解答题77分三轮冲刺保分强化训练(2)-2026届高三数学三轮复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(2) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【详解】（1），，， ，解得，故； 同理，解得， ． （2）①， 时， ②， 式①减②得， ， 又符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差， 则， 当时，首项，公差， 则， 综上，． （3）， i）当时， ， ii）当时，则， ， 综上，． 2．（2026·河北·一模）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． (1)求． (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)存在， 【分析】（1）过作，利用线面垂直的判定定理可推出所以平面，再结合边长应用勾股定理即可； （2）取的中点为，根据线面垂直判定定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法直线与平面所成角的正弦值列出方程即可求得. 【详解】（1） 由题意得，过作， 因为底面为等腰梯形，且，所以， 所以， 所以，进而得出， 又，平面. 所以平面，又平面， 所以． 所以. （2） 取的中点为，连接，，， 所以平面，又平面， ，平面. 所以平面，过E作平行于， 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 假设存在点，设， ， 设平面的一个法向量， 因为直线与平面所成角的正弦值为， ，解得或（舍）. 在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭，事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭，根据题意求出，，利用条件概率的公式求出，从而得解. （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为，写出的可能取值，分别求出的每一个可能取值的概率，根据其概率求出的分布列. （3）分别求出带动家庭可以拿到100元，200元，300元的奖励的概率，从而得到该带动家庭可以拿到的奖励. 【详解】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭， 事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭， ，， 所以， 所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为. （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为， 的可能取值为0，500，1000，1500，2000， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 500 1000 1500 2000 （3）带动家庭可以拿到100元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到200元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到300元奖励的概率为， 该带动家庭可以拿到的奖励为 （元）. 4．（2026·陕西·模拟预测）平面内一动点到定点和定直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)已知点.过点的直线交于不同两点（均与点不重合），直线分别交直线于点.证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出轨迹方程. （2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，再求出直线方程得点坐标，进而得点的坐标，然后利用斜率坐标公式及韦达定理计算得证. 【详解】（1）由动点到定点和定直线的距离相等， 得动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）直线不垂直于轴，设直线的方程为，，（且）， 由，得，则，， 直线的斜率，其方程为， 令，得，同理得，设直线的斜率分别为， 因此 ， 所以.    5．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，求出，再由三角形内角范围即可求得角； （2）设BC边上的高为，由三角形等面积可得，由余弦定理和基本不等式推得，即得BC边上的高的最大值. 【详解】（1）由可得，     由正弦定理得，   所以，     因为，所以，     因为，所以． （2）依题意，，设BC边上的高为， 由，可得，      由余弦定理 可得， 即，当且仅当时等号成立，     因此， 所以BC边上的高的最大值为2． 2．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）如图1，在正三角形中，，，分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据边长关系，结合勾股定理证明，，再结合线面垂直判定定理证明即可； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）证明：正三角形中，，，为的中点， 所以，在图1中，， 所以，在中，，即， 同理， 因为，在图1中，， 所以，在图2中，， 因为， 所以，， 所以，， 因为，平面 所以平面. （2）解：如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则， 因为平面的一个法向量为， 设二面角为，， 所以， 所以 所以二面角的正弦值为. 3．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比，从而求得通项公式． （2）利用裂项相消法求得． （3）利用错位相减法求得，利用差比较法求得的取值范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 4．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知椭圆，过点，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 【答案】(1)， (2)光线经过轴反射后经过点 【分析】（1）由已知条件列出关于方程组求出即可求解. （2）先表示过点的直线的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理得、，计算求解即可. 【详解】（1）由题可得， 椭圆的方程为， 所以椭圆的离心率. （2）如图 为椭圆的右焦点，， 设，， 设过点的直线的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立得， 展开并整理得， 则即， 且，， ， 光线经过轴反射后经过点. 5．（2026·广东佛山·一模）已知函数，其中为正实数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导得切线斜率，代入点坐标写出切线方程即可； （2）（i）通过导数分析函数单调性，结合判别式讨论参数；（ⅱ）利用条件转化为，结合函数性质和单调性证明不等式. 【详解】（1）当时，，． 所以，又． 所以所求的切线方程为，即． （2）（ⅰ）， 因为，设二次函数的判别式为， ①当，即时，，所以在单调递增， 所以，所以． ②，即时，设的两个根为，，且， 由韦达定理，可得，即，所以， 所以在单调递减，在单调递增． 所以当时，有，与不符合，舍去． 综上所述，的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得，的最小值为2，在单调递增， 且，即 因为，为正实数，且，所以． 不妨设，则，，所以，． 又，所以，即． 所以，所以． 所以，即． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(2) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 2．（2026·河北·一模）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． (1)求． (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 4．（2026·陕西·模拟预测）平面内一动点到定点和定直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)已知点.过点的直线交于不同两点（均与点不重合），直线分别交直线于点.证明：. 5．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 2．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）如图1，在正三角形中，，，分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 3．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知椭圆，过点，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 5．（2026·广东佛山·一模）已知函数，其中为正实数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：． 2 / 3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $