数之和为，二项式系数之和为，所以C正确； 可知展开式中系数最大的项为第2项或第3项，所以D正确； 故选：BCD. 3．（25-26高二上·上海浦东新·期末）的二项展开式中系数最大的项是__________. 【答案】或 【分析】写出展开式的通项，设第项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得的值，代入通项即可求得系数最大的项. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 设展开式第项的系数最大， 则，即，解得， 又，或，展开式中系数最大的项为或. 故答案为：或. 4．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在的展开式中，求： (1)常数项； (2)二项式系数最大的项； (3)展开式中所有项的系数和. 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）根据二项式的性质写出通项公式，即可求出常数项. （2）二项式系数最大的项即中间项，利用通项法求解. （3）利用赋值法即可. 【详解】（1）展开式中第项， 因为是常数项，即， 所以，解得， 代入得常数项. （2）因为，展开式有9项， 所以二项式系数最大是第5项，该项为； （3）令，代入原式，得到的就是“所有项的系数和”， 即 ， 即展开式中所有项的系数和为. 5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数绝对值的和； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项式的展开式的通项公式可得答案； （2）将二项式中负号改为正号后，再令 可得答案； （3）利用数列最大项的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）所有项的系数之和可以通过令 来得到： ， 根据题意：， 解得：. 二项式的展开式通项公式为 令指数 ，解得 ， 常数项系数为 所以展开式中的常数项为 . （2）对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，其绝对值为 ， 所有项的系数绝对值的和为： 构造二项式 ，其展开式为： 代入 ，得： ， 因此，. 所以展开式中所有项的系数绝对值的和为 . （3）对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，由于负系数小于正系数，系数最大的项必为正系数， 因此只需考虑偶数 ，记 （ 为偶数）， 设展开式中系数最大的项的系数为（ 为偶数）， 则，即， 化简得：， 整理得：， 又因为 为偶数， 所以只有满足上式， 所以 最大值出现在 处。计算： 对应项为： 【考点12： 奇次项与偶次项的系数和】 1．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知，则的值为________．（用数字作答） 【答案】121 【分析】由二项式展开式的通项公式得出系数的代数计算公式即可求出得解. 【详解】二项式展开式的通项公式为，所以， 故，，， 所以. 2．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过赋值法，分别令，，，进而可求解. 【详解】对于， 令，可得. 令，可得①， 令，可得②， ①+②得， 即1. 3．（多选）（2026·广东广州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． 【答案】ABD 【分析】应用二项式展开式通项公式计算判断A，B，C，再应用赋值法计算判断D. 【详解】对于，故，故A正确； 对于，故B正确； 对于C，的展开式中含项的系数为， 而，显然二者不相等，故C错误； 对于， 所以，即，故D正确． 4．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．除以2的余数为1 【答案】ABD 【分析】根据二项式定理直接计算判断A；令直接求解判断B；令，结合时的情况，求得，再根据求解判断C；直接计算判断D. 【详解】对于A选项，根据二项式定理可知，，故正确； 对于B选项，令得，故正确； 对于C选项，令得；令得， 两式相加得：，即， 令得，所以，故错误； 对于D选项，，除以2的余数为1，故正确. 故选：ABD 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 【答案】(1)4096 (2)2048 (3)2048 (4)4096 (5)16777216 (6) 【分析】（1）利用二项式系数的性质即可求解； （2）利用二项式系数的性质即可求解； （3）利用二项式系数的性质即可求解； （4）令，得各项系数和； （5）令，得各项系数的绝对值和； （6）令，即可求解. 【详解】（1）各项二项式系数和为． （2）奇数项二项式系数和为. （3）偶数项二项式系数和为. （4），令，得各项系数和为4096． （5）令，得各项系数的绝对值和为. （6）令奇数项系数和为，偶数项系数和为． 令得；令得． ，． 所以奇数项系数和为 8390656 ，偶数项系数和为 −8386560. 【考点13： 三项展开式的系数问题】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，然后可得答案. 【详解】的通项公式， 令，则，所以的系数为 故选：B 2．（山东聊城市2026届高三下学期高考模拟试题数学（一））的展开式中的系数是____________． 【答案】 【详解】表示5个因式的乘积， 的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1， 此时的系数为， 的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1， 此时的系数为， 所以展开式中的系数为. 3．（2026高三·全国·专题练习）在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 【答案】264 【分析】先化简，再应用二项式展开式结合组合数计算求解. 【详解】因为，所以展开式中的系数是． 故答案为：264. 4．（2026高二·全国·专题练习）的展开式中，的系数为______ 【答案】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 【答案】 【分析】根据多项式乘积的性质即可求解． 【详解】由于表示5个因式的乘积， 故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项， 故展开式中含的项为，其系数为. 故答案为：． 【考点14： 两个二项式乘积展开式的系数问题 】 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）若，则（   ） A．8 B． C．2 D．42 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式含的项为， 所以. 故选：B 2.（多选）（2026·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可；C：利用赋值法进行求解即可；D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可. 【详解】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC 3．（25-26高三上·河北衡水·期末）的展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】将原式化简得到，得到的通项为，再分别当 ， 时，两种情况讨论即可. 【详解】， 其中的通项为， 当 时，，乘以 ，得到的系数为5； 当 时，，乘以 ，得到的系数为 ； 所以的展开式中的系数为 . 故答案为：. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中的系数是________． 【答案】-3 【分析】法一：将与的展开式通项分别表示出来，再求解展开式中的系数即可 法二：与相乘，得到，再求解即可. 【详解】法一：（双通项法）的展开式的通项为，的展开式的通项为， 则的展开式的通项为，其中，．令， 得，于是的展开式中的系数等于. 法二：， 于是的展开式中的系数为． 故答案为：-3. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解． 【详解】， 的展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以项的系数是． 故答案为：． 【考点15： 由二项展开式各项系数和求参数】 1．（2026高三·北京·专题练习）已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 【答案】D 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为展开式中二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 又因为的展开式中各项系数之和为243， 令可得，解得，即二项式为， 其展开式的通项公式为，， 令，可得1，所以展开式中的系数是. 2．（多选）（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 【答案】BC 【分析】应用赋值法计算求出参数，再求解二项式系数和判断A，应用系数最大计算判断B，应用通项公式计算得出常数项及有理项判断C，D. 【详解】对于A，二项式的展开式的各项系数之和为， 由已知，， 故有或（舍去）， 二项式的奇数项的二项式系数和为，故A错误； 对于B，通项公式为，故当时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确； 对于C，令，求得，可得该二项式存在常数项，故C正确； 对于D，令为整数，可得，故该二项式存在6个有理项，故D错误， 故选:BC. 3．（多选）（25-26高三上·湖南邵阳·月考）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（    ） A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64 C．常数项为135 D．常数项为-135 【答案】ABC 【分析】利用已知条件求出的值，再利用二项展开式的性质和通项逐个判断选项. 【详解】令，得各项系数和为，又二项式系数和为， 所以，解得， 所以，故AB正确； 展开式的通项公式为， 令，求得，故常数项为，故C正确，D错误； 故选：ABC. 4．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数________． 【答案】1或 【分析】由展开式的通项求得常数项，即，利用赋值法，令，得，求解可得实数的值. 【详解】的展开式的通项为， 令，得其常数项为，所以. 令，得，即， 所以，所以或． 故答案为：或． 5．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）通过赋值法，结合已知条件列方程，求解的值. （2）（i）先由二项式系数之和的性质求出，再利用二项展开式的通项公式写出的表达式，列方程求解的值. （ii）根据是展开式中最大的系数，列出不等式，解不等式得到的取值范围. 【详解】（1）令，则， 令，则， 所以，故. （2）由二项式系数之和为，得，解得. （i）为展开式中的系数，即. 计算，故，得，即. （ii）当时，展开式中第项的系数为（）. 计算相邻两项系数的比值：，， 要使（），需为系数序列的最大值，满足： ①.序列递增到：对，，即， 此时对，，故，满足. ②.序列递减自：对，，即， 此时对，，故，满足. 综上所述，的取值范围是. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $