解答题77分三轮冲刺保分强化训练(1)-2026届高三数学三轮复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(1) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 2．（2025·广东广州·一模）如图所示，已知四棱锥的底面是梯形，侧棱底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 4．（2026·贵州安顺·一模）已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为． (1)求曲线的方程； (2)不过原点的直线与曲线交于不同的两点，若以为直径的圆过坐标原点． （i）证明：直线过定点； （ii）点是曲线上位于直线下方的一动点，若对于给定的直线，记的面积最大值为，对所有符合题设条件的动直线，求的最小值． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求k的取值范围. 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 2．（2026·贵州·模拟预测）如图.在三棱柱中，是AC的中点，.    (1)证明：平面. (2)已知点到平面的距离为1. ①求三棱柱的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 3．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值． 4．（2026·安徽宿州·一模）已知函数. (1)证明函数存在唯一零点； (2)的零点为，证明. 5．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于两点，已知点，为直线上的一点，且． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)求点的横坐标． 2 / 3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(1) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）利用递推式相减得出的递推关系，进而得出是等比数列； （2）求出的通项公式，再利用递推式相加得出的递推关系求出通项公式，进而求出的通项公式及前项和． 【详解】（1）证明：，， 两式相减得， ， 又， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，， 两式相加得， ，， 当时，满足上式， 数列是首项为4，公差为4的等差数列，即， ，解得，   ． 2．（2025·广东广州·一模）如图所示，已知四棱锥的底面是梯形，侧棱底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件先求出，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，从而得出相应向量的坐标，求出平面的法向量，最后利用向量法求解即可. 【详解】（1）连接与交于点，连接，如图所示： 因为，所以，又， 所以，又，所以， 所以，又，故， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为底面，， 所以两两互相垂直， 故以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 则， 又，所以， 即，故， 由已知得，， 设平面的一个法向量， 则 ，     令，则，，故， 设直线与平面所成的角为， 所以 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 【答案】（1）①分布列见解析，；②；（2）节目参加者换门更好，答案见解析 【分析】（1）①由进行求解即可；②依题意，样本比例为，现要求，得，，再由进行求解； （2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，，由全概率公式进行求解． 【详解】（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为， 所以， 即，，，，，，， 得到的分布列为 0 1 2 3 4 5 期望为， ②依题意，样本比例为，现要求， 得，即，， 所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为 . （2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，， 所以，， 则， 因此不换门选中汽车的概率是， 换门选中汽车的概率是， 故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍. 4．（2026·贵州安顺·一模）已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为． (1)求曲线的方程； (2)不过原点的直线与曲线交于不同的两点，若以为直径的圆过坐标原点． （i）证明：直线过定点； （ii）点是曲线上位于直线下方的一动点，若对于给定的直线，记的面积最大值为，对所有符合题设条件的动直线，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1 【分析】（1）设点，求出圆心坐标和半径，利用以为直径的圆与轴相切，列方程化简即可； （2）（i）设直线，，，与抛物线方程联立，结合“以为直径的圆过原点”转化为，利用韦达定理求参数证明直线过定点即可；（ii）通过弦长公式、点到直线距离公式表示面积，再利用换元法结合函数单调性求的最小值即可. 【详解】（1）设点，则以为直径的圆的圆心为，半径， 因为该圆与x轴相切，所以， 所以，整理得， 故曲线的方程为． （2）（i）设直线，，， 则，消去得，所以，， 以为直径的圆过原点，所以， 则， 因，解得，所以直线方程为，恒过定点． （ii）对于给定的，直线与交于， 则， 将，，代入得， 又点在上且位于下方，即， 点到直线的距离为， 由知，故， 令，则对于给定的，为开口向下的一元二次函数， 所以当时，取得最大值，此时最大，， 所以面积的最大值， 令，，易知单调递增， 所以当，即时，取得最小值． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用导数的几何意义，先求切点与导函数，代入得切线斜率，然后用点斜式写出切线方程； (2)将恒成立问题转化为大于分离参数后函数的上确界，通过求导判断单调性，结合洛必达法则确定其最大值，从而求得的取值范围. 【详解】（1）当时，函数为：， 代入，得，故切点为， 而， 代入，， 由，得：，即 （2）当 时， 恒成立，即，； 由于时，则， 令（），对求导： ， 令分子为， 对求导：， 故在上单调递减，且，因此（）， 由此可知（），即在上单调递减，所以， 由洛必达法则可得， 要使对所有恒成立，则，即. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到，得到，结合向量的运算法则和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 所以， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. （2）解：因为为边上，满足， 所以，所以，所以， 所以， 即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为. 2．（2026·贵州·模拟预测）如图.在三棱柱中，是AC的中点，.    (1)证明：平面. (2)已知点到平面的距离为1. ①求三棱柱的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【分析】(1)通过中位线证明线线平行，进而证得线面平行； (2)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解参数，再分别计算三棱柱体积和两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：设，连接DE，则DE是的中位线， 所以. 因为平面平面， 所以平面 （2）连接.因为为AC的中点，所以.     因为平面， 所以平面 设，则． 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则．     由(1)知.     设平面的法向量为，因为， 所以，令，得 所以点到平面的距离，解得.   ①三棱柱的体积．     ②已知平面的一个法向量为．     设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算. （2）先根据分层抽样的概念确定第一次抽取的12人样本中第一组和第二组的人数，进而得到的可能取值，求其概率，可得的分布列. （3）先得到答对3题的概率，设，分析函数的单调性，求最大值的值. 【详解】（1）估计平均年龄为. （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即， 所以． 4．（2026·安徽宿州·一模）已知函数. (1)证明函数存在唯一零点； (2)的零点为，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分析函数的单调性，再结合零点存在定理证明； （2）根据得到满足的关系式，再将转化，最后通过研究函数的单调性来证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，，（这是因为） 故函数在没有零点； 当时，，易见在上是减函数， 且，故存在，使得在上递增，在上递减， 且， 所以在上存在唯一零点，又，所以在上无零点， 故在上存在唯一零点. （2）注意到，由（1）知存在唯一使得， 即有，故. 令， 令，显然当时，.故在上单调递减， 所以. 5．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于两点，已知点，为直线上的一点，且． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)求点的横坐标． 【答案】(1)，离心率为． (2)． 【分析】（1）利用椭圆过点和焦距求出，即求得椭圆方程与离心率； （2）通过设直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理表示坐标，利用平行条件建立方程求出坐标． 【详解】（1）由题意知，，． 又，，，， 所以椭圆的方程为，离心率． （2）由题意知，，． 又，，，， 所以椭圆的方程为，离心率． （2）当直线的斜率不为0时，设其方程为，， 由，得， 得到， 则． 如图4，设，由点是直线上一点， 则存在实数，使得， 则，即， 由，得， 则，故， 代入可得． 当直线的斜率为0时，不妨取，，，符合题意． 故点的横坐标为． $