6.4.3第3课时正余弦定理的应用举例课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 § 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 正余弦定理应用举例 复习回顾 b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC 2R 2RsinA 2RsinB 2RsinC sinA:sinB:sinC 经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用的是光学经纬仪。 光学经纬仪 新课导入 例9： 【分析】 例题分析 【解析】 如图，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得 于是在△ABC中,由余弦定理可得AB两点间的距离 例9： 例题分析 类 型 图 形 方 法 知识归纳 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB A，B两点间可视，但有一点不可达 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB A，B两点都不可达 测得CD＝a,∠BCD, ∠BDC,∠ACD,∠ADC， ∠ACB,在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 求A，B两点间的距离 A，B两点间不可达或不可视 实际应用问题中有关的名词、术语 ②仰角 【定义】在同一铅垂平面内，视线在水 平线上方时与水平线的夹角。 ③俯角 【定义】在同一铅垂平面内，视线在水 平线下方时与水平线的夹角。 【引入】在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，通常需要借助经纬仪、卷尺等测量工具. 解决这类问题，我们常常遇到“不可到达”的困难，也会碰到一些专有名词和术语： ①基线 ——根据测量的需要而确定的线段叫做基线; 世界著名建筑埃菲尔铁塔由三大部分组成，给出皮尺和测角仪 ①你能测量出塔的高度AD吗？②你能测量出AB这一段塔的高度吗？ 高度问题 A B C D 求底部不可确定，无法直接测量的高度 利用工具需要测量哪些量？ EF距离、角 例10： 【分析】 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高.由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高. 例题分析 例题分析 例10： 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 【解析】 选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上，由在H，G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a，测角仪器的高是h. 那么，在△ACD中，根据正弦定理可得 B E A H G D C h a 135° C D A B 【变式】（咸阳）彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°,∠BDC＝135°,CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　） A.30 m B.20 m C.20 m D.20 m D 20 15° 60° 实际应用问题中有关的名词、术语 方向角 【定义】从正北或正南方向到目标 方向所形成的小于九十度 的角。 方位角 【定义】从某点的指北方向线起依 顺时针方向到目标方向线 之间的水平夹角。 例11： 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图. 【分析】 例题分析 北 A 20 B C 7 【解析】 根据题意，画岀示意图由余弦定理，得 由正弦定理，得 由于 0°<C<90°，所以 因此,乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46° + 30° = 76°, 大约需要航行24 n mile. 例题分析 北 A 20 B C 7 例11： 【方位角练习】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间． 解：在△ABS中, AB=32.2×0.5 =16.1 (n mile), ∠ABS=115°. ∴S到直线AB的距离为 ∴这艘船可以继续沿正北方向航行 . 1.如图, 一艘船向正北航行, 航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上. 30 min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗? 练习 － － － － － － － － － － － － － － 练习 － － － － － － － － － － － － － － 3．如图，一艘海轮A从出发，沿北偏东75°的方向航行67. 5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54 n mile后到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少? (角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile) 北 67.5 n mile 54 n mile A B C 练习 － － － － － － － － － － － － － － 余弦定理、正弦定理的应用举例 课下探究（作业） 二、测量高度（教材P52，B与CD不共线，CD=s,测量AB） 正弦定理 致爱丽丝钢琴曲 (无损版) 千屿 千屿改编钢琴曲纯音乐合集, track 66, disc 0 136077.3 Lavf58.20.100 $