专题 3.4 乘法公式（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 3.4 乘法公式（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 1 【知识点一】平方差公式 1 【题型 1】利用平方差公式进行运算 2 【题型 2】利用平方差公式进行简便运算 3 【题型 3】平方差公式与图形面积简单应用 6 【知识点二】完全平方公式 10 【题型 4】利用完全平方公式进行运算 10 【题型 5】利用完全平方公式进行简便运算 12 【题型 6】完全平方公式与图形面积的简单应用 14 【题型 7】求完全平方公式中的字母系数 16 二.题型精析（培优篇） 18 【题型 8】平方差公式与完全平方公式综合运算 18 【题型 9】乘法公式与规律问题探究 20 【题型 10】乘法公式与图形面积综合 24 三.中考模拟真题 29 （一）单选题（6题） 29 （二）填空题（6题） 32 （三）解答题（4题） 34 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 【知识点一】平方差公式 。 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 【题型 1】利用平方差公式进行运算 【例题1】（根据浙教版91页作业题第1题改编） （24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，关键是准确识别两个因式中相同的项和互为相反数的项，将相同项作为公式中的，互为相反数的项作为公式中的，再套用公式计算． （1）观察到两个因式中是相同项，和是互为相反数的项，直接套用平方差公式计算即可； （2）先调整因式顺序，明确是相同项，和是互为相反数的项，再套用平方差公式计算． 解：（1）解：； （2）解：． 【变式1】（25-26八年级上·福建龙岩·期末）下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式为逐项判断即可． 解：选项A：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项B：， 两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项D：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若，，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查平方差公式，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平方差公式将已知条件转换，代入求解即可． 解： ． 已知 ，， ∴ ， ∴． 故答案为 ：5． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）不正确，正确结果为；（2）不正确，正确结果为；（3）不正确，正确结果为 【分析】本题考查了平方差公式． （1）根据平方差公式计算后判断即可； （2）根据平方差公式计算后判断即可； （3）根据平方差公式计算后判断即可． 解：（1）解：∵， ∴原计算错误，正确结果为； （2）解：∵， ∴原计算错误，正确结果为； （3）解：∵， ∴原计算错误，正确结果为． 【题型 2】利用平方差公式进行简便运算 【例题2】（根据浙教版91页作业题第3题改编） （25-26六年级下·全国·课后作业）运用乘法公式简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方差公式的运用，注意数字特点，灵活运算； （1）利用平方差公式展开； （2）把改为，利用平方差公式求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将式子变形后利用平方差公式计算即可． 解： ， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式特点并灵活运用是关键； 观察到1002025、1002026和1002027是三个连续整数，设，则，，原式，利用平方差公式简化计算． 解：设，则，， 原式， ， 故答案为． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用平方差公式计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点拨】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 【题型 3】平方差公式与图形面积简单应用 【例题3】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号） ① ② ③ （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： （i）若，求的值； （ii）计算：． 【答案】（1）②；（2）（i）3；（ii）16204 【分析】本题考查平方差公式与几何的综合应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）（i）利用（1）中结论进行求解即可；（ii）将式子转化为，再利用（1）中结论进行求解即可． 解：（1）解：由图1可得：； 由图2可得：； ∴； 故答案为：②； （2）（i）∵，， ∴； （ii） ． 【变式1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 解：由题意，； 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图（阴影部分面积相等），其中能够验证平方差公式的是________．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握利用两个图形阴影部分的面积相等是解题关键． 分别计算图①和图②中两个图形中的阴影部分的面积，再根据两图阴影的面积相等，可得答案． 解：题图①中，上边是一个长为、宽为的长方形，下边大正方形减去小正方形的面积为， ，能够验证平方差公式； 题图②中，左上边是一个上底为、下底为、高为的等腰梯形，下边大正方形减去小正方形的面积为， ． 题图②中，右上边是一个底边长为，高为的平行四边形，下边大正方形减去小正方形的面积为， ，能够验证平方差公式； 综上所述，能够验证平方差公式的是①②． 故答案为：①②． 【变式3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是：________________（请选择正确的选项）； A．             B． C．             D． （2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列问题： ①试说明（为整数）是3的倍数； ②已知，，求的值． 【答案】（1）D；（2）①见分析；② 【分析】本题考查完全平方公式及平方差公式在几何中得应用，解题的关键是利用公式表示出图形的面积； （1）表示出两个图阴影部分的面积，再根据相等即可求解； （2）①计算出，再根据为整数，得出是3的倍数即可；②利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解得出即可求解． 解：（1）解：根据图1知，阴影部分的面积是等于大正方形的面积减去小正方形的面积为， 图2知，阴影部分的面积是矩形的面积为， 故， 故选：D； （2）解：①， ∵为整数， ∴整数， ∴是3的倍数， ∴（为整数）是3的倍数； ②∵， ∴，，， ， ∵， ∴． 【知识点二】完全平方公式 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 【题型 4】利用完全平方公式进行运算 【例题4】（根据浙教版94页课内练习第1题改编） （24-25七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，掌握完全平方公式是解题的关键．通过对每个选项进行变形，比较与的关系，逐项判断即可． 解：A、，相等，不符合题意； B、，相等，不符合题意； C、，相等，不符合题意； D、，与不一定相等，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）若，则m的值为_____． 【答案】6 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，再根据多项式相等时对应项系数相等求出m的值. 解：， ∴， ∴. 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． （1）（2）（3）直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 解：（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型 5】利用完全平方公式进行简便运算 【例题5】（根据浙教版94页课内练习第1题改编） （25-26八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可． 解：（1）解：． （2）解：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若用简便方法计算，可以转化为计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式，将1999构造成整千数即可简化计算，故，然后利用完全平方公式展开即可． 解：， 故选：A． 【变式2】（2023八年级上·福建泉州·竞赛）简便计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，熟练运用乘法公式是解题的关键． 根据乘法公式即可进行简便运算． 解： ． 故答案为： ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【题型 6】完全平方公式与图形面积的简单应用 【例题6】（根据浙教版94页课内练习第5题改编） （25-26八年级上·福建福州·期中）若一个正方形的边长增加，它的面积增加，求原来这个正方形的边长． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，能够理解题意，列出方程本题关键，设正方形原来的边长为x厘米，列出方程然后解方程即可． 解：设原来这个正方形的边长为x厘米， 根据题意得： ， 解得：， 则原来这个正方形的边长是． 【变式1】（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图是用个全等的长方形拼成的一个大正方形，利用不同的方法计算此正方形的面积，写出一个代数恒等式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是根据不同的面积计算方式表示出大正方形的面积． 根据不同的面积计算方式表示出大正方形的面积即可得解． 解：该正方形边长为， 则面积为， 大正方形由个全等的长为，宽为的长方形及一个边长为的正方形组成， 则面积为， 即． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题的关键是掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 解：根据题意得，， ∴大正方形的边长为，负值已舍， 故答案为：． 【变式3】（18-19七年级下·安徽滁州·月考）小明同学用四张长为a、宽为b的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）图中小正方形的边长是 ； （2）通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为 ； （3）运用（2）中的结论，当时，求小正方形的边长． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据题意可知小正方形的边长等于长方形的长减去长方形的宽，据此可得答案； （2）小正方形的面积等于其边长的平方，小正方形的面积等于边长为的正方形面积减去4个长方形的面积，据此分别表示出小正方形的面积即可得到结论； （3）根据（2）所求可求出的值，进而可求出的值． 解：（1）解：由题意得，图中小正方形的边长是； （2）解：图中小正方形的边长是，则其面积为， 图中小正方形的面积等于边长为的正方形面积减去4个长方形的面积，则其面积为， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的边长为4． 【题型 7】求完全平方公式中的字母系数 【例题7】（24-25八年级下·全国·假期作业）若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点解答即可求解，掌握完全平方式的特点是解题的关键． 解：， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即的值为． 【变式1】（25-26八年级上·河南开封·期末）已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据代数式为完全平方式，需满足其形式为，据此求解即可． 解：关于x的代数式为完全平方式， 设其等于，即， ， 当时，，解得； 当时，，解得， 故k的值为4或． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如果多项式是完全平方式，那么m的值是________． 【答案】100 【分析】本题考查完全平方式，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义，将其化为，即可求出． 解：∵多项式是完全平方式， ∴． 故答案为：100． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知关于x的代数式是乘法完全平方式展开的，求字母a的值． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．根据题意可得，解得的值即可． 解：关于的代数式是乘法完全平方式展开的， 解得：或． 二.题型精析（培优篇） 【题型 8】平方差公式与完全平方公式综合运算 【例题8】（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先由平方差公式进行两次计算，再由完全平方公式计算． 解： ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，那么的结果是_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而根据，即，代入可得答案． 解：， ， 由得， ∴原式． 故答案为：6． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，乘法公式，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入计算即可得到答案． 解： ， 当，时，原式． 【题型 9】乘法公式与规律问题探究 【例题9】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： ，① ，② ，③ …… （1）根据上述规律，试写出第4个等式：_________； （2）①根据上述规律，试写出第个等式：_________； ②证明①中的等式成立． 【答案】（1）；（2）①；②见分析 【分析】本题考查了数字类规律探索、完全平方公式，根据题意用代数式表示出规律是解题的关键． （1）仿照题意，写出第4个等式即可； （2）①用代数式表示出规律即可；②利用整式的乘法、完全平方公式即可证明． 解：（1）解：由题意得，第4个等式为：； 故答案为：； （2）①解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 依此类推，第个等式为：； 故答案为：； ②证明：等式左边， 等式右边， ∴，即①中的等式成立． 【变式1】（23-24八年级上·河南南阳·月考）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在（n为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成下表（展开后每一项按a的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】根据“杨辉三角”找规律，可知展开后的系数为n，据此即可作答． 解：根据题意可得： ， ∴展开式中含项的系数是2022， 故选：B． 【点拨】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据“杨辉三角”归纳得出展开后的系数为n． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期中）一列整式依次为：，另一列整式依次为：．按照上述规律，则__________（用含的代数式表示）；若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先研究已有过程，则，总结规律得，且为正整数，再分别表示，然后根据列式计算，即可作答． 解：∵且， ∴ ∴， ∴， …… 以此类推 得，且为正整数， ∴， ∴ ， ∵， ∴ 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·上海·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释了二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 （，2，3，…）的展开式的系数规律（按a的幂次由大到小的顺序排列）： 1 1                 1 2 1             1 3 3 1             1 4 6 4 1             …… 请依据上述规律，写出： （1）的展开式：　　　　； （2）的展开式：　　　　； （3）的展开式中的系数是　　　　； （4）的展开式中的系数是　　　　． 【答案】（1）；（2）；（3）2024；（4） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，多项式乘法中的规律性问题，单项式的系数等知识，掌握杨辉三角的规律是解题的关键． （1）按照杨辉三角展开式的规律直接代入计算即可． （2）按照杨辉三角展开式的规律直接代入计算即可． （3）由杨辉三角规律可知：含的项是的展开式中的第二项，写出的展开式中第二项即可得出答案． （4）由杨辉三角规律可知：含的项是的展开式中的第二项，写出的展开式中第二项即可得出答案． 解：（1）解： （2）解：由杨辉三角可知：， ∴ （3）解：由杨辉三角规律可知：含的项是的展开式中的第二项， ∴的展开式中第二项为： ∴的展开式中的系数是2024． （4）解：∵的展开式中是第二项即， ∴的展开式中的系数是． 【题型 10】乘法公式与图形面积综合 【例题10】（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见分析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 解：（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点拨】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式与几何图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可． 解：根据题意，得，， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·月考）有两个正方形，将放在的内部得图1，将并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和54，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】114 【分析】设正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握性质和公式的变形是解题的关键． 解：设正方形的边长分别为x，y， 图1可得，， ∴， 图2可得，， ∴，即， 故， 故， 故图2中大正方形的面积为114， 故答案为：114． 【变式3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． （1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ （2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． （3）用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 【答案】（1）需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张；（2）12；（3）， 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）根据完全平方式的特点，即可求解； （3）由题意可得，根据，求出，进而求出即可． 解：（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； （2）解：∵A型卡片9张，再取B型卡片4张的面积之和为， ∴添加能与组成一个完全平方式， 即是一个完全平方式，故， ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需C型卡片12张； 故答案为：12； （3）解：∵C型卡片的面积为48， ∴， ， 又阴影部分的面积为32， ∴， 解得：（负值已舍去）， 又， ∴， ∴，． 三.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 解：A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 2．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可． 解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 4．（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，拼成大正方形时，总面积需为完全平方式，现有面积为，需添加张纸片，使 为完全平方式，据此求解即可． 解：∵为完全平方式，且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张， 故选：B． 6．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． （2） 填空题（6题） 7．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，直接利用平方差公式进行计算即可. 解：； 故答案为： 8．（2025·江苏南通·模拟预测）若，，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，根据完全平方公式得出，代入求出即可． 解：， ， 故答案为：． 9．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点拨】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 10．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）定义一种新运算： 则 _____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的运算． 根据新定义，将和代入公式，然后利用整式的乘法公式和合并同类项进行化简 解：由新运算定义，， 则 ． 故答案为：． 11．（2025·山东聊城·三模）已知，则的值是________． 【答案】4 【分析】本题主要的考查整式的混合运算，先将变形为，再把整理为，最后整体代入计算即可 解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 12．（2025·湖南娄底·三模）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”按照这个规定，最小的“方减数”是______． 【答案】 【分析】设，则，，要使最小，需分析并确定和的最小值，代入即可求解． 本题考查了新定义，正确理解题意是解题的关键． 解：设，则， 由题意得：， ，“方减数”最小， ， 则，， ， 则当时，最小，为， 故答案为：． （3） 解答题（4题） 13．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解： ， 当时，原式． 14．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 15．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， （1）写出第个式子： ． （2）按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】（）通过题干中的等式找出规律解答即可； （）根据（）找出规律写出等式，并通过计算进行证明即可； 本题考查了数字的变化规律，完全平方公式，根据题干的式子找出规律是解题的关键． 解：（1）解：第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 故答案为：； （2）解：由（）的规律可得，第个等式为． 证明：∵， ， ∴， 故答案为：． 16．（2025·安徽蚌埠·三模）杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合． 行数              系数              展开式                 1                                1  1                         1  2  1                      1   3  3  1         …… 上图呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题： （1）在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是 ； （2）当时，在系数中，从左边数第 n行第3个数是 （用含 n的式子表示）； （3）展开后各项的系数和为 （用含 n 的式子表示） 【答案】（1）15；（2）；（3） 【分析】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键． （1）利用杨辉三角每行数字左右对称、由1开始先变大后变小、除两端1外每个数等于肩上两数之和等规律，依次写出前7行数字，从而得出第7行第3个数． （2）通过列举第4、5、6、7行第3个数的计算过程，发现规律为从1加到，进而得出第n行第3个数的表达式,得出展开式各项系数和的表达式 （3）分别计算，等展开式各项系数和，发现各项系数的规律可得结论； 解：（1）杨辉三角有这样的规律：每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1 ；第n行的数字个数为n个；除了每行两端的1，每个数都等于它肩上两数之和． 第1行：1 第2行：1，1 第3行：1，2，1 第4行：1，3，3，1 第5行：1，4，6，4，1 第6行：1，5，10，10，5，1 第7行：1，6，15，20，15，6，1 所以从左边数第7行第3个数是15． 故答案为：15； （2）第4行第3个数是． 第5行第3个数是． 第6行第3个数是． 第7行第3个数是． …… 第n行第3个数是 故答案为：； （3）第二行：，，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 乘法公式（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 1 【知识点一】平方差公式 1 【题型 1】利用平方差公式进行运算 2 【题型 2】利用平方差公式进行简便运算 2 【题型 3】平方差公式与图形面积简单应用 2 【知识点二】完全平方公式 4 【题型 4】利用完全平方公式进行运算 4 【题型 5】利用完全平方公式进行简便运算 5 【题型 6】完全平方公式与图形面积的简单应用 5 【题型 7】求完全平方公式中的字母系数 6 二.题型精析（培优篇） 7 【题型 8】平方差公式与完全平方公式综合运算 7 【题型 9】乘法公式与规律问题探究 7 【题型 10】乘法公式与图形面积综合 9 三.中考模拟真题 10 （一）单选题（6题） 10 （二）填空题（6题） 11 （三）解答题（4题） 11 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 【知识点一】平方差公式 。 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 【题型 1】利用平方差公式进行运算 【例题1】（根据浙教版91页作业题第1题改编） （24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级上·福建龙岩·期末）下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若，，则的值为__________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． （1）； （2）； （3）． 【题型 2】利用平方差公式进行简便运算 【例题2】（根据浙教版91页作业题第3题改编） （25-26六年级下·全国·课后作业）运用乘法公式简便计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用平方差公式计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【题型 3】平方差公式与图形面积简单应用 【例题3】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号） ① ② ③ （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： （i）若，求的值； （ii）计算：． 【变式1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图（阴影部分面积相等），其中能够验证平方差公式的是________．（填序号） 【变式3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是：________________（请选择正确的选项）； A．             B． C．             D． （2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列问题： ①试说明（为整数）是3的倍数； ②已知，，求的值． 【知识点二】完全平方公式 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 【题型 4】利用完全平方公式进行运算 【例题4】（根据浙教版94页课内练习第1题改编） （24-25七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）若，则m的值为_____． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． （3）． 【题型 5】利用完全平方公式进行简便运算 【例题5】（根据浙教版94页课内练习第1题改编） （25-26八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若用简便方法计算，可以转化为计算（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023八年级上·福建泉州·竞赛）简便计算：______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： （1）； （2）． 【题型 6】完全平方公式与图形面积的简单应用 【例题6】（根据浙教版94页课内练习第5题改编） （25-26八年级上·福建福州·期中）若一个正方形的边长增加，它的面积增加，求原来这个正方形的边长． 【变式1】（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图是用个全等的长方形拼成的一个大正方形，利用不同的方法计算此正方形的面积，写出一个代数恒等式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示） 【变式3】（18-19七年级下·安徽滁州·月考）小明同学用四张长为a、宽为b的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）图中小正方形的边长是 ； （2）通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为 ； （3）运用（2）中的结论，当时，求小正方形的边长． 【题型 7】求完全平方公式中的字母系数 【例题7】（24-25八年级下·全国·假期作业）若多项式是一个完全平方式，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·河南开封·期末）已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如果多项式是完全平方式，那么m的值是________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知关于x的代数式是乘法完全平方式展开的，求字母a的值． 二.题型精析（培优篇） 【题型 8】平方差公式与完全平方公式综合运算 【例题8】（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： （1）． （2）． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，那么的结果是_____． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中，． 【题型 9】乘法公式与规律问题探究 【例题9】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： ，① ，② ，③ …… （1）根据上述规律，试写出第4个等式：_________； （2）①根据上述规律，试写出第个等式：_________； ②证明①中的等式成立． 【变式1】（23-24八年级上·河南南阳·月考）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在（n为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成下表（展开后每一项按a的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期中）一列整式依次为：，另一列整式依次为：．按照上述规律，则__________（用含的代数式表示）；若，则的值为__________． 【变式3】（24-25七年级上·上海·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释了二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 （，2，3，…）的展开式的系数规律（按a的幂次由大到小的顺序排列）： 1 1                 1 2 1             1 3 3 1             1 4 6 4 1             …… 请依据上述规律，写出： （1）的展开式：　　　　； （2）的展开式：　　　　； （3）的展开式中的系数是　　　　； （4）的展开式中的系数是　　　　． 【题型 10】乘法公式与图形面积综合 【例题10】（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·月考）有两个正方形，将放在的内部得图1，将并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和54，则图2中大正方形的面积为______． 【变式3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． （1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ （2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． （3）用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 三.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 5．（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 6．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（6题） 7．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：_____． 8．（2025·江苏南通·模拟预测）若，，则 ______． 9．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是_________． 10．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）定义一种新运算： 则 _____． 11．（2025·山东聊城·三模）已知，则的值是________． 12．（2025·湖南娄底·三模）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”按照这个规定，最小的“方减数”是______． （3） 解答题（4题） 13．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 14．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 15．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， （1）写出第个式子： ． （2）按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 16．（2025·安徽蚌埠·三模）杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合． 行数              系数              展开式                 1                                1  1                         1  2  1                      1   3  3  1         …… 上图呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题： （1）在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是 ； （2）当时，在系数中，从左边数第 n行第3个数是 （用含 n的式子表示）； （3）展开后各项的系数和为 （用含 n 的式子表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $