8.1 基本立体图形 第一课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版数学必修第二册 第八章|立体几何初步 8.1 基本立体图形 第一课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 明确目标 发展素养 1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2.能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构. 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的理解，培养直观想象、数学抽象素养． 2.通过认识棱柱、棱锥、棱台的关系，及利用它们的结构特征描述简单物体的结构，培养直观想象、逻辑推理素养. 知识点一　空间几何体 (一)教材梳理填空 1．空间几何体的定义： 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的 和 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． 2．多面体和旋转体： 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个 围成的几何体叫做多面体 (1)一条 (包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 叫做旋转面； (2) 的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关 概念 (1)面：围成多面体的各个 ； (2)棱：两个面的 (3)顶点：棱与棱的 轴：形成旋转面所绕的 [微思考]　多面体与旋转体的异同点有哪些？ (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)一个多面体至少有六条棱． ( ) (2)封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． ( ) 2．下列几何体中，多面体是 (　　) 3.(多选)满足如图所示的几何体，以下说法正确的是 (　　) A．该几何体是一个多面体 B．该几何体有9条棱，5个顶点 C．该几何体有7个面 D．该几何体是旋转体 知识点二　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (一)教材梳理填空 1．棱柱的结构特征： 定义 有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图示 及相 关概 念 如图可记作： 棱柱ABCDEF­ A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相 的面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：侧面与底面的 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 2.几种特殊的棱柱： 直棱柱：侧棱 于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是 的直棱柱． 平行六面体：底面是 的四棱柱． 长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体． 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体． 3．棱锥的结构特征： 定义 有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示 及相 关概 念 如图可记作： 棱锥S­ABCD 底面(底)： ； 侧面：有公共顶点的各个 ； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：各侧面的 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫 底面是 ，并且顶点与底面中心的连线 于底面的棱锥叫做正棱锥 4．棱台的结构特征： 定义 用一个 的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图示 及相 关概 念 如图可记作：棱台 ABCD­A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的 ； 下底面：原棱锥的 ； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台…… 　[微思考]　 (1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ (2)棱台的上、下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？ (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)棱柱的底面互相平行． ( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥． ( ) (3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体． ( ) 2．下面多面体中，是棱柱的有 (　　) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法中正确的是 (　　) A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．仅有一组对面平行的五面体是棱台 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 题型一　棱柱的结构特征 【学透用活】 [典例1]　(1)下列说法正确的是 (　　) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 (2)如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1. ①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面． 【对点练清】 1．下列命题中，正确的是 (　　) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 2．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则该棱柱是______棱柱，每条侧棱长为 ________ cm. 题型二　棱锥、棱台的结构特征 【学透用活】 [典例2]　(1)下面关于棱锥、棱台的说法错误的是 (　　) A.棱锥的侧面只能是三角形 B.棱台的侧面一定不会是平行四边形 C.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥 D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 (2)(多选)如图所示，观察下列几何体，其中判断正确的是 (　　) 【对点练清】 1．下列说法中，正确的是 (　　) A．四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面 B．棱锥的各侧棱长相等 C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 2．判断如图所示的几何体，其中不是棱台的是________． 题型三　多面体的表面展开图 　　 【学透用活】 [典例3]　(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可)． (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线． 【对点练清】 1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品 盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案) (　　) 2．将本例(2)中的“长方体”改为“正方体ABCD­A1B1C1D1，棱长为3”，其他条件不变，则蚂蚁爬行的路线长为________． 课时跟踪检测　　　　　　　　　　　　　 层级(一)　“四基”落实练 1．四棱柱有 (　　) A．四条侧棱、四个顶点　 B．八条侧棱、四个顶点 C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点 2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为 (　　) A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 3．下面图形中，为棱锥的是 (　　) A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①② 4.如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部 分是 (　　) A．三棱锥　　　　　　 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 5．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为 (　　) A．模块①②⑤ B．模块①③⑤ C．模块②④⑤ D．模块③④⑤ 6．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱． 7．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________． 8．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 层级(二)　能力提升练 1．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是 (　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 2．设条件甲：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长都相等；条件乙：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体，那么甲是乙的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列关于几何体特征的判断正确的是(　　) A．一个斜棱柱的侧面不可能是矩形 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．有一个面是n(n>3，n∈N)边形的棱锥一定是n棱锥 D．平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形 4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是A1B1，A1C1的中点，连接BE，EF，FC，试判断几何体A1EF­ABC是什么几何体，并指出它的底面与侧面． 5.如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝VC＝3，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值． 层级(三)　素养培优练 1.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 2．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版数学必修第二册 第八章|立体几何初步 8.1 基本立体图形 第一课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 明确目标 发展素养 1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2.能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构. 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的理解，培养直观想象、数学抽象素养． 2.通过认识棱柱、棱锥、棱台的关系，及利用它们的结构特征描述简单物体的结构，培养直观想象、逻辑推理素养. 知识点一　空间几何体 (一)教材梳理填空 1．空间几何体的定义： 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． 2．多面体和旋转体： 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 (1)一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面； (2)封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关 概念 (1)面：围成多面体的各个多边形； (2)棱：两个面的公共边 (3)顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转面所绕的定直线 [微思考]　多面体与旋转体的异同点有哪些？ 提示：相同点：两者都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点． 不同点：多面体的表面都是平面多边形，旋转体的表面有的是平面，有的是曲面． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)一个多面体至少有六条棱． (√) (2)封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． (√) 2．下列几何体中，多面体是 (　　) 答案：B 3.(多选)满足如图所示的几何体，以下说法正确的是 (　　) A．该几何体是一个多面体 B．该几何体有9条棱，5个顶点 C．该几何体有7个面 D．该几何体是旋转体 答案：AB 知识点二　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (一)教材梳理填空 1．棱柱的结构特征： 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图示 及相 关概 念 如图可记作： 棱柱ABCDEF­ A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 2.几种特殊的棱柱： 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体． 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体． 3．棱锥的结构特征： 定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示 及相 关概 念 如图可记作： 棱锥S­ABCD 底面(底)：多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 4．棱台的结构特征： 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图示 及相 关概 念 如图可记作：棱台 ABCD­A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台…… 　[微思考]　 (1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行四边形． (2)棱台的上、下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？ 提示：根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)棱柱的底面互相平行． (√) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥． (×) (3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体． (×) 2．下面多面体中，是棱柱的有 (　　) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 3．下列说法中正确的是 (　　) A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．仅有一组对面平行的五面体是棱台 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 答案：A 题型一　棱柱的结构特征 【学透用活】 [典例1]　(1)下列说法正确的是 (　　) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 (2)如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1. ①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面． [解析]　(1)选D　选项A、B都不正确，反例如图所示．选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知选项D正确． (2)①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义． ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M­CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1­DCND1. 　　 【对点练清】 1．下列命题中，正确的是 (　　) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 解析：选D　A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图①，构造四棱柱ABCD­A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点．故选D. 2．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则该棱柱是______棱柱，每条侧棱长为 ________ cm. 解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm. 答案：五　 12 题型二　棱锥、棱台的结构特征 【学透用活】 [典例2]　(1)下面关于棱锥、棱台的说法错误的是 (　　) A.棱锥的侧面只能是三角形 B.棱台的侧面一定不会是平行四边形 C.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥 D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 (2)(多选)如图所示，观察下列几何体，其中判断正确的是 (　　) [解析]　(1)A正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；B正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；D错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.故选D (2)A中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以A不是棱台；B不是棱台；C中的几何体是棱锥；D中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以D是棱柱．判断正确的是C、D. [答案]　(1)D　(2)CD 【对点练清】 1．下列说法中，正确的是 (　　) A．四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面 B．棱锥的各侧棱长相等 C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 解析：选A四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何 一个面作底面 的几何体都是三棱锥，故A正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故B错误；如图，可知C、D错误． 2．判断如图所示的几何体，其中不是棱台的是________． 解析：因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．所以①②③都不是棱台． 答案：①②③ 题型三　多面体的表面展开图 　　 【学透用活】 [典例3]　(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可)． (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线． [解]　(1)平面展开图如图所示： (2)沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法： ①若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝＝＝4. ②若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3. ③若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝. 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为. 【对点练清】 1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品 盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案) (　　) 解析：选A　根据题目信息，可得只有相对面的图案相同，展开图同图案不能相邻．故选A. 2．将本例(2)中的“长方体”改为“正方体ABCD­A1B1C1D1，棱长为3”，其他条件不变，则蚂蚁爬行的路线长为________． 解析：由于正方体的各面都是全等的正方形，所以例(2)中的各种剪法都是一样，即长为6宽为3的长方形，可求得AC1＝＝＝3. 所以蚂蚁爬行的路线长为3. 答案：3 课时跟踪检测 　　　　　　　　　　　　　 层级(一)　“四基”落实练 1．四棱柱有 (　　) A．四条侧棱、四个顶点　 B．八条侧棱、四个顶点 C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点 解析：选C　四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．故选C. 2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为 (　　) A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 解析：选D　根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．故选D. 3．下面图形中，为棱锥的是 (　　) A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①② 解析：选C　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C. 4.如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部 分是 (　　) A．三棱锥　　　　　　 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 解析：选B　余下部分是四棱锥A′­BCC′B′.故选B. 5．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为 (　　) A．模块①②⑤ B．模块①③⑤ C．模块②④⑤ D．模块③④⑤ 解析：选A　结合选项逐一判断，可知只有A符合，故选A. 6．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱． 解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱． 答案：5　3 7．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________． 解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方． 答案：1∶4 8．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 解：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台． 层级(二)　能力提升练 1．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是 (　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 解析：选D　由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．故选D. 2．设条件甲：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长都相等；条件乙：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体，那么甲是乙的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　根据直四棱柱的定义，侧棱垂直于底面，底面是四边形的四棱柱叫做直四棱柱． 对于命题甲，若直四棱柱的棱长都相等，则底面四边形可以是菱形．因此此直四棱柱未必是正方体，即命题甲推不出命题乙； 对于命题乙，正方体一定是棱长都相等的直四棱柱，则命题乙推出命题甲． 因此，命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选C. 3．下列关于几何体特征的判断正确的是(　　) A．一个斜棱柱的侧面不可能是矩形 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．有一个面是n(n>3，n∈N)边形的棱锥一定是n棱锥 D．平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形 解析：选C　斜棱柱的侧面中，可以有的侧面是矩形，所以A不正确； 根据正棱锥的定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以B不正确； 根据棱锥的分类，可得有一个面是n边形的棱锥一定是n棱锥，所以C正确； 平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的平行四边形，所以D不正确． 4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是A1B1，A1C1的中点，连接BE，EF，FC，试判断几何体A1EF­ABC是什么几何体，并指出它的底面与侧面． 解：∵E，F分别是A1B1，A1C1的中点，且A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC， ∴＝＝＝. ∴△A1EF∽△ABC，且AA1，BE，CF延长后交于一点． 又∵平面A1B1C1与平面ABC平行，∴几何体A1EF­ABC是三棱台．其中平面ABC是下底面，平面A1EF是上底面，平面ABEA1，平面BCFE和平面ACFA1是侧面． 5.如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝VC＝3，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值． 解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在 一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值． ∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°， ∴∠AVA1＝90°. 又VA＝VA1＝3，∴AA1＝3. ∴△AEF周长的最小值为3. 层级(三)　素养培优练 1.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三 角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若 以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm， 4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 答案： 2．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明． 解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底 面为正三角形的三棱锥．如图②所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底． 1 学科网（北京）股份有限公司 $