精品解析：北京市铁路第二中学2025-2026学年九年级下学期数学学情自测试题

九年级下数学开学测 一、选择题 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“B”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点 ，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： … ﹣1 0 1 3 … … 0 ﹣1.5 ﹣2 0 … 根据表格中的信息，得到了如下的结论： ①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1) 2−2的形式 ②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下 ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2 ④若y>0，则x>3 其中所有正确的结论为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 二、填空题 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 10. 分解因式：___________ 11. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 12. 如图，根据图中的作图痕迹，成立的结论为________（写出一条即可）． 13. 已知关于x的分式方程的解不大于2，则m的取值范围是______． 14. 如图， 与相切于点 ．点分别在，上，四边形为正方形，若，则_________． 15. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角α为_________． 16. 某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，矩形 的对角线 与 交于点O，E为的中点，连接，过点O作，交延长线于点F，交 于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设 的长为x米， 的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 （1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； （2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 23. 某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C.10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为___________，的值为___________； （2）设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； （3）分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 24. 如图，四边形 内接于，． （1）求证：； （2）作直径，交于点 ，连接，交于点．若，，．求的长． 25. 在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段 绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段 上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 26. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P． （1）求二次函数的解析式及P点坐标； （2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值． 27. 在中．，，将线段 绕点A顺时针旋转得到线段 ．点D关于直线 的对称点为E．连接，． （1）如图1，当时，用等式表示线段与 的数量关系，并证明； （2）连接 ，依题意补全图2．若，求的大小． 28. 在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． （1）①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； （2）如图，点 在线段 上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点 关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下数学开学测 一、选择题 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据轴对称图形的定义（沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）判断每个选项是否为轴对称图形，再依据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合）判断是否为中心对称图形，进而找出“是轴对称图形但不是中心对称图形”的选项． 【详解】选项A：平行四边形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，所以是中心对称图形；沿任意一条直线折叠后，直线两旁的部分不能完全重合，所以不是轴对称图形，因此选项A不符合题意． 选项B：矩形沿对边中点所在直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，所以是轴对称图形；绕对角线的交点旋转后能与自身重合，所以也是中心对称图形，因此选项B不符合题意． 选项C：该三角形沿任意一条直线折叠后，直线两旁的部分不能完全重合，所以不是轴对称图形；绕任意一点旋转后也不能与自身重合，所以也不是中心对称图形，因此选项C不符合题意． 选项D：该三角形沿底边上的高所在直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，所以是轴对称图形；绕任意一点旋转后不能与自身重合，所以不是中心对称图形，因此选项D符合题意． 2. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：B． 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的除法，有理数的减法等．先根据点在数轴上的位置得出，，再结合有理数的除法，有理数的减法，绝对值的性质逐项分析即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，， 故，B选项结论错误，不符合题意； 故，A选项结论错误，不符合题意； 故，C选项结论错误，不符合题意； 则， 故，D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 4. 不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：用列表法把所有等可能结果表示如下， 红1 红2 黄1 黄2 红1 （红1，红2） （红1，黄1） （红1，黄2） 红2 （红2，红1） （红2，黄1） （红2，黄2） 黄1 （黄1，红1） （黄1，红2） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，红1） （黄2，红2） （黄2，黄1） 共有12种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种， ∴颜色相同的概率是， 故选：B ． 5. 已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断． 【详解】解：由数轴可知，且，则， ∵△=，， ∴△＞0， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别式，利用数轴提供的信息进行判断． 6. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“B”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵十亿， ∴． 7. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点 的两条切线相交于点 ，列车在从到行驶的过程中转角 为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由转角 为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵过点 的两条切线相交于点 ， ∴, ∴, ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： … ﹣1 0 1 3 … … 0 ﹣1.5 ﹣2 0 … 根据表格中的信息，得到了如下的结论： ①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1) 2−2的形式 ②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下 ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2 ④若y>0，则x>3 其中所有正确的结论为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由表格可得， ∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0）， ∴该函数图象的对称轴是直线x==1， ∴该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上， ∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1) 2−2的形式， 故选项①正确，选项②错误； ∵该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x=1的对称点为（2，-1.5）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2，故选项③正确； ∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0）， ∴若y>0，则x>3或x<-1，故选项④错误； 综上，正确的结论为①③， 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． 二、填空题 9. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由二次根式的定义，在实数范围内，被开方数必须非负，即， 解得. 故答案为：． 10. 分解因式：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可. 【详解】解：原式； 故答案为： 11. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在 轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 12. 如图，根据图中的作图痕迹，成立的结论为________（写出一条即可）． 【答案】 【解析】 【分析】观察图中的作图痕迹，判断所作的是的垂直平分线，再依据垂直平分线的性质推导成立的结论． 【详解】解：根据图中的作图痕迹判断是的垂直平分线． 是的垂直平分线，点C在上， ； 13. 已知关于x的分式方程的解不大于2，则m的取值范围是______． 【答案】m≤0，且m≠-3 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解不大于2且最简公分母不为0，求出m的范围即可． 【详解】解： 去分母得：m+3=2x-1， 解得：x=，且2x-1≠0，即x≠ ， 根据题意得：≤2，且x≠ 解得：m≤0，且m≠-3， 故答案为：m≤0，且m≠-3． 【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 14. 如图，与相切于点 ．点分别在，上，四边形为正方形，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质和正方形的性质证得，，，进而得到，由勾股定理求出由平行线等分线段定理得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求出． 【详解】解：如图： 四边形为正方形， ，，，， 与相切于点 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ，， 是的中位线， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线等分线段定理，三角形中位线定理等知识，综合运用这些知识是解决问题的关键． 15. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角α为_________． 【答案】##27度 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质，垂直的定义得到，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理即可得到． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， 被测物体表面的倾斜角 为， 故答案为：． 16. 某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个， 产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个， 产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数、二次根式及三角函数的混合运算，掌握相关运算的运算法则及特殊角的三角形函数值是解题的关键． 根据零次幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数及绝对值的意义分别进行计算，合并后即可得解． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握的基本性质，是解题的关键．先将分式化简为，然后再根据，求出结果即可． 【详解】解： ． ∵， ∴． ∴原式 20. 如图，矩形 的对角线 与交于点O，E为的中点，连接，过点O作，交延长线于点F，交 于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵E为的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的性质、菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握相关图形的判定和性质是解决本题的关键． 根据四边形 是矩形、，可得出，再推导出其它条件，即可证明，从而得证． （2）易证是等边三角形，四边形是菱形，得到，，再根据解直角三角形，可求出，，继而求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在矩形 中， ， ∴． 又∵，四边形是平行四边形， ∴是等边三角形．四边形是菱形 ∴，，， 在和中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 22. 每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米， 的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 （1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； （2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】（1）， （2）43 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于 、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得 的值，即得钟楼的高度． 【小问1详解】 由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； 【小问2详解】 对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 23. 某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C.10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： （1） 的值为___________，的值为___________； （2）设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； （3）分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，中位数，方差，新定义的计算，掌握其计算方法是关键． （1）根据平均数、中位数的计算方法求解即可； （2）根据方差的计算方法求解即可； （3）根据题意，分别算出各件作品的标准化分数进行比较即可． 【小问1详解】 解：， 10件作品初始得分从小到大排序为：，，，，，，，，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为， ∴，，，，，，，，，， ∴的有，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为， ∴ ， ， ∵， ∴， 第1件作品的标准化得分为：， 第2件作品的标准化得分为：， 第3件作品的标准化得分为：， 第4件作品的标准化得分为：， 第5件作品的标准化得分为：， 第6件作品的标准化得分为：， 第7件作品的标准化得分为：， 第8件作品的标准化得分为：， 第9件作品的标准化得分为：， 第10件作品的标准化得分为：， ∴第一名的是7，第二名的是2，第三名的是6， 故答案为：． 24. 如图，四边形 内接于，． （1）求证：； （2）作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形 内接于，， ∴，． ∴． ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）结合圆内角四边形对角互补以及圆周角定理得，则，即可作答． （2）根据，得．则，结合，，得，运用．，．根据，得，，再证明是等边三角形．得，在中，，运用勾股定理算出，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，连接，，过点A作于点H． ∵， ∴． ∴ ∵是直径， ∴． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵在中，， ∴，， ∴，． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，平行线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 【答案】（1） 补全表格如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （2） 根据表格数据描点，连线，画图如下： （3）①0.7；②． 【解析】 【小问1详解】 解：观察表格可知：为定值， ∴当时，； 补全表格如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 故答案为：2.70 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由图象可知：当时，， 当时，， ∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为； 故答案为：； ②由图象可知，随着 的增加而增加，且增加的速度越来越慢， ∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大， ∵，且， ∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差； 故答案为：． 26. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P． （1）求二次函数的解析式及P点坐标； （2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数得出答案； （2）分①时，②当时，两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：解：点、 在二次函数的图象上， ， 解得， 二次函数的解析式为：， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：时，的最小值为， ，即， ①时，， 由，解得：（舍去），， ②当时，， 由， 解得：（舍去），（舍去）， 综上： 的值为． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出 的取值范围． 27. 在中．，，将线段 绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线 的对称点为E．连接，． （1）如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）连接，依题意补全图2．若，求 的大小． 【答案】（1） ， 证明：连接，如图1． 点， 关于直线 对称， 直线 是线段的垂直平分线． ． ． ． 是等边三角形． ，． 中，，， ． 依题意，得，点在上． ． ． ． ． ． 在中，． ． ． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质与直角三角形的性质得，再根据正切三角函数定义求解即可得出结论． （2）方法一：延长 至，使，连接，， ，，，如图2，先证明，再证明，得．从而得出．即可求解． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．先证明，再证明．得．即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意补全图2，如图． 方法一：延长 至，使，连接，， ，，，如图2． ， ． ， 是等边三角形． ，． 点， 关于直线 对称， 直线 是线段的垂直平分线． ，． ． ， ． ， ． ． ， ． ，， ． ． ． ． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设． 点， 关于直线 对称， 直线 是线段的垂直平分线． ，． ． ． ， ． ． ，， ． ． ． 由（1）可得． 为中点， ． ． ，，， ． ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正切三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切三角函数等知识是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点 作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点 关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． （1）①点关于 轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； （2）如图，点 在线段上，点在 轴下方，且满足，若直线上存在点 关于 轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 【答案】（1）①；②1 （2） 【解析】 【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可； （2）①以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，据此求出b的值；②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出，由此得到的取值范围为． 【小问1详解】 解：①如图，过点作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为， ∵， ∴点关于 轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为， 故答案为：； ②∵，点， ∴它们的中点的坐标为，即， ∵点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”， ∴点到直线的距离为1， 故答案为：1． 【小问2详解】 ①如图，以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且， ∵点D与点E的中点为O， ∴点C与点B重合， ∵， ∴, ∴； ②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图， ∵， ∴点G关于点A的对称点H的坐标为, 将代入，得， ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $