21.3.3正方形知识归纳与题型突破（十大题型）2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十大题型） 知识归纳： 知识点一：正方形的性质： 1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形对边平行且相等。 4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； 5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 知识点二：正方形的判定： 1）有一个角是直角的菱形是正方形； 2）对角线相等的菱形是正方形； 3）一组邻边相等的矩形是正方形； 4）对角线互相垂直的矩形是正方形； 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 正方形的面积公式：面积=边长×边长=对角线×对角线 题型突破： 题型一：正方形的性质（求角的度数） 1.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 2.如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 4.如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为(   )    A． B． C． D． 5.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    题型二：正方形的性质（求线段的长度） 1.如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2.如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（    ）    A．2 B． C．1 D． 3．如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B．1 C． D．2 5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（　　） A．5 B．3.5 C．4 D． 6.如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则BG的长为 　　． 7.如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________．    题型三：正方形的性质（求面积、周长） 1．如图，正方形的边长为2，是等边三角形，则四边形的面积等于 ． 2.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 3.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 题型四：正方形的性质（探究数量关系） 1.如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为 ． 题型五：判定正方形成立的条件 1．下列条件中，能使矩形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　）    A． B． C． D． 3．下列命题中，正确的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 题型六：正方形判定的证明 1.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D． （1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论． （2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明． 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 3.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM＝CM． （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 题型七：正方形的判定与性质综合 1.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积． 3.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 题型八：探究正方形中的最值问题 1．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 2.如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 3.如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ． 4.如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 5.如图，正方形的对角线相交于点，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ． 题型九：正方形在坐标系中的运用 1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3） 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 3.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　） A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，） 4.正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 题型十：正方形中的多结论问题 1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 2．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后，折痕分别交于点E、G，连结．下列结论错误的是（　　） A． B．四边形是菱形 C． D． 3．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 4．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝4，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是2；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2；④四边形OECF的面积始终是4．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 5．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】 21.3.3正方形知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十大题型） 知识归纳： 知识点一：正方形的性质： 1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形对边平行且相等。 4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； 5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 知识点二：正方形的判定： 1）有一个角是直角的菱形是正方形； 2）对角线相等的菱形是正方形； 3）一组邻边相等的矩形是正方形； 4）对角线互相垂直的矩形是正方形； 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 正方形的面积公式：面积=边长×边长=对角线×对角线 题型突破： 题型一：正方形的性质（求角的度数） 1.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 4.如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】C 5.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 题型二：正方形的性质（求线段的长度） 1.如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】D 3．如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（　　） A．5 B．3.5 C．4 D． 【答案】A 6.如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则BG的长为 　　． 【答案】． 7.如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________．    【答案】 题型三：正方形的性质（求面积、周长） 1．如图，正方形的边长为2，是等边三角形，则四边形的面积等于 ． 【答案】 2.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 【答案】 3.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 题型四：正方形的性质（探究数量关系） 1.如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为 ． 【答案】 题型五：判定正方形成立的条件 1．下列条件中，能使矩形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 3．下列命题中，正确的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 题型六：正方形判定的证明 1.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D． （1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论． （2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明． 【答案】 解：（1）四边形ACBD是矩形， 证明：∵CD平行MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵CD＝OC+OD， AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴四边形ACBD是矩形； （2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形， 证明：由（1）得四边形ACBD是矩形， ∵CB＝BD， ∴四边形ACBD是正方形． 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 【答案】 证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF＝BC， ∵D为边AB的中点，DE∥BC， ∴DE＝BC， ∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB， ∴DE＝EF； （2）解：当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形， 证明：∵四边形DBCF为平行四边形， ∴BD＝CF， ∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴AD＝CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BAC＝∠DCA＝45°， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是正方形． 3.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM＝CM． （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°， ∵M为AD中点， ∴AM＝DM， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM＝CM； （2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下： ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE＝CM， ∵MF＝CM， ∴NE＝FM， ∵NE∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形， 由（1）知△ABM≌△DCM， ∴BM＝CM， ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME＝MF， ∴平行四边形MENF是菱形； ∵M为AD中点， ∴AD＝2AM， ∵AB：AD＝1：2， ∴AD＝2AB， ∴AM＝AB， ∵∠A＝90°， ∴∠ABM＝∠AMB＝45°， 同理∠DMC＝45°， ∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形． 题型七：正方形的判定与性质综合 1.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF＝CD﹣CG＝AD﹣DH， ∴BE＝CF＝DG＝AH， 在△AEH，△BFE，△CGF，△DHG中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF， ∴四边形EFGH是菱形，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE， ∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠FEH＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EFGH是正方形； （2）解：∵AB＝7，AE＝3， ∴BE＝AH＝AB﹣AE＝7﹣3＝4， ∴EH＝＝＝5， ∵四边形EFGH是正方形， ∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20． 2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积． 【答案】（1）略 （2）4 【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠EAD． ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠FAD． ∴∠EDA＝∠EAD． ∴AE＝DE． ∴四边形AFDE是菱形． ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFDE是正方形． （2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2， ∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2． ∴四边形AFDE的面积为2×2＝4． 3.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 【答案】（1） 略（2）6 【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD． ∵EG⊥CD，EH⊥BC， ∴EG＝EH， ∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EGCH是矩形， ∴∠GEH＝90°． ∵四边形DEFM是矩形， ∴∠DEF＝90°． ∴∠DEG＝∠FEH． ∵∠EGD＝∠EHF＝90°， ∴△EGD≌△EHF（ASA）， ∴ED＝EF． ∴矩形DEFM是正方形； （2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°． ∴∠ADE＝∠CDM． ∴△ADE≌△CDM（SAS）， ∴AE＝CM． ∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6． 题型八：探究正方形中的最值问题 1．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 【答案】A 2.如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 3.如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ． 【答案】/ 4.如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 5.如图，正方形的对角线相交于点，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 题型九：正方形在坐标系中的运用 1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3） 【答案】A 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　） A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，） 【答案】A 4.正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 5.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 题型十：正方形中的多结论问题 1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 2．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后，折痕分别交于点E、G，连结．下列结论错误的是（　　） A． B．四边形是菱形 C． D． 【答案】D 3．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 4．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝4，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是2；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2；④四边形OECF的面积始终是4．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 5．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 学科网（北京）股份有限公司 $