河北冀州中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

2026届下学期高三开学考试卷

数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知命题p：“”，命题q：“方程表示椭圆”，则p是q的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 在某次演讲比赛组织过程中，有甲、乙等5名同学参加了接待、咨询、向导三个服务项目，每名同学只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名同学参加，若5名同学中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（   ）

A. 108种 B. 114种 C. 150种 D. 240种

5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

8. 已知数列的前项和为，数列满足，，则（    ）

A. 1988 B.  C. 32 D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（    ）

A.  B. 展开式中的常数项为45

C. 含的项的系数为210 D. 展开式中的有理项有5项

10. 先将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列关于函数的说法中正确的是（   ）

A. 在上单调递增 B. 当时，函数的值域是

C. 其图象关于直线对称 D. 直线为曲线在处的切线

11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（    ）

A. 的周长为 B. 的面积的最大值为2

C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 抛物线的焦点为，若直线与交于两点则_________．

13. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.

14. 三棱锥的四个顶点均在半径为3的球表面上，线段恰经过的外心且，则棱的长为_____.

四、解答题：本题共5小题共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知数列的前项和为，，当时，．

（1）求

（2）设，求数列的前项和为．

16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知.

（1）求角的值；

（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.

17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

（1）求证：平面;

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

18. 双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．

（1）求双曲线的方程；

（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．

19. 已知函数.

（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；

（2）当时，，当时，与有两个交点，求实数的取值范围；

（3）证明：.