第七章 复数 阶段验收评价-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版数学必修第二册 第七章 | 复数 阶段验收评价 (时间：120分钟　满分：150分) 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数(2＋i)2等于(　　) A．3＋4i　　　　　　　　 B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i 2．已知＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标为 (　　) A．(5,5) B．(－5，－5) C．(1,3) D．(－5,5) 3．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　) A．2 B． C．2或 D．以上都不对 4．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝2，则a·(a－2b)＝ (　　) A．3 B．9 C．12 D．15 5．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　) A．1 B．2 C. D. 6．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于(　　) A. B． C. D. 7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为CD边的中点， ＝，若·＝－4，则cos∠BAD＝(　　) A. B． C. D. 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，则sin C等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为 (　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 10．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是 (　　) A．＝＋ B．＝－ C． ＝＋ D．＝＋ 11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法正确的是 (　　) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12.如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)， 则z2＝________. 13．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________． 14.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和 90°－α.后退l m至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为______m，旗杆BA的高为______m．(用含有l和α的式子表示) 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M 分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC. (1)以{a，b}为基底表示向量与； (2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·. 16．(15分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a. (1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B. 17．(15分)如图，在△ABC中，＝＋. (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y (x，y∈R)，求x＋y的值． 18．(17分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B. (1)求角B； (2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积． 19.(17分)如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B需要8分钟，AC长为1 260米，若cos A＝，sin B＝.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，求乙步行的速度v(米/分)的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版数学必修第二册 第七章 | 复数 阶段验收评价 (时间：120分钟　满分：150分) 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数(2＋i)2等于(　　) A．3＋4i　　　　　　　　 B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i 解析：选A　(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A. 2．已知＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标为 (　　) A．(5,5) B．(－5，－5) C．(1,3) D．(－5,5) 解析：选C　因为＝(3,4)＝(xB＋2，yB＋1)， 所以xB＋2＝3，yB＋1＝4， 故xB＝1，yB＝3，即B(1,3)． 3．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　) A．2 B． C．2或 D．以上都不对 解析：选C　∵a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴5＝15＋c2－2×c×，化简得c2－3c＋10＝0， 即(c－2)(c－)＝0，∴c＝2或c＝. 4．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝2，则a·(a－2b)＝ (　　) A．3 B．9 C．12 D．15 解析：选D　∵a·b＝3×2×cos＝－3， ∴a·(a－2b)＝a2－2a·b＝9－2×(－3)＝15.故选D. 5．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　) A．1 B．2 C. D. 解析：选B　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°. 由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B. 6．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于(　　) A. B． C. D. 解析：选C　由题意得，＝ti，t≠0，t∈R， 所以2－i＝－t＋tai， 所以解得 所以z＝2a＋i＝1＋i，|z|＝. 7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为CD边的中点， ＝，若·＝－4，则cos∠BAD＝(　　) A. B． C. D. 解析：选A　∵在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是CD边的中点，＝， ∴＝＋＝＋， ＝－＝－， ∴·＝＋ ·－ ＝2－2－· ＝×32－×42－×3×4×cos∠BAD ＝6－8－8cos∠BAD＝－4， ∴cos∠BAD＝. 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，则sin C等于(　　) A. B. C. D. 解析：选C　在△ABC中，由(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C及正弦定理得(b＋c)2＝a2＋(2－)bc，即b2－c2－a2＝－bc，由余弦定理得cos A＝＝－，而0°<A<180°，解得A＝135°.由sin A－2sin B＝0得sin B＝sin A＝，显然0°<B<45°，则B＝30，C＝15°，所以sin C＝sin(60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为 (　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 解析：选BD　∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选B、D. 10．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是 (　　) A．＝＋ B．＝－ C． ＝＋ D．＝＋ 解析：选BD　易证△DEN∽△BAN， 又OB＝OD，N是线段OD的中点，∴DE＝AB， ∴＝＋＝＋，∴D说法错误； ∵＝＝＋，∴C说法正确； ∵＝＋ ＝(＋)＋(－)＝＋， ∴A说法正确，B说法错误．故选B，D. 11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法正确的是 (　　) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 解析：选ACD　若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确． 由于a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确． 对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确． 对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)·(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12.如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)， 则z2＝________. 解析：由题图可知，z1＝－1＋2i，∴由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)I ＝－2－i. 答案：－2－i 13．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________． 解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0， 即3a2－a·b－2b2＝0. ∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ， 则3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0， ∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 答案： 14.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和 90°－α.后退l m至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为______m，旗杆BA的高为______m．(用含有l和α的式子表示) 解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C＝α， 在Rt△P2BC中，∠P2＝. ∵∠BP1C＝∠P1BP2＋∠P2， ∴∠P1BP2＝，即△P1BP2为等腰三角形，BP1＝P1P2＝l， ∴BC＝lsin α. 在Rt△ACP1中，＝＝tan(90°－α)， ∴AC＝，则BA＝AC－BC＝－lsin α＝＝. 答案：lsin α　 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M 分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC. (1)以{a，b}为基底表示向量与； (2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·. 解：(1)由已知得＝＋＝a＋b.连接AF(图略)， ∵＝＋＝a＋b， ∴＝＋＝－b＋＝a－b. (2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120° ＝3×4×＝－6， 从而·＝· ＝|a|2＋a·b－|b|2 ＝×32＋×(－6)－×42 ＝－. 16．(15分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a. (1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B. 解：(1)由正弦定理，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A， 即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A. 故sin B＝sin A，所以＝. (2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝. 由(1)知，b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2， 可得cos2B＝，又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°. 17．(15分)如图，在△ABC中，＝＋. (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y (x，y∈R)，求x＋y的值． 解：(1)在△ABC中，＝＋， 则4＝3＋，3(－)＝－， 即3＝，即点M是线段BC靠近B点的四等分点． 故△ABM与△ABC的面积之比为. (2)因为＝＋，∥， ＝x＋y(x，y∈R)，所以x＝3y. 因为N为AB的中点， 所以＝－＝x＋y－ ＝＋y， ＝－＝x＋y－ ＝x＋(y－1). 因为∥.所以(y－1)＝xy， 即2x＋y＝1.又x＝3y， 所以x＝，y＝.所以x＋y＝. 18．(17分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B. (1)求角B； (2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积． 解：(1)∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 由已知结合正弦定理可得(a－c)a＋c2＝b2， ∴a2＋c2－b2＝ac. ∴cos B＝＝＝. ∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)∵b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，即3ac＝16－b2， ∴16－b2≤32，解得b≥2，当且仅当a＝c＝2时取等号． ∴bmin＝2，△ABC周长的最小值为6， 此时△ABC的面积S＝acsin B＝. 19.(17分)如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B需要8分钟，AC长为1 260米，若cos A＝，sin B＝.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，求乙步行的速度v(米/分)的取值范围． 解：在△ABC中，∵cos A＝，sin B＝， ∴sin A＝＝ ＝. 由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(米)， 乙从B出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550 米，还需走710 米才能到达C. 由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤， ∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度v(米/分)应控制在，范围内． 1 学科网（北京）股份有限公司 $