第八章 实数 复习学案 2025-2026 学年 人教版 七年级数学 下册

该初中数学导学案聚焦“实数”单元，核心概念涵盖平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，学习目标为理解概念、掌握运算。通过知识点系统归纳、重难点分层解析、一课一练递进设计，构建“概念理解-性质应用-综合运算”的完整学习路径。 亮点在于“易错点精准突破”与“情境化问题探究”，如“数轴上点表示无理数”任务结合“长方形对角线计算”实例，培养运算能力与几何直观，促进深度学习。配套详细解析与分层试题，为学生巩固知识和教师实施单元复习提供针对性支持。

七年级数学人教版第八章 实数 一、知识点归纳 1. 核心概念 （1）平方根与算术平方根 · 算术平方根：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根，记作，读作“根号”，叫做被开方数。特别地，0的算术平方根是0，即。 · 平方根：若一个数的平方等于，即，则这个数叫做的平方根，记作，读作“正负根号”。正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2）立方根 若一个数的立方等于，即，则这个数叫做的立方根，记作，读作“三次根号”，叫做被开方数，3叫做根指数。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，且任何数都有唯一的立方根。 （3）实数 · 定义：有理数和无理数统称为实数。 · 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，有理数都可以表示为两个整数的比值，有限小数和无限循环小数都是有理数。 · 无理数：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有三类：含的数（如、）、开方开不尽的数（如、）、特定结构的无限不循环小数（如，相邻两个1之间0的个数依次增加）。 · 实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 2. 基本性质 （1）算术平方根的性质 · （），即算术平方根具有非负性； · （）； · ，化简时需根据的正负去掉绝对值符号：当时，；当时，。 （2）立方根的性质 · ； · ； · 。 3. 实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算与有理数运算规则一致，且有理数的运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用；进行实数运算时，通常先将无理数近似为有理数（按题目要求保留小数位数），再按有理数运算顺序计算。 二、重难点讲解 1. 重点 · 理解算术平方根、平方根、立方根的定义，能准确求解一个数的平方根、算术平方根和立方根； · 区分有理数与无理数，能判断一个数是否为无理数； · 掌握实数的运算性质，熟练进行实数的混合运算。 2. 难点 · 对的理解与化简，尤其是含字母的二次根式化简； · 无理数的近似计算，以及实数运算中运算律的灵活应用； · 实数与数轴上点的对应关系，能根据数轴上点的位置判断数的大小、符号等。 3. 易错点提醒 · 混淆平方根与算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个（正的），而平方根有两个（一正一负），切勿遗漏负的平方根； · 忽略被开方数的非负性：求解二次根式有意义的条件时，必须保证被开方数，否则二次根式无意义； · 立方根的符号错误：任何数的立方根符号与原数一致，切勿将负数的立方根误判为无意义，也不要错把负数的立方根写成正数； · 化简时忘记加绝对值：直接写成，忽略为负数的情况，导致化简错误。 三、一课一练试题（完善图形参数） （一）选择题（每题3分，共18分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 16的平方根是（　　） A. B. C. D. 3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 实数包括正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数 C. 有理数都是实数，实数不都是有理数 D. 两个无理数的和一定是无理数 6. 如图，数轴上点表示的数可能是（　　） A. B. C. D. （二）填空题（每题3分，共18分） 1. 把、、、按从小到大的顺序排列：________。 2. ________；的算术平方根是________。 3. 若，则________。 4. 写出一个大于1且小于2的无理数：________。 5. 数轴上表示的点到原点的距离是________。 6. 如图，正方形的顶点在原点，边在数轴上，，以为圆心、为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是________。 （三）解答题（共64分） 1. 求下列各数的平方根和算术平方根： （1）；（2）；（3）。（6分） 2.求下列各数的立方根：（6分） （1） ；（2）；（3）。 （2） ； 3. 化简各式（12分） （1） （3） （4） 4. 计算各式（保留两位小数，10分） （1） （2） 5.已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数。（8分） 7. 如图，一个长方形的长与宽分别为和，求这个长方形的面积和对角线的长。（8分） 7.某小区要建一个面积为的正方形休闲广场，求这个广场的边长（结果保留一位小数）。（8分） 配套参考答案（严格按要求呈现） （一）选择题（客观题直接给出结果） 1. 答案：D 解析：是有限小数，是分数，是整数，均为有理数；是开方开不尽的数，属于无理数。 2. 答案：B 解析：因为，所以16的平方根是，注意不要遗漏负的平方根。 3. 答案：B 解析：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即，解得。 4. 答案：A 解析：，根据，，所以结果为，切勿直接写成。 5. 答案：C 解析：实数包括正实数、0、负实数，A错误；无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，B错误；有理数是实数的一部分，实数包含有理数和无理数，C正确；两个无理数的和可能是有理数，如，D错误。 6. 答案：B 解析：由图可知，点表示的数在1和2之间。，，，，点靠近1.5左侧，符合的范围。 （二）填空题（客观题直接给出结果） 7. 答案：； 解析：；，6的算术平方根是，注意先求的值，再求其算术平方根。 8. 答案： 解析：，，，按大小排序即可。 9. 答案：1 解析：因为，，且两者和为0，所以，，解得，，则。 10. 答案：（答案不唯一，如、等均可） 解析：大于1且小于2的无理数，可选择开方开不尽的数，如、，或特定结构的无限不循环小数。 11. 答案： 解析：数轴上点到原点的距离为该数的绝对值，。 12. 答案： 解析：正方形中，，，由勾股定理得。因为，所以点表示的数是。 解答题补充解析（完整无遗漏） 1. 求平方根和算术平方根（6分） （1）25：平方根为，算术平方根为； （2）：平方根为，算术平方根为； （3）0.09：平方根为，算术平方根为。 2. 求立方根（6分） （1）的立方根为； （2）的立方根为； （3）0的立方根为。 3. 化简各式（12分） （1）； （2）； （3）。 4. 计算各式（保留两位小数，10分） （1）； （2）。 5. 求正数的值（8分） 由正数的两个平方根互为相反数，得，解得； 其中一个平方根为，故这个正数为。 6. 求长方形面积和对角线长（8分） 面积：； 对角线长：。 7. 求正方形广场边长（8分） 设边长为，则，解得，即边长约为4.2m。 学科网（北京）股份有限公司 $