解答题77分三轮冲刺保分强化训练(3)-2026届高三数学三轮复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(3) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·四川成都·二模）成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 【答案】(1)32岁 (2)94，6，94，6.8，从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定 【分析】（1）设中位数为a，根据中位数的定义列方程求解即可. （2）求出平均数，再根据方差的定义求方差；比较平均数与方差即可得出结论. 【详解】（1）设中位数为a，∵第一组的频率为， 第二组的频率为，第三组的频率为， 又，，． 则，，则中位数为32岁． （2）5个年龄组成绩的平均数为， 方差． 5个职业组成绩的平均数为， 方差为． 所以从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定． 2．（2026·广东广州·模拟预测）记内角的对边分别为． (1)若的面积为6，求； (2)求； (3)证明：是钝角三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由三角形内角和可求出，再利用面积公式计算即可得解； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合的大小与三角恒等变换公式计算即可得； （3）若，计算可得与矛盾，故，不妨设，则由（2）中所得可得，即可得，即可得证. 【详解】（1）由，可得则， ，解得； （2），由正弦定理得，由， 则 ， 故； （3）若，则有，此时，， 这与矛盾，故， 不妨设，则，于是， 由得，故，于是， 故是钝角三角形． 3．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）结合已知条件利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （2）根据图形找出二面角，然后建立空间直角坐标系，写出相应的点，求出平面的法向量，然后利用向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）由平面，， 所以以点为坐标原点，分别为轴，过点平行于的所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，            由（1）知平面，平面, 所以，所以为二面角的平面角， 又二面角的大小为，所以， 又的中点为，，所以， 在直角三角形中， ， 所以， 则， 设点，由，所以，① 则，又， 所以有，② 又，即，③ 联立①②③解得：， 所以，所以， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为：. 4．（2026·湖南常德·一模）已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解出即可得结果； （2）设出，，的坐标，分别联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【详解】（1）根据题意可得 解得，， 所以椭圆的方程为. （2）设，，，由（1）可知，， 因为点在椭圆上，所以. 由题意：，：， 将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：.所以. 所以，，即. 同理，将直线与椭圆联立.可得. 整理可得：，所以， 所以，，即. 所以的斜率为，的斜率为. 故 因为点在第一象限内.故，. 所以的最小值为，当且仅当在处取到等号. 5．（2026·陕西铜川·一模）已知函数其中，是常数，而且（），若满足. (1)的单调区间与极值； (2)为等差数列，求； (3)，求证. 【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增；极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域及导数，进而求出单调区间及极值； （2）设数列的公差为，由题意可递推出，用可求得，即可求解； （3）假设是第一个不大于，由（1）可知，在区间上单调递增， 代入已知可得，与已知矛盾，令，对其求导，根据单调性即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 当变化时的变化情况如下表： 0 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值，且极小值为，无极大值. （2）设数列的公差为，由题意得， ②①得 ， 整理，得， 又因为， 所以，即， 所以，解得， 而当时，易得，为常数列，满足题设要求. （3）先证明， 设是第一个不大于，即，， 由（1）可知，在区间上单调递增， 所以，即， 这与假设矛盾，所以所设不成立，即. 其次证明，令， 则， 所以为单调增函数，当时，， 因为，所以，即， 故. 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由递推公式结合题中条件，得到，判断出数列是等差数列，求出通项，即可得出结果； （2）先由（1），根据裂项的方法，得到对1，2，3…，进而可求出，即证明结论成立. 【详解】（1）由可得， ∵，∴，依此类推， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，即， （2），故 对1，2，3… ， ∴ .， 因为， 所以 即 2．（2026·宁夏银川·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 【答案】(1) (2); 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得； （2）由向量数量积的定义求出，利用余弦定理与基本不等式即可求得的最小值，根据三角形面积公式求其面积. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则. （2）由化简得， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为. 3．（2026·吉林通化·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，． (1)求点到直线的距离； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量在上的投影，求解即可. （2）利用空间直角坐标系，求出法向量，从而求出所成角的余弦值，求出正弦值, 【详解】（1）以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 由，得，， 又，所以到直线的距离为 . （2），，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即 令，则，，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 又，所以，即二面角的正弦值为． 4．（2026·江苏扬州·一模）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． (3) 【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案 （3）利用导数研究函数的单调性，分别求出和的最值，将不等式能成立问题转化为最值问题，求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. （2），由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2          - 0    + 0    - 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： x      2     - 0    + 0    - 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为． 5．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆，A，B分别是椭圆的左右顶点，，，P为椭圆上动点． (1)求的最大值； (2)动点T满足，过T作于H，线段交椭圆于点M，过A作交椭圆于点N．求证：直线过定点； (3)如图，是一个表面被涂上红色的棱长是的立方体，将其分割成个棱长为的小立方体放在盒子中摇匀，点从点出发沿椭圆曲线在，，，四点顺时针或逆时针跳动，跳动规则如下：从一个字母沿椭圆曲线顺时针或逆时针跳动到下一个字母为次跳动，从盒子中有放回的抽取个小立方体为次操作，抽到三面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到六个面均没有涂红色的小立方体逆时针跳动次，抽到一面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到两面涂红色的小立方体逆时针跳动次，求经过次操作后点在的概率为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据两点间距离公式结合二次函数性质计算求解； （2）设，，，直线，求得动点的轨迹方程，根据斜率公式得，化简可得，直线与椭圆联立方程组，由韦达定理得，，代入计算可得，即可证明直线过定点； （2）设经过次操作后点在处为事件，，点在处为事件，，点在处为事件，，点在处为事件，，由题意可得，根据全概率可得，，构造等比数列，根据等比数列通项公式求法计算可解. 【详解】（1）设，根据题意，，且，， ， 当且仅当或等号成立， 所以的最大值为． （2）设，，，直线， 因为动点满足，则点在以为直径的圆上运动，则， 又，所以，则． 的斜率， 因为，则的斜率． 所以此时的斜率， 则．所以，①     将代入①式， 整理得，② 联立直线方程与椭圆方程， 得． ，即．③ ，， 代入②式得， 化简得，解得（舍去），或，满足不等式③成立． ∴直线方程为，直线过定点． （3）由题意，盒子中三面涂红色的小立方体有8个，每次抽到后顺时针跳动1次的概率为， 盒子中六个面没有涂红色的小立方体有8个，每次抽到后逆时针跳动1次的概率为， 盒子中一面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后顺时针跳动2次的概率为， 盒子中两面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后逆时针跳动2次的概率为， 设经过次操作后点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 易知，由对称性知，即， 计算得， 而， 即，④ 又，代入④式得， 即，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 又， 即，⑤ 将，代入⑤式得， 即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(3) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·四川成都·二模）成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 2．（2026·广东广州·模拟预测）记内角的对边分别为． (1)若的面积为6，求； (2)求； (3)证明：是钝角三角形． 3．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2026·湖南常德·一模）已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值. 5．（2026·陕西铜川·一模）已知函数其中，是常数，而且（），若满足. (1)的单调区间与极值； (2)为等差数列，求； (3)，求证. 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. 2．（2026·宁夏银川·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 3．（2026·吉林通化·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，． (1)求点到直线的距离； (2)求二面角的正弦值． 4．（2026·江苏扬州·一模）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 5．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆，A，B分别是椭圆的左右顶点，，，P为椭圆上动点． (1)求的最大值； (2)动点T满足，过T作于H，线段交椭圆于点M，过A作交椭圆于点N．求证：直线过定点； (3)如图，是一个表面被涂上红色的棱长是的立方体，将其分割成个棱长为的小立方体放在盒子中摇匀，点从点出发沿椭圆曲线在，，，四点顺时针或逆时针跳动，跳动规则如下：从一个字母沿椭圆曲线顺时针或逆时针跳动到下一个字母为次跳动，从盒子中有放回的抽取个小立方体为次操作，抽到三面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到六个面均没有涂红色的小立方体逆时针跳动次，抽到一面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到两面涂红色的小立方体逆时针跳动次，求经过次操作后点在的概率为多少？ 2 / 3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $