8.6 一元二次方程的应用 同步练习 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

8.6 一元二次方程的应用 第 1课时几何问题 基础夯实 1.某小区原有一块长为50 m，宽为 40 m 的矩形健身场地，现计划在场内沿四周铺一圈宽度相等的小路，使小路所占的面积是原面积的 ，设这条小路的宽度为x 米，则所列方程正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何?”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步?依题意得，长比宽多 ( ) A.15步 B.12步 C.9 步 D.6步 3.如图是由三个边长分别为 6，9，x的正方形所组成的图形，若直线 AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值为 . 4.现要在一个长为35 m，宽为 22 m 的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为 625 m²，设小道的宽为x m，则根据题意，可列方程为 易错点悟 忽视根的合理性，忘记验根 5.如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙(墙长22 m)，另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为 700 m²，求这个长方形存车处的长和宽. 能力提升 6.如图,某小区计划在一个长 16 m、宽 9 m 的矩形场地 ABCD 上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB 平行，水平的与 AD 平行，其余部分种草.已知草坪部分的总面积为112 m²,设小路宽 x m，若x 满足方程 则修建的示意图是( ) 7.如图，将边长为40 cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子(纸板的厚度忽略不计)若该无盖盒子的底面积为 900 cm²，盒子的容积是 ( ) A. B. C. D. 8.有一块矩形土地，宽为120 m，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙均为正方形，现计划甲建住宅区，乙建商场，丙地开发成面积为 的公园.如果设这块矩形土地的长为 x m，那么根据题意列出的方程是 素养培优 9.如图，老李想用长为 70 m 的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD，并在边 BC 上留一个2m 宽的门(建在EF 处，另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 的羊圈? (2)羊圈的面积能达到650 m² 吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 第 2课时 平均增长(降低)率问题 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 1.(2024·临沂临沭县模拟)苍源河公园结合临沭的文化和地域特色，为临沭打造了一片集运动、休闲、游憩、文化体验为一体的滨水空间.该项目 2023 年第一季度共投入资金0.4亿元，第三季度共投入资金0.6亿元，设第二、三季度投入资金的平均增长率为x，则依题意可列方程为 ( ) A. B.0.4(1+2x)=0.6 C. D. 2.随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是 6 000元，现在生产一吨药的成本是 3 600 元.设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是 ( ) A. B. C. D. 3.(2024·济南莱芜区月考改编)2024年春节(2月 10 日)某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2 个月，至4 月10 日最后一天公映，累计票房收入达 34.6亿元，若把平均每月的增长率记作x，则方程正确的为 ( ) A.4(1+x)=34.6 B. C. D. 4.李师傅家的超市今年1月盈利3 000元,3 月盈利 3 630 元.若从 1 月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 ( ) A.10.5% B.10% C.20% D.21% 5.(2024·济宁学院附属中学模拟)习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.某校开展师生阅读活动，打造书香校园.据统计，九(1)班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次.设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 . 6.为进一步提高某届学生的阅读量，学校积极开展课外阅读活动，目标将该届学生人均阅读量从刚上七年级的 80万字增加到八年级结束时的115.2 万字. (1)求该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率； (2)若按这两年中每年的平均增长率增长，学校能否实现九年级结束时该届学生人均阅读量达到140万字的目标，请计算说明. 能力提升 7.某化肥厂第一季度生产化肥50 万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是x，则第二、三季度的总产量为 万吨. ( ) A. B.[50+50(1+x)] C. D. 8.某企业因生产转型，二月份的产值比一月份的产值下降20%，转型成功后生产呈现出上升趋势，四月份的产值比一月份的产值增长15.2%.若三、四月份的月平均增长率为x，则以下关系正确的是 ( ) A.(1-20%)(1+2x)=1+15.2% B.(1-20%)(1+x)=1+15.2% C.(1-20%)(1+15.2%)=(1+x)² D. 9.(2024·淄博)“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到 2023年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100 套，每套售价1 600 元；若超过100套，每增加 10 套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于 1 000 元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数. 素养培优 10.据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的 21名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员? 第3课时销售利润问题 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 1.(2024·济宁嘉祥县期末)近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是军大衣更有性价比”的说法.察觉到商机的某服装超市以每件80元购进一批军大衣，经调查发现，定价为每件130元时，一天可以卖出100件，每降价1元，可以多卖出 10 件，服装超市一天要想获得 8 000 元利润，应降价多少元?设降价 x 元，则由题意列方程应为 ( ) A.(50-x)(100-10x)=8000 B.(50+x)(100-10x)=8000 C.(80-x)(100+10x)=8000 D.(50-x)(100+10x)=8000 2.某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元.当每瓶售价为10 元时，日均销售量为160 瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶.若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为 ( ) A.11元 B.12元 C.13元 D.14元 3.(2024·潍坊模拟)在过去的2023年,直播电商一词，我们并不陌生.原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5 元，日销售量增加 10 件.若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元. 4.每年的4 月 12 日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日.我国在 2023 年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就.某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列 A、B两款模型，A款模型比 B 款模型售价低20元，800 元购买A 款模型的数量与 960 元购买 B 款模型的数量相等.按定价销售一段时间后发现 B 款模型每天可以卖15件.为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件. (1)A、B两款模型每件售价分别是多少? (2)为了使 B 款模型每天的销售额为 1 900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B 款模型降价后每件售价为多少元. 能力提升 5.某超市销售一批玩具，平均每天可售出 120件，每件盈利 4 元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少 10件；售价每降1元，销售量增加10件.爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a 元与降b 元所获得的利润相同，则a与b满足 ( ) A. a-b=4 B. a-b=8 C. a+b=4 D. a+b=8 6.某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是 50 元时，每天的销售量是 100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件.但要求销售单价不得超过 65 元.要使每天销售这种工艺品盈利1 350 元，那么每件工艺品售价应为 元. 7.[应用意识]第九届亚洲冬季运动会将于2025年 2 月 7 日至 2 月 14 日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中.某商场经销一种成本为每套40元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于50元.据市场分析，若按每套 50 元销售，一个月能售出500 套；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少10套，针对这种商品的销售情况，解答下列问题： (1)当销售单价定为55 元时，该商品的月销售量为 套，月销售利润为 元； (2)若该商场想在月销售成本不超过 10 000元的情况下，使每月销售利润达到 8 000 元，则该商品的销售单价应定为每套多少元? 素养培优 8.2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”粽子礼盒和“事事高中”粽子礼盒.甲公司从元祖食品店购买了这两种礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”粽子礼盒的单价是“冰淇淋粽”粽子礼盒单价的1.5倍，且花费6 000 元购买的“冰淇淋粽”粽子礼盒的数量比花费7 200 元购买的“事事高中”粽子礼盒的数量多5 盒. (1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元； (2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销.其中每盒“冰淇淋粽”粽子礼盒降价 6m 元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价 5m 元.乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”粽子礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”粽子礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”粽子礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”粽子礼盒的数量多 m盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m 的值. 第 4课时 动态几何问题 基础夯实 1.(2024·威海荣成市期中)如图,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=7,BC=5,点 P 从点 B出发向终点C 以 1 个单位长度/s移动，点Q从点C 出发向终点 A 以 2 个单位长度/s移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P,Q 两点同时停止,则 秒后,△PCQ的面积等于4. ( ) A.1 B.2 C.4 D.1或4 2.如图,将边长为12 cm的正方形ABCD 沿其对角线 AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为 32 cm²，则它移动的距离AA'等于 ( ) A.4 cm B.8cm C.6 cm D.4 cm或8cm 3.如图,在矩形ABCD 中,AB=16 cm,BC=6 cm,点 P 从点 A 出发沿AB 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；同时，点 Q 从点 C 出发沿边CD 以 2cm /s的速度向点 D 移动.设运动时间为 t s,当 PQ=10 cm时,t= ( ) A. B. 或4 C. 或 D.4 4. 如图,∠AOB = 90°,OA = 36 cm,OB =12 cm,一个小球从点 A 出发沿着 AO 方向滚向点O，另一小球立即从点 B 出发，沿BC匀速前进拦截小球，恰好在点 C 处截住了小球.若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程 BC 是 cm. 5.如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，并分别以顺时针的方向沿圆周运动.甲运动的路程s(cm)与时间 t(s)满足 乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm. (1)甲运动6s 后的路程是 ； (2)甲从运动开始到第一次追上乙时，它们运动了多长时间? (3)甲从运动开始到第二次追上乙时，它们运动了多长时间? 能力提升 6.如图,在等腰△ABC 中,∠B= 90°, AB = BC =8cm,动点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 移动,作PQ∥AC, PR ∥BC, 当□PQCR 的面积为△ABC 面积的一半时,点 P 移动的路程为 ( ) A.3cm B.4 cm C.5cm D.6 cm 7.如图1.矩形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点,点 P 沿 BC 从点 B 运动到点 C,设 B,P 两点间的距离为x,PA-PE=y,图2 是点 P运动时y 随x 变化的关系图象，则BC 的长为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.[教材 P79 习题 8.14T2 变式]如图,在△ABC 中,∠B = 90°,AB = 6 cm,BC =3c m,点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以2cm /s的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿BC边向点 C 以 1 cm/s的速度移动,如果 P ,Q两点同时出发， s后△APQ 是等腰三角形. 9.如图,菱形 ABCD 中,AC,BD 交于点O,AC=8cm,BD=6 cm,动点 M 从A 出发沿AC 方向以每秒2cm 匀速直线运动到 C，动点 N 从 B 出发沿BD 方向以每秒1 cm 匀速直线运动到 D，若M，N同时出发，出发后 s时,△MON 的面积为菱形ABCD面积的 10.如图所示,△ABC 中,∠B =90°,AB =6 cm,BC=8cm . (1)点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动,如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P 和点Q 间的距离是 6 cm? (2)点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿BC 边向点 C 以 2cm /s的速度移动.如果P,Q 分别从A,B 同时出发,线段 PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分?若能，求出运动时间；若不能，说明理由； (3)若点 P 沿射线AB 方向从点 A 出发以1 cm/s 的速度移动,点 Q 沿射线CB 方向从点C 出发以 2cm/s的速度移动,P,Q 同时出发，问几秒后，△PBQ 的面积为1 cm²? 11.如图,在四边形ABCD 中,AB∥DC,AD=BC=5cm ,AB=12 cm,CD=6 cm,点 P从A 开始沿AB 边向 B 以每秒 3c m 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向 D 以每秒1 cm的速度移动，如果点 P ，Q 分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止.设运动时间为t 秒. (1)求证:当 时，四边形APQD 是平行四边形； (2)PQ 是否可能平分对角线BD?若能，求出当t 为何值时PQ 平分BD；若不能，请说明理由； (3)若△DPQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形,求t 的值. 素养培优 12.如图,在△ABC 中,AB=BC=5,△ABC的面积为 ,AD 是边 BC上的高,动点 P从点 B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 BD-DA 匀速向终点 A 运动,点 P 不与点A,B 重合,连接AP,PC.设点 P 的运动时间为t 秒. (1)求AD 的长; (2)用含 t 的代数式表示PD 的长； (3)在点 P 运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时,求△ACP 的面积; (4)点P 在 BD 上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点 P 为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形时，直接写出t 的值. 第1课时 几何问题 1. D 2. D 3.3或6 4.(35-2x)(22-x)=625 5.解：设长方形与墙平行一边的长为x m， 依题意，得 解得 由于墙长22 m,x₁=70不合题意,应舍去,∴x=20. 当x=20时, ∴这个长方形存车处的长和宽分别是35 m和20 m. 6. C 7. C 8. x²-360x+32000=0 9.解:(1)设矩形 ABCD 的边AB=x m, 则边 BC=70-2x+2=(72-2x)m. 根据题意,得x(72-2x)=640, 化简，得 解得 当x=16时,72-2x=72-32=40; 当x=20时,72-2x=72-40=32. 答:当羊圈的长为40m,宽为16 m或长为32 m,宽为20m时，能围成一个面积为( 的羊圈. (2)不能. 理由:由题意,得x(72-2x)=650, 化简，得 ∴一元二次方程没有实数根. ∴羊圈的面积不能达到650 m². 第2课时 平均增长(降低)率问题 1. C 2. C 3. D 4. B 6.解：(1)设该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率为x, 依题意，得 解得 (不符合题意,舍去),x₂=0.2=20%. 答：该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率为20%. (2)按照(1)中的阅读量增长率，九年级结束时该届学生人均阅读量为115.2×(1+20%)=138.24(万字), ∵140>138.24,∴学校的目标不能实现. 7. C 8. D 9.解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为m. 由题意得 解得m=25%或-2.25(舍去). 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%. (2)设购买这种健身器材x套. ∵240 000÷1 600=150(套),150>100, ∴市政府从 A公司购买套数超过100套. 由题意得 化简得 解得x=300或200. 由题意得 ∴100<x≤250,∴x=200. 答：购买这种健身器材的套数为 200套. 10.解：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 由题意，得 解得 (舍去). 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%. (2)四月份:12.1×(1+10%)=13.31(万件), 21×0.6=12.6<13.31, ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年四月份的快递投递任务. 即至少需要增加2名业务员. 第3课时 销售利润问题 1. D 2. A 3.50 解析：设售价应定为x元，则每件的利润为(x-40)元，日销售量为 件.依题意，得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20, 整理，得 ，解得 故若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元. 4.解：(1)设A 款模型每件售价是x元，则B 款模型每件售价是(x+20)元.根据题意,得 解得x=100. 经检验，x=100是方程的解，且符合题意. ∴x+20=120, ∴A 款模型每件售价100元，B 款模型每件售价 120 元. (2)设B 款模型每件下降5m 元，根据题意，得 (15+m)(120-5m)=1900,解得 ∵尽可能让顾客得到实惠,∴m=5.∴120-5m=95, ∴B 款模型降价后每件售价为95 元. 5. B 6.55 7.解：(1)设销售单价涨x 元，则月销售量减少10x套，设利润为ω, ∴w=(50-40+x)(500-10x). ∵当销售单价定为55元时,x=55-50=5, ∴月销售量减少10×5=50(套). ∴该商品的月销售量为500-50=450(套), ∴利润w=(50-40+5)(500-50)=6 750(元). 答案:4506750 (2)由(1)知ω=(50-40+x)(500-10x). ∵每月销售利润达到8000元， ∴w=(50-40+x)(500-10x)=8000,解得 ∵当x=10时,销售单价为60元, 此时成本为40×[500-10×10]=16 000>10 000,故不符合题意： 当x=30时，销售单价为80元， 此时成本为 40×[500-10×30]=8 000<10 000,符合题意. 故该商品的销售单价应定为每套80元. S.解：(1)设“冰淇淋综“粽子礼盒的单价为x 元，则“事事高中”标于礼盒的单价为1.5x 元、 根据题意，得 解得x=240,经检验，x=240是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x=96), ∴“冰淇游粽”粽子礼盒的单价为240元、“事事高中”粽子礼盒的单价为560元。 (2)由(1)，知甲公司购买“冰淇淋棕”粽子礼盒 盒, “事事高中”粽子礼盒25-5=20盒, 根据题意，得 6000+7 200, 整理，得 解得m=12或m=0(舍去),∴m 的值为12. 第4课时 动态几何问题 1. A 解析:设t 秒后,△PCQ 的面积等于4. 由题意,得BP=ι. CQ=2r,则CP=5-t. 整理，得 解得 (不合题意，舍去). 即1秒后,△POQ的面积等于4.故选 A. 2. D 解析:设AA'=xcm,则A'D=(12-x) cm.∵题图中四边形 ABCD 是正方形,∴∠D=∠DAB=90°,∠DAC=∠BAC=45°.∵如图,△A'B'C'由△ABC 沿着AD方向平移得到,∴∠B'A'C'=45°,A'B'⊥AD,∴A'E∥CF, ∴A′F∥EC.∴四边形 A′ECF 为平行四边形,所以 ,解得x=4或8. 故选 D. 3. C 解析:设P,Q 两点从出发经过t s时,点 P,Q间的距离是 10 cm.如图,作 PH⊥CD,垂足为 H. 则易得PH=BC=6,PQ=10,HQ=|16-5t|. 解得 ∴P，Q 两点从出发经过 s或 s时，点 P，Q间的距离是10 cm.故选C. 4.20 解析:由题意,知∠AOB =90°,OA =36 cm,OB =12 cm.设AC=x cm,则OC=(36-x) cm, 在Rt△BOC 中, ∵两个小球滚动的速度相等，设速度为 v，根据题意，一个小球从点 A 出发，另一小球立即从点 B 出发，恰好在点 C处截住，可知两小球运动时间相等， 解得x=20, ∴BC=20cm. 5.解:(1)27 cm (2)由题，可知甲从运动开始到第一次追上乙时，甲走过的路程比乙走过的路程多21 cm，甲走过的路程为 t) cm,乙走过的路程为4 t cm, 解得 (舍去). ∴甲从运动开始到第一次追上乙时，它们运动了 (3)由题，可知甲从运动开始到第二次追上乙时，甲走过的路比乙走过的路程多21×3=63(cm)，甲走过的路程为 乙走过的路程为4 t cm， 解得 (舍去), ∴甲从运动开始到第二次追上乙时，它们运动了14 s. 6. B 解析:设.AP=x cm,则 PB=(8-x) cm. ∵∠B=90°,AB=BC=8cm,∴∠A=45°. ∵PR∥BC,∴∠APR=90°,∴PR=PA=x cm. ∵▱PQCR 的面积为△ABC 面积的一半, 解得 ∴点 P 移动的路程为4 cm.故选 B. 7. C 解析:由题图2,可知当点P 位于点B 时,PA-PE=1,即AB-BE=1,∴BA=BE+1. 当点 P 位于点E时,PA-PE=5,即AE-0=5, ∴AE=5. ∵在矩形ABCD中,∠B=90°, 即 ∵BE>0,∴BE=3. ∵点E 为BC 的中点,∴BC=6.故选 C. 9.1 或 4 解析:设出发后x 秒时, 则AM=2x,BN=x. ∵四边形ABCD 是菱形,AC=8,BD=6, 8×6=24, 当x<2时,点M 在线段AO上,点 N 在线段BO上. 此时OM=OA-AM=4-2x,ON=OB-BN=3-x, 则 解得 (舍去); 当2<x<3时,点M 在线段OC 上,点 N 在线段BO 上, 此时OM=AM-OA=2x-4,ON=OB-BN=3-x, 则 化简为 此时方程△<0，原方程无实数解； 当x>3时,点M 在线段OC 上,点 N 在线段OD 上,此时OM=AM-OA=2x-4,ON=BN-OB=x-3,则 解得 (舍去), 综上所述，出发后1s或4s 时， 10.解:(1)设经过x秒,点 P 和点Q 间的距离是6cm,依题意，得( 解得 经检验,x₂=2.4符合题意. 故经过2.4秒,点 P 和点Q 间的距离是 6 cm. (2)不能.理由如下:设经过y 秒,线段 PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分，依题意，得 △ABC的面积 ∴△BPQ 的面积 即 ∵△=b²-4ac=36-4×12=-12<0, ∴此方程无实数根， ∴线段 PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分. (3)①设经过m 秒,点 P 在线段AB 上,点 Q 在线段CB上(0<m≤4), 依题意，有 即 解得 经检验 不符合题意，舍去， ②设经过n秒,点 P 在线段AB 上,点 Q 在线段CB 的延长线上(4<n≤6),依题意,有 即 解得 经检验，n=5符合题意. ③设经过k秒，点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上(k>6), 依题意，有 即 解得 经检验， 不符合题意，舍去， 综上所述，经过( 秒或5秒或( 秒后,△PBQ的面积为1 cm². 11.(1)证明: ∴当t=4秒时，两点停止运动. ∵在运动过程中AP=3t,CQ=t, ∴BP=12-3t,DQ=6-t. 当 时， ∴AP=DQ. 又∵四边形ABCD 为等腰梯形,∴AP∥DQ, ∴四边形APQD 为平行四边形. (2)解:PQ能平分对角线BD. 连接 BD 交 PQ 于点 E,如图 1所示。 若 PQ平分对角线BD，则 DE=BE. ∵CD∥AB, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 在△DEQ 和△BEP 中, ∴△DEQ≌△BEP(AAS),∴DQ=BP. ∴6-t=12-3t,解得t=3,符合题意, ∴当t=3秒时,PQ平分对角线BD. (3)解：分两种情况： ①当 PQ=PD 时,作 DN⊥AB于N,QM⊥AB 于M,CE⊥AB于E，如图2所示， 则易得DN=QM, ME=CQ=t, ∴PN=AP-AN=3t-3, PM=BP-BE-ME=9-4t. 在 Rt△DNP 和 Rt△QMP 中, ∴△DNP≌△QMP, ∴PN=PM, ∴3t-3=9-4t, 解得 ②当PQ=DQ=6-t时,则 在 Rt△AND 中, ∵AD=5,AN=3, ∴DN=4,∴QM=4. 由勾股定理，得. 整理，得 得△<0，故方程无解. 综上所述，若△DPQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形，t的值为 12.解::(1)∵AB=BC=5,△ABC 的面积为- ,AD是边 BC上的高， 解得AD=3. (2)∵AB=BC=5,AD=3,AD 是BC 边上的高, ∵动点 P 从点 B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BD-DA 匀速向终点A 运动、 ∴①当点 P 在BD 上运动时(即0<t≤t时),有 BP=t、 ∴PD=BD-BP=4-t; ②当点P 在DA 上运动时(即4<t<7时),有BD+DP=t、∴PD=r-BD=t-1. 综上所述,当0<t≤4时,PD=4-t;当4<t<7时,PD=1-4, (3)①当点 P 在BD 上运动,△APD 为等腰直角三角形时,有AD=PD, ∴3=4-t,解得t=1,∴BP=1,∴PC=5-1=4, ∴△ACP 的面积为 ③当点 P 在DA 上运动，△PDC 为等腰直角三角形时，有DC=PD, ∴DC+BD=PD+BD=5,∴t=5, ∴PD=DC=5-4=1,∴AP=AD-PD=3-1=2, ∴△ACP 的面积为 综上所述,△ACP 的面积为6 或1. (4)点P 在BD 上运动，图中存在以点 P 为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况： ①△APC 为等腰三角形,且AP=AC. ∵AD⊥PC,∴PD=CD=BC-BD=5-4=1, ∴BP=BD-PD=4-1=3.∴t= =3. ②△APC 为等腰三角形,且PC=AC, 整理，得( 解得 (不合题意，舍去), ③△ABP 为等腰三角形,且BP=AP,则. 即 解得 综上所述，t的值为3或 或258. 学科网（北京）股份有限公司 $