6.2.1 向量的加法（第二课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.1 向量的加法 第二课时 复习回顾 向量加法的定义 求两个向量____的运算，叫做向量的加法． 和 交换律：a＋b＝b＋a. 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 复习回顾——向量求和的法则 三角形 复习回顾——向量求和的法则 OA OB 复习回顾——向量加法的多边形法则 问题引领，深入思考 1．向量加法运算的两个法则的要点分别是什么？ 答：①平行四边形法则的要点是统一起点． ②三角形法则的要点是首尾相接． 问题引领，深入思考 2．向量的平行四边形法则与三角形法则是否适合所有的两个非零向量的和？ 答：不是．例如当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则． 问题引领，深入思考 3．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系是什么？ 答：①当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|. ②当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. ③当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|. 若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 若|a|＝|b|，则a＋b＝0，a＋b的方向任意，|a＋b|＝0. 题型一——向量加法的定义及几何意义 例 1 如图，已知两个不共线的向量a，b，求作a＋b.　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 题型一——向量加法的定义及几何意义 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 总结 (1)三角形法则强调的是“首尾相接”，平行四边形法则强调的是“共起点”． (2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和． (3)当两个非零向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． (4)对于两个非零的不共线向量，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 巩固练习 如图1，2，在图1中求作向量a＋b，在图2中求作向量a＋b＋c. 巩固练习 题型二——向量加法的运算 例 2　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 题型二——向量加法的运算 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 总结 巩固练习 0 题型三——向量加法的实际应用 例 3 (1)用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 18 题型三——向量加法的实际应用 (2)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 19 总结 (1)向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图形是解题关键． (2)物理学中的力、速度、位移都是向量，力、速度、位移的合成等都是向量求和的具体应用． 巩固练习 矩形 巩固练习 巩固练习 当堂检测 √ 当堂检测 √ 当堂检测 √ 当堂检测 ②③ 当堂检测 1 用数学的眼光看世界 (1)三角形法则：如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(BC,\s\up16(→))＝b，则向量eq \o(AC,\s\up16(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的_________法则． 对于零向量与任一向量a的和，有a＋0＝0＋a＝a. (2)平行四边形法则：如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以____，_____为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量eq \o(OC,\s\up16(→))(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． (1) 当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，所有向量的和为0.如图，在(n＋1)边形A0A1…An中，有eq \o(A0A1,\s\up16(→))＋eq \o(A1A2,\s\up16(→))＋eq \o(A2A3,\s\up16(→))＋…＋An－1An＋eq \o(AnA0,\s\up16(→))＝0. (2)向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”． 【解析】　方法一：如图，在平面内任取一点O， 作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b, 则eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b. 方法二：如图，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b， 以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b. 【解析】　作法：如图1，在平面内任意取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，则eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b. 如图2，在平面内任意取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝c，连接OC，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝a＋b＋c. (1)化简：①eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))； ②eq \o(DB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))； ③eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(FA,\s\up16(→)). 【解析】　①eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)). ②eq \o(DB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(DB,\s\up16(→))＝0. ③eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(FA,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(FA,\s\up16(→))＝0. (2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量： ①eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OE,\s\up16(→))；②eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))；③eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)). 【解析】　①易知四边形OAFE为平行四边形，如图，连接OF，则eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OE,\s\up16(→))＝eq \o(OF,\s\up16(→)). ②如图，连接OC，则四边形OABC为平行四边形，连接AC，则eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)). ③如图，连接DB，则四边形AEDB为平行四边形，连接OD，易知A，O，D共线，则eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→)). (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加． (2)向量求和的多边形法则：eq \o(A1A2,\s\up16(→))＋eq \o(A2A3,\s\up16(→))＋eq \o(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1An＝eq \o(A1An,\s\up16(→)).特别地，当An和A1重合时，eq \o(A1A2,\s\up16(→))＋eq \o(A2A3,\s\up16(→))＋eq \o(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1A1＝0. 如图，已知平行四边形ABCD. (1)eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋_____________； (2)eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DO,\s\up16(→))＝_____________； (3)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝_____________； (4)eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))＝______． eq \o(BC,\s\up16(→))(或eq \o(AD,\s\up16(→))) eq \o(AO,\s\up16(→))(或eq \o(OC,\s\up16(→))) eq \o(AD,\s\up16(→))(或eq \o(BC,\s\up16(→))) 【证明】　如图，根据向量加法的三角形法则有eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)). 又∵eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(DO,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))，∴eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)). ∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→)).∴AB∥DC且AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【解析】　作出图形，如图所示．设船在静水中的速度v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，|eq \o(CD,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|v水|＝10，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝|v船|＝20， ∴cos α＝eq \f(|\o(CD,\s\up16(→))|,|\o(AD,\s\up16(→))|)＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)， ∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． ∴船是沿与水流的方向成120°角的方向行进的． (1)在平行四边形ABCD中，若|eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))|＝|eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))|，则四边形ABCD是________． 【解析】　如图，|eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))|＝|eq \o(BD,\s\up16(→))|，|eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|，∴|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|.∴四边形ABCD为矩形． (2) 如图所示，一艘船从A点出发以2eq \r(3) km/h的速度向垂直对岸的方向行驶，同时河水以2 km/h的速度向东(向右)流，求船实际行驶速度的大小与方向． 【解析】　如图所示，用向量eq \o(AC,\s\up16(→))表示船垂直于对岸的速度，用向量eq \o(AB,\s\up16(→))表示水流的速度，以AC，AB为邻边作平行四边形，连接AD，则eq \o(AD,\s\up16(→))就是船实际行驶的速度，即eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)). 在Rt△ABD中，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2，|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2eq \r(3)，∴|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝eq \r(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BD,\s\up16(→))|2 )＝eq \r(22＋（2\r(3)）2)＝4. ∴tan∠DAB＝eq \f(2\r(3),2)＝eq \r(3)，∴∠DAB＝60°. 所以船实际行驶速度的大小为4 km/h，方向与水流方向的夹角为60°. 1．化简eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))等于(　　) A.eq \o(AB,\s\up16(→))　　　　　　　　　 B.eq \o(BA,\s\up16(→)) C．0 D.eq \o(AC,\s\up16(→)) 解析　eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)). 2．若向量a表示向东北方向走5 km，向量b表示向西北方向走5 km，则向量a＋b表示(　　) A．向正北方向走5 km B．向正北方向走5eq \r(2) km C．向正南方向走5 km D．向正南方向走5eq \r(2) km 解析　由向量加法的平行四边形法则可知，向量a＋b表示向正北方向走5eq \r(2) km. 3．在四边形ABCD中，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))，则(　　) A．四边形ABCD一定是矩形 B．四边形ABCD一定是菱形 C．四边形ABCD一定是正方形 D．四边形ABCD一定是平行四边形 4．下列各式成立的是________． ①0＋0＝0; ②a＋0＝a； ③a＋b＝b＋a; ④|a＋b|>0； ⑤eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→)). 5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝1，则|eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))|＝________． 解析　连接BD，在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，故△ABD是等边三角形，则BD＝1，则|eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))|＝|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝1. $