21.3.2菱形知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版八年级数学下册（八大题型）

21.3.2菱形知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（八大题型） 知识归纳： 知识点一：菱形的性质 （1） 菱形的四条边都相等； （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 知识点二：菱形的判定定理 （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 知识点三：菱形的面积 S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n） 题型突破： 题型一：由菱形的性质求线段的长度 1.如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 2.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　） A． B．1 C． D． 3.如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（    ）    A．2 B． C．3 D．4 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　） A．4 B．2.4 C．4.8 D．5 5.如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 　　． 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC＝12，则线段CE的长为 　　． 题型二：由菱形的性质求角的度数 1.如图，菱形中，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 13．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝ °． 4．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________． 5．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ． 题型三：由菱形的性质求面积 1．一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（　　） A．40 B．20 C．10 D．25 2．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是（    ） A．9 B．18 C．36 D．72 4.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______． 题型四：由菱形的性质求点的坐标 1．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别是，，且轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的三个顶点O(0，0)，B(4，0)，顶点C的纵坐标为﹣1，则顶点A的坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 4．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 　 　． 题型五：菱形判定的条件 1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 2．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 题型六：证明四边形是菱形 1.如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF∥AB，与AD相交于点F． 求证：（1）四边形ABEF是平行四边形； （2）四边形ABEF是菱形． 2.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．求证： （1）△AED≌△CFD； （2）四边形ABCD是菱形． 题型七：菱形中多结论问题 1．已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（　　） ①S四边形OMFN＝cm2； ②MN的长度为定值； ③△OMN的形状为等边三角形； ④的最小值为3． A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④ 2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　 　． 题型八：菱形的判定与性质综合 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE． （1）求证：四边形AECD为菱形； （2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． 2.如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，AC＝8，求EF的长． 3.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长． 【答案】 21.3.2菱形知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（八大题型） 知识归纳： 知识点一：菱形的性质 （1） 菱形的四条边都相等； （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 知识点二：菱形的判定定理 （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 知识点三：菱形的面积 S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n） 题型突破： 题型一：由菱形的性质求线段的长度 1.如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 【答案】D 2.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 3.如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（    ）    A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　） A．4 B．2.4 C．4.8 D．5 【答案】C 5.如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 　　． 【答案】． 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC＝12，则线段CE的长为 　　． 【答案】3． 题型二：由菱形的性质求角的度数 1.如图，菱形中，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】A 13．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝ °． 【答案】65 4．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 5．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ． 【答案】45° 题型三：由菱形的性质求面积 1．一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（　　） A．40 B．20 C．10 D．25 【答案】B 2．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 3．如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是（    ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 4.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 5．如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______． 【答案】 题型四：由菱形的性质求点的坐标 1．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别是，，且轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的三个顶点O(0，0)，B(4，0)，顶点C的纵坐标为﹣1，则顶点A的坐标为 ． 【答案】(2，1) 3．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 【答案】（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）． 4．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　． 【答案】． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 　 　． 【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）． 题型五：菱形判定的条件 1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【答案】D． 2．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 3．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】B． 4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形 【答案】D． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 6．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 【答案】AD=DC 题型六：证明四边形是菱形 1.如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF∥AB，与AD相交于点F． 求证：（1）四边形ABEF是平行四边形； （2）四边形ABEF是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 又∵EF∥AB， ∴四边形ABEF为平行四边形， （2）∵AE平分∠BAF， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴BA＝BE， ∴平行四边形ABEF为菱形． 2.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．求证： （1）△AED≌△CFD； （2）四边形ABCD是菱形． 【答案】略 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△CFD（ASA）； （2）由（1）知，△AED≌△CFD， ∴AD＝CD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形． 题型七：菱形中多结论问题 1．已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（　　） ①S四边形OMFN＝cm2； ②MN的长度为定值； ③△OMN的形状为等边三角形； ④的最小值为3． A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④ 【答案】D 2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　 　． 【答案】①②④． 题型八：菱形的判定与性质综合 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE． （1）求证：四边形AECD为菱形； （2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． 【答案】（1）见解析过程； （2）2． 【解答】（1）证明：∵E为AB中点， ∴AB＝2AE＝2BE， ∵AB＝2CD， ∴CD＝AE， 又∵AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠EAC， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴平行四边形AECD是菱形； （2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°， ∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC， ∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°， ∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形， ∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝BC＝2， ∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2． 2.如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，AC＝8，求EF的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，E是BC的中点， ∴AE＝CE＝BC， ∴四边形AECD是菱形； （2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示 ∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝＝10， ∵△ABC的面积＝BC×AH＝AB×AC， ∴AH＝＝， ∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形， ∴CD＝CE， ∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF， ∴EF＝AH＝． 3.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）略 （2）36 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形； （2）解：如图，连接AF交BE于M，过A作AN⊥BC于N， 由（1）可知，四边形ABFE是菱形， ∴BF＝AB＝5，BM＝EM＝BE＝4，AM＝FM，AF⊥BE， ∴∠AMB＝90°， ∴AM＝＝＝3， ∴AF＝2AM＝6， ∵AN⊥BF， ∴S菱形ABFE＝BF•AN＝AF•BE， 即5AN＝×6×8， 解得：AN＝， ∵BC＝BF+CF＝5+＝， ∴S平行四边形ABCD＝BC•AN＝×＝36． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长． 【答案】（1） 略（2） 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∵AB＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵DE⊥BC， ∴OE＝BD， ∴BD＝2OE＝6， 在Rt△BED中，BE＝5，由勾股定理得：DE＝＝． ∴线段DE的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $