专题7.1相交线【七大考点+七大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题7.1相交线 【考点梳理】 、【 知识梳理】 知识点1：直线的位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系： 相交：有且只有一个公共点。 平行：没有公共点。 知识点二、垂线与垂线段 1. 垂直的定义 两条直线相交，所成四个角中有一个角是直角（90°），则称这两条直线互相垂直。 垂线：互相垂直的两条直线，其中一条叫做另一条的垂线。 垂足：两条垂线的交点。 2. 垂线的性质 序号 性质描述 关键点 ① 唯一性 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ② 角度特征 两直线垂直 ⇒ 所成四个角均为直角。 ③ 传递性 同一平面内，若直线 a⊥b，且 b∥c，则 a⊥c。 3. 距离与最短路径 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。(注意：距离是一个数值，不是图形) 知识点三：相交线中的角（三线八角） 1. 基础角对：对顶角 & 邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2 邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 2. 进阶角对：同位角、内错角、同旁内角 两条直线被 第三条直线（截线） 所截，形成 8 个角。 角的类型 口诀记忆 位置特征 典型示例 同位角 同旁同侧 在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧。 形如字母 “F” 内错角 内部异侧 在截线的两侧，且夹在两被截直线内部。 形如字母 “Z” 同旁内角 同旁内侧 在截线的同旁，且夹在两被截直线内部。 形如字母 “U” 四、速记锦囊 对顶角相等。 邻补角互补（和为 180°）。 三线八角判断口诀： 同位角：同旁同侧 内错角：内部异侧 同旁内角：同旁内侧 【题型归纳】 题型一：对顶角有关问题 【例1】．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）下列各图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，轮船B在的反向延长线的方向上，同时轮船在东南方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，直线，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型二：邻补角的定义 【例2】．（24-25七年级下·福建漳州·月考）如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【举一反三】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，直线和相交于点O，，那么下列选项中与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 题型三：邻补角求角度问题 【例3】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线与相交于点O，，则的邻补角的度数是_______________． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，O为直线上一点，，分别平分，，若，则的度数为_____． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期末）如图，已知是直线上一点，如果平分，的度数比的2倍大，那么__________度． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是________． 题型四：画垂线 【例4】．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 2（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型五：垂线段最短问题 【例5】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 题型六：同位角、内错角、同旁内角的问题 【例6】．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【举一反三】 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列图形中，和不是同位角的是（    ） A．B．C． D． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 题型七：相交线的综合问题 【例7】．（25-26七年级下·云南曲靖·开学考试） 如图，点O是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，，直线经过点O，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，是内的一条射线，是内的一条射线，． (1)若，则的度数为______． (2)若，，则的度数为______． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A．B．C．D． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）如图，已知点在直线上，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·江西九江·期末）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，射线平分．若，则__________． 13．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知，，相交于点，，则的度数是____________． 14．（25-26七年级下·全国·周测）如图所示的是家用的双排折叠晾衣架的一部分，在晾衣架折叠或拉伸的过程中，与的大小关系是______________，理由是_____________． 15．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为_____． 16．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是______________． 三、解答题 17．（25-26七年级下·全国·周测）如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 18．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴ ∴ ∵点A，O，B在一条直线上 ∴ ． ∵平分 ∴ ∴ 19．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 20．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1相交线 【考点梳理】 、【 知识梳理】 知识点1：直线的位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系： 相交：有且只有一个公共点。 平行：没有公共点。 知识点二、垂线与垂线段 1. 垂直的定义 两条直线相交，所成四个角中有一个角是直角（90°），则称这两条直线互相垂直。 垂线：互相垂直的两条直线，其中一条叫做另一条的垂线。 垂足：两条垂线的交点。 2. 垂线的性质 序号 性质描述 关键点 ① 唯一性 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ② 角度特征 两直线垂直 ⇒ 所成四个角均为直角。 ③ 传递性 同一平面内，若直线 a⊥b，且 b∥c，则 a⊥c。 3. 距离与最短路径 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。(注意：距离是一个数值，不是图形) 知识点三：相交线中的角（三线八角） 1. 基础角对：对顶角 & 邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2 邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 2. 进阶角对：同位角、内错角、同旁内角 两条直线被 第三条直线（截线） 所截，形成 8 个角。 角的类型 口诀记忆 位置特征 典型示例 同位角 同旁同侧 在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧。 形如字母 “F” 内错角 内部异侧 在截线的两侧，且夹在两被截直线内部。 形如字母 “Z” 同旁内角 同旁内侧 在截线的同旁，且夹在两被截直线内部。 形如字母 “U” 四、速记锦囊 对顶角相等。 邻补角互补（和为 180°）。 三线八角判断口诀： 同位角：同旁同侧 内错角：内部异侧 同旁内角：同旁内侧 【题型归纳】 题型一：对顶角有关问题 【例1】．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）下列各图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角，掌握“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”是正确解答的关键． 根据对顶角的定义即可解答． 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项C中的与是对顶角， 故选：C． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，轮船B在的反向延长线的方向上，同时轮船在东南方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与方向角有关的计算，对顶角，根据方向角的定义结合对顶角相等，得到，，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知：，， ∴； 故选：B． 2．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，直线，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到． 【详解】解：∵直线，交于点， ∴， 故选D． 3．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对顶角相等得到，然后根据角平分线的概念求解即可． 此题考查了对顶角相等，角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵ ∴ ∵平分， ∴． 故选：D． 题型二：邻补角的定义 【例2】．（24-25七年级下·福建漳州·月考）如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【答案】C 【分析】根据邻补角的概念判断即可．本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 【详解】解：依题意，与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：C． 【举一反三】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）． 2．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，直线和相交于点O，，那么下列选项中与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握邻补角的含义“有一条公共边，另一条边互为反向延长线的角是邻补角”； 根据邻补角的定义即可解答． 【详解】解：直线和相交于点O 与互为邻补角的有：，， 故选：A 3．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【详解】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 题型三：邻补角求角度问题 【例3】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线与相交于点O，，则的邻补角的度数是_______________． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由对顶角相等得到，然后根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∴的邻补角的度数是． 故答案为：． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，O为直线上一点，，分别平分，，若，则的度数为_____． 【答案】/110度 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的有关计算，邻补角． 根据角平分线的定义得到，根据邻补角的定义得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期末）如图，已知是直线上一点，如果平分，的度数比的2倍大，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确设出未知数，建立方程求解． 由角平分线设，表示出，再由建立方程求解． 【详解】解：∵平分， ∴设， ∴ ∵的度数比的2倍大， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵与是邻补角， ∴， 设，由，得， ∵，∴，解得，故的度数是．故答案为80°． 题型四：画垂线 【例4】．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，不符合题意； B、表示点A到的距离，符合题意； C、不表示点A到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：B． 2（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是 故选：A． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据题意：她做对了2个，分别是（1）和（3）， 故选：C． 题型五：垂线段最短问题 【例5】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 题型六：同位角、内错角、同旁内角的问题 【例6】．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角，关键是掌握同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是内错角，说法正确，不符合题意； B、和是同位角，说法正确，不符合题意； C、和互为邻补角，不是同旁内角，说法错误，符合题意； D、和是邻补角，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列图形中，和不是同位角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，得： A．和是同位角，不符合题意； B．和是同位角，不符合题意； C．和是同位角，不符合题意； D．中的和不是同位角，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 题型七：相交线的综合问题 【例7】．（25-26七年级下·云南曲靖·开学考试） 如图，点O是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的和差关系即可求解； （2）根据角平分线的性质以及角度的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角的性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则可求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此根据对顶角相等可得答案； （2）求出的度数，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：点在直线上，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴， ∴F、O、G三点共线， ∴点在直线上． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，，直线经过点O，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角平分线的计算，角的数量关系，以及利用邻补角的定义求角的度数． （1）首先计算出的度数，再根据邻补角的定义计算的度数； （2）设，则，根据列方程求出求出，结合（1）的结论求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 的度数为． （2）解：， ∴设，则， ， ， 解得， ． 平分， ， ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，是内的一条射线，是内的一条射线，． (1)若，则的度数为______． (2)若，，则的度数为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由对顶角相等求出，再由已知条件求出的度数，根据邻补角的定义与角的和差进行求解即可； （2）设，则，利用角的和差即可解得，进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，所以， ∴． （2）解：设，则． ∵， ∴，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角相等、邻补角的定义及角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）如图，已知点在直线上，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平角定理先求，结合角平分线定理可得，结合进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 6．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：于， ， ， ， ， 故选：B． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了内错角的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：由两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得： A、与构成内错角，符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，不符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 故选：A． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 由，根据邻补角互补可求出，根据对顶角相等求出，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ， 故选：B． 9．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 又∵反射角等于入射角即， ∴， 所以这一步推理的依据是等角的余角相等， 故选：． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和是是解题的关键． 设，根据邻补角的概念用表示出，根据角平分线的定义求出，根据题意列式求出，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：设，则， ∴， ． 平分， ． ， ，即， 解得，则， ． 11．（25-26七年级上·江西九江·期末）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 12（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，射线平分．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义和平角的性质，掌握对顶角相等，角平分线分角为相等的两部分，平角为是解题的关键． 先利用对顶角相等求出的度数，再根据角平分线定义求出 ，最后通过平角的性质求出． 【详解】解：根据题意，得． ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知，，相交于点，，则的度数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键． 先根据平角定义结合，可求出的度数，然后根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，，相交于点，， ． 又与是对顶角， ． 故答案为：． 14．（25-26七年级下·全国·周测）如图所示的是家用的双排折叠晾衣架的一部分，在晾衣架折叠或拉伸的过程中，与的大小关系是______________，理由是_____________． 【答案】 对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等这一基本几何性质是解题的关键． 观察与的位置，判断它们是对顶角，再根据对顶角的性质得出大小关系． 【详解】解：∵与是对顶角 ∴ 理由是：对顶角相等． 故答案为：，对顶角相等． 15．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 16．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是______________． 【答案】 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算． 三、解答题 17．（25-26七年级下·全国·周测）如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【答案】(1) (2)    【分析】本题考查了对顶角的定义、角的和差关系和平角的性质，掌握对顶角相等，平角为，通过角的和差关系计算角度是解题的关键． （1）根据对顶角的定义，直接找出与相对的角； （2）先利用对顶角相等求出 ，再通过角的和差计算，最后利用平角性质求出． 【详解】（1）解：直线与相交于点， 根据对顶角的定义，的对顶角为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 18．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴ ∴ ∵点A，O，B在一条直线上 ∴ ． ∵平分 ∴ ∴ 【答案】，，，，，，， 【分析】本题考查了平角及角平分线的定义，角的和差关系，正确识图是解题的关键． 由可得，即得，再根据平角的定义可得，即可根据角平分线的定义得到，利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点A，O，B在一条直线上 ∴， ∵平分 ∴ ∴ 故答案为：，，，，，，，． 19．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 【答案】(1) (2)图见解析；射线在左侧时的度数为，当射线在右侧时的度数为 【分析】本题考查角的计算，垂线的定义； （1）根据题意先求得，根据，得出，再根据，即可求解． （2）分两种情况，①当射线在左侧时，②当射线在右侧时，补全图形后根据垂线定义结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）解：补全图形如下， 由（1）可知，， 因为，所以． ①当射线在左侧时，如图1，， 所以． ②当射线在右侧时，如图2，， 所以． 20．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)的度数为或． 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）由题目条件直接求得答案； （2）根据（1）中的值，求出和的度数，再根据角平分线求得结果； （3）根据射线的位置不同，分情况讨论，进而求出的度数． 【详解】（1）解：∵为直线上一点，且， ∴， 又∵，， ∴，解得：； （2）∵，； 又∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． （3）∵，且， 设，则． ①在内部，此时， ∴(矛盾，舍去)； ②在内部此时， ∴，解得：． ∴； ③在内部，此时， ∴，解得：， ∴． ④在内部，此时， ∴，解得：， ∴(矛盾，舍去)． 综上，的度数为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $