8.1 基本立体图形 第二课时　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版数学必修第二册 第八章|立体几何初步 8.1 基本立体图形 第二课时　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征 明确目标 发展素养 1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． 2.了解简单组合体的概念，了解简单组合体的两种基本构成形式. 1.通过对圆柱、圆锥、圆台、球以及简单组合体的认识，培养直观想象、数学抽象素养． 2.通过用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征，培养逻辑推理、直观想象素养. 知识点一　圆柱、圆锥、圆台 (一)教材梳理填空 1．圆柱的结构特征： 圆柱及相关概念 图形及表示 定义 以 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 相关 概念 轴： 叫做圆柱的轴； 底面： 的边旋转而成的圆面； 侧面： 的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置， 都叫做圆柱 侧面的母线； 柱体： 统称为柱体 图中的圆柱记作： [微思考]　圆柱有多少条母线？它们有什么关系？ 提示：圆柱有无数条母线，它们平行且相等． 2．圆锥的结构特征： 圆锥及相关概念 图形及表示 定义 以 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中的圆锥记作： 相关 概念 轴： 叫做圆锥的轴； 底面： 的边旋转而成的圆面； 侧面： 旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置， 都叫做圆锥侧面的母线； 锥体： 统称为锥体 3.圆台的结构特征： 圆台及相关概念 图形及表示 定义 用平行于 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中的圆台记作： 相关 概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和 ； 侧面：圆锥的侧面在 之间的部分； 母线：圆锥的母线在 之间的部分； 台体： 统称为台体 [微思考]　连接圆柱(圆台)上、下底面圆周上各一点构成的线段，是否一定为母线？ (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱． ( ) (2)圆锥有无数条母线，它们的公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ( ) (3)圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点． ( ) 2．下列图形中是圆柱的是 (　　) 3．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是 (　　) A．直角三角形　　　　　　 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 知识点二　球的结构特征 (一)教材梳理填空 球及相关概念 图形及表示 定义 半圆以它的 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的 叫做球面， 所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球记 作： 相关 概念 球心：半圆的 叫做球的球心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 直径：连接球面上两点并且经过 的线段叫做球的直径 　[微思考]　球和球面有何区别？ (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)球的直径必过球心． ( ) (2)球能由圆面旋转而成． ( ) (3)用一个平面去截球，得到的截面是一个圆． ( ) 2．给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 其中正确说法的序号是________． 知识点三　简单组合体的结构特征 (一)教材梳理填空 1．简单组合体的定义： 由 组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的两种基本形式： (1)由简单几何体拼接而成； (2)由简单几何体截去或挖去一部分而成． (二)基本知能小试 1．如图，日常生活中常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是 (　　) A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱 C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱 2．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的 (　　) 题型一　旋转体的结构特征 【学透用活】 准确认识旋转体的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转 “平面” 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转 “轴” 矩形的一边所在直线 以直角三角形的一条直角边所在直线 以直角梯形的直角腰所在直线 以半圆的直径所在直线 [典例1]　下列说法正确的是 (　　) A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面 B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥 C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱 D．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 【对点练清】 下列命题正确的是 (　　) A．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线 B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直 角三角形 D．用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台 题型二　简单组合体的结构特征 【学透用活】 [典例2]　如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的 (　　) 【对点练清】 1．若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征． 2．描述下列几何体的结构特征． 题型三　旋转体的有关计算 【学透用活】 [典例3]　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是4 cm，求圆台O′O的母线长． 【对点练清】 1．若将本例中的条件变为“已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm,2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm”，则圆台的母线长为________． 2.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁， 现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是 多少？ 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．如图所示的图形中有 (　　) A．圆柱、圆锥、圆台和球　 B．圆柱、球和圆锥 C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球 2．用平面截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是 (　　) A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 3.如图所示的组合体的结构特征是 (　　) A．一个棱柱中截去一个棱柱 B．一个棱柱中截去一个圆柱 C．一个棱柱中截去一个棱锥 D．一个棱柱中截去一个棱台 4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为 (　　) A．4 B．3 C．2 D．2 5．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体是(　　) A．一个球　　　　　　　 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 6．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________．(填序号) 7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm，该圆台的轴截面的面积为________cm2. 8．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的． 层级(二)　能力提升练 1．(多选)下列说法正确的是 (　　) A．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 B．一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面 C．旋转体的截面图形都是圆 D．圆锥的侧面展开图是一个扇形 2．(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm. 3．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长． 4．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 层级(三)　素养培优练 1．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________． 2．一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x的内接圆柱． (1)用x表示圆柱的轴截面面积S； (2)当x为何值时，S最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版数学必修第二册 第八章|立体几何初步 8.1 基本立体图形 第二课时　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征 明确目标 发展素养 1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． 2.了解简单组合体的概念，了解简单组合体的两种基本构成形式. 1.通过对圆柱、圆锥、圆台、球以及简单组合体的认识，培养直观想象、数学抽象素养． 2.通过用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征，培养逻辑推理、直观想象素养. 知识点一　圆柱、圆锥、圆台 (一)教材梳理填空 1．圆柱的结构特征： 圆柱及相关概念 图形及表示 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱 侧面的母线； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 图中的圆柱记作：圆柱O′O [微思考]　圆柱有多少条母线？它们有什么关系？ 提示：圆柱有无数条母线，它们平行且相等． 2．圆锥的结构特征： 圆锥及相关概念 图形及表示 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中的圆锥记作：圆锥SO 相关 概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线； 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 3.圆台的结构特征： 圆台及相关概念 图形及表示 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中的圆台记作：圆台OO′ 相关 概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 [微思考]　连接圆柱(圆台)上、下底面圆周上各一点构成的线段，是否一定为母线？ 提示：不一定．连接圆柱(圆台)上、下底面圆周上两点的线段不一定在侧面上，因此不一定是母线． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱． (×) (2)圆锥有无数条母线，它们的公共点即圆锥的顶点，且长度相等． (√) (3)圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点． (×) 2．下列图形中是圆柱的是 (　　) 答案：B 3．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是 (　　) A．直角三角形　　　　　　 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案：B 知识点二　球的结构特征 (一)教材梳理填空 球及相关概念 图形及表示 定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球记 作：球O 相关 概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 　[微思考]　球和球面有何区别？ 提示：球与球面是两个完全不同的概念，球不仅包括球的表面，同时还包括球面所围的空间，它是一个“实心”的几何体，而球面仅指球的表面． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)球的直径必过球心． (√) (2)球能由圆面旋转而成． (√) (3)用一个平面去截球，得到的截面是一个圆． (×) 2．给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 其中正确说法的序号是________． 答案：①③ 知识点三　简单组合体的结构特征 (一)教材梳理填空 1．简单组合体的定义： 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的两种基本形式： (1)由简单几何体拼接而成； (2)由简单几何体截去或挖去一部分而成． (二)基本知能小试 1．如图，日常生活中常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是 (　　) A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱 C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱 答案：B 2．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的 (　　) 答案：A 题型一　旋转体的结构特征 【学透用活】 准确认识旋转体的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转 “平面” 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转 “轴” 矩形的一边所在直线 以直角三角形的一条直角边所在直线 以直角梯形的直角腰所在直线 以半圆的直径所在直线 [典例1]　下列说法正确的是 (　　) A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面 B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥 C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱 D．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 [解析]　A是圆锥的性质，故正确；对于B，动手操作一下，发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点都在球面上，故D错误． [答案]　A 【对点练清】 下列命题正确的是 (　　) A．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线 B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直 角三角形 D．用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台 解析：选C　由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴，A错；直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，B错，如图所示；C正确；D不一定．只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台．故选C. 题型二　简单组合体的结构特征 【学透用活】 [典例2]　如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的 (　　) [解析]　该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成．故选A. [答案]　A 【对点练清】 1．若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征． 解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的． 2．描述下列几何体的结构特征． 解：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体． 题型三　旋转体的有关计算 【学透用活】 [典例3]　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是4 cm，求圆台O′O的母线长． [解]　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底 面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm， 4r cm，过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝4 cm. 所以＝，所以＝ ， 即＝，解得l＝12(cm)，即圆台的母线长为12 cm. 【对点练清】 1．若将本例中的条件变为“已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm,2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm”，则圆台的母线长为________． 解析： 如图是圆台的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm. 由△A′O′S∽△AOS，得＝， 得SA′＝·SA＝×12＝6(cm)． 所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm)． 所以圆台的母线长为6 cm. 答案：6 cm 2.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁， 现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是 多少？ 解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形， 如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离． ∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π. 又AB＝A′B′＝2， ∴AB′＝＝＝2， 即蚂蚁爬行的最短距离为2. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．如图所示的图形中有 (　　) A．圆柱、圆锥、圆台和球　 B．圆柱、球和圆锥 C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球 解析：选B　根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故选B. 2．用平面截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是 (　　) A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 解析：选C　由球的定义知选C. 3.如图所示的组合体的结构特征是 (　　) A．一个棱柱中截去一个棱柱 B．一个棱柱中截去一个圆柱 C．一个棱柱中截去一个棱锥 D．一个棱柱中截去一个棱台 解析：选C　如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．故选C. 4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为 (　　) A．4 B．3 C．2 D．2 解析：选D　圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.故选D. 5．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体是(　　) A．一个球　　　　　　　 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 解析：选B　半圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱． 6．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________．(填序号) 解析：根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形成的是圆锥． 答案：① 7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm，该圆台的轴截面的面积为________cm2. 解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝ 12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝＝13(cm)． 又圆台的轴截面为等腰梯形， S等腰梯形＝×(6＋16)×12＝132(cm2)． 答案：13　132 8．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的． 解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 层级(二)　能力提升练 1．(多选)下列说法正确的是 (　　) A．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 B．一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面 C．旋转体的截面图形都是圆 D．圆锥的侧面展开图是一个扇形 解析：选ABD　A、B为定义，均正确；C错误，因为轴截面截圆柱、圆锥、圆台所得截图形分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；D沿母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，此说法正确．故选A，B，D. 2．(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm. 解析： 作出轴截面如图，当两圆相切时半径最大，两圆的公切点为圆柱形的中心．设铁球半径为r，r∈(0,4)，在Rt△ABO1中，AO1＝4－r，AB＝－r，则有(4－r)2＋2＝r2，解得r＝或r＝(舍去)． 答案： 3．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长． 解：作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面 直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线．设 正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x.依题意，得△ABC∽ △ADE，∴＝，∴x＝，即此正方体的棱长为. 4．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 解：如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm. (1)由勾股定理得h＝ ＝3 (cm)．故圆台的高为3 cm. (2)由三角形相似得：＝， 解得x＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 层级(三)　素养培优练 1．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________． 解析：由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包含棱切球半径和外接球半径)．设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝×4，所以r＝2；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以(2R)2＝42＋42＋42，所以R＝2.所以球O的半径的取值范围是[2，2]． 答案：[2，2] 2．一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x的内接圆柱． (1)用x表示圆柱的轴截面面积S； (2)当x为何值时，S最大？ 解：(1)如图所示，设内接圆柱的底面半径为r，由已知得＝，所 以r＝. 所以S＝2··x＝－x2＋6x， 其中0＜x＜5. (2)由(1)可知，S＝－x2＋6x(0＜x＜5)， 所以当x＝－＝时，S最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $