21.2.3三角形的中位线知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版八年级数学下册（七题型）

21.2.3三角形的中位线知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（七题型） 知识归纳： 三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行. 数量关系：可以证明线段的倍分关系. 常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半. 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分. 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 题型突破： 题型1：与三角形中位线有关的计算（一条） 1.如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 2.如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，，，分别是边的中点，于点．连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 4.如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 5.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为　 　． 6．如图，在平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是　 　 . 7.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F． （1）求证：DE是△BCF的中位线． （2）试连接BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论． 题型2：与三角形中位线有关的计算（多条） 1.如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是　 　cm． 2.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为 　 　． 3.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是 　 　． 题型3：三角形中位线的实际应用 1.如图，要测量被池塘隔开的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得，则的长是 ．    题型4：与三角形中位线有关的规律探究 1.如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（　　） A．a B．a C．a D．a 2.如图，在图1中，、、分别是等边 的边、、的中点，在图2中，，，分别是的边、、的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（    ）个． A． B． C． D． 3.如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为 （n为正整数）． 题型5： 与三角形中位线有关的证明 1.设，，是的三条中线，求证：，，三线共点．    2.如图，中，，点分别为的中点，延长至，使，连结，其中与相交于．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)已知，求的长． 3.问题背景：如图1，在等腰中，，，垂足为点D，在中，，，连接中点，连接，在绕点A旋转过程中，线段之间存在怎样的数量关系？ 观察发现： (1)为了探究线段和之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将绕点A旋转，使重合，如图2，易知和之间的数量关系为___________； 操作证明： (2)继续将绕点A旋转，使与重合时，如图3，（1）中线段之间的数量关系仍然成立，请加以证明． 问题解决： (3)根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由． 题型7：构造三角形中位线解题 1.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG． 2.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF＝CF． 3.如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？ 4.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH． 【答案】 21.2.3三角形的中位线知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十题型） 知识归纳： 三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行. 数量关系：可以证明线段的倍分关系. 常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半. 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分. 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 题型突破： 题型1：与三角形中位线有关的计算（一条） 1.如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】D． 2.如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图，在中，，，，分别是边的中点，于点．连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 4.如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】A． 5.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为　 　． 【答案】1.5 6．如图，在平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是　 　 . 【答案】6 7.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F． （1）求证：DE是△BCF的中位线． （2）试连接BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论． 【答案】解： （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DE∥BC， ∴点E是AD的中点， ∴DF＝CD， ∴DE是△BCF的中位线； （2）四边形ABDF为平行四边形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠BFD， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴△ABE≌△DFE， ∴AB＝DF， ∵AB∥DF， ∴四边形ABDF为平行四边形 题型2：与三角形中位线有关的计算（多条） 1.如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是　 　cm． 【答案】30． 2.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为 　 　． 【答案】25°． 3.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是 　 　． 【答案】9． 题型3：三角形中位线的实际应用 1.如图，要测量被池塘隔开的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得，则的长是 ．    【答案】 题型4：与三角形中位线有关的规律探究 1.如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（　　） A．a B．a C．a D．a 【答案】A 2.如图，在图1中，、、分别是等边 的边、、的中点，在图2中，，，分别是的边、、的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为 （n为正整数）． 【答案】 题型5： 与三角形中位线有关的证明 1.设，，是的三条中线，求证：，，三线共点．    【答案】见解析 【详解】解：令相交于点E，延长，使，连接，．    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的中线， ∴点Z为中点， ∴， ∴为中位线，即点E为中点， ∵是的中线， ∴点Y为中点， ∴， ∴为中位线， ∴， ∵，， ∴点B、E、Y在同一条直线上， ∴，，三线共点． 2.如图，中，，点分别为的中点，延长至，使，连结，其中与相交于．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【详解】（1）解：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵中，，点分别为的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∵在平行四边形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 3.问题背景：如图1，在等腰中，，，垂足为点D，在中，，，连接中点，连接，在绕点A旋转过程中，线段之间存在怎样的数量关系？ 观察发现： (1)为了探究线段和之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将绕点A旋转，使重合，如图2，易知和之间的数量关系为___________； 操作证明： (2)继续将绕点A旋转，使与重合时，如图3，（1）中线段之间的数量关系仍然成立，请加以证明． 问题解决： (3)根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立；理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：延长交于点G，如图所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵为的中点，为的中点， ∴， 同理得：， ∴． （3）解：成立；理由如下： 延长到点N，使，连接，，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， 根据解析（2）可知，为的中点， ∴， ∴． 题型7：构造三角形中位线解题 1.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG． 【答案】证明：连接AD， ∵E、H分别为AB、BD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH＝AD， 同理可得：FG＝AD， ∴EH＝FG． 2.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF＝CF． 【答案】证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF＝∠EDG， ∵AD是△ABC的中线， ∴D为BC中点， ∴G为BF中点， ∴DG＝CF， ∵E为AD中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEG中， ， ∴△AEF≌△DEG（ASA）， ∴DG＝AF， ∴AF＝CF． 3.如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？ 【答案】解：相等．理由如下： 取AD的中点G，连接MG，NG， ∵G、N分别为AD、CD的中点， ∴GN是△ACD的中位线， ∴GN＝AC， 同理可得，GM＝BD， ∵AC＝BD， ∴GN＝GM＝AC＝BD． ∴∠GMN＝∠GNM， 又∵MG∥OE，NG∥OF， ∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE， ∴OE＝OF． 4.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH． 【答案】解：取BC边的中点M，连接EM，FM， ∵M、F分别是BC、CD的中点， ∴MF∥BD，MF＝BD， 同理：ME∥AC，ME＝AC， ∵AC＝BD ∴ME＝MF ∴∠MEF＝∠MFE， ∵MF∥BD， ∴∠MFE＝∠OGH， 同理，∠MEF＝∠OHG， ∴∠OGH＝∠OHG ∴OG＝OH． 学科网（北京）股份有限公司 $