培优专题6带电粒子在电磁叠加场中的运动 讲义-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

高中物理人教版选择性必修二 第一章 安培力与洛伦兹力 培优专题6 带电粒子在电磁叠加场中的运动 学习目标 1. 知道电磁叠加场的概念。 2. 能分析带电粒子在叠加场中的受力情况和运动情况,能够正确选择物理规律解答问题。 【专题解读】 在同一区域电场、磁场、重力场三场共存或其中某两场共存。 1.三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关；重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd；电场力做功改变带电粒子的电势能 磁场 大小：F＝qvB（v⊥B） 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2.带电粒子在叠加场中常见的运动形式及特点 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 电场力与重力平衡，即qE＝mg，洛伦兹力提供向心力 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律等 3.带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法 能力提升1　带电粒子在电磁叠加场中的运动 【典例1】（2022高考全国甲）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（xOy平面）向里，电场的方向沿y轴正方向.一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动.下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　B　） A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 答案 B 解析　分析可知，开始一段较短时间内，带正电的粒子具有沿y轴正方向的速度，由左手定则可知，粒子应向左侧偏转，A、C错误；由于粒子所受电场力沿y轴正方向，且粒子初速度为零、初始位置在坐标原点，故粒子运动轨迹的最低点在x轴上，D错误，B正确. 【典例2】（2024黑龙江重点高中3月质检）如图所示，两平行金属板之间有竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B，一带负电的粒子（重力不计）以速度水平向左飞入两板之间，恰能沿直线飞出。下列判断正确的是（ ） A. 粒子一定做匀速直线运动 B. 若只增大粒子速度，其运动轨迹将向下偏转 C. 若只增加粒子的电量，其运动轨迹仍是直线 D. 若粒子以速度从左向右水平飞入，其运动轨迹是抛物线 【答案】AC 【解析】带负电粒子受到向下的电场力和向上的洛伦兹力，粒子恰能沿直线飞出，则有 粒子一定做匀速直线运动，故A正确； 若只增大粒子速度，则有 则其运动轨迹将向上偏转，故B错误； 若只增加粒子的电量，则仍有 其运动轨迹仍是直线，故C正确； 若粒子以速度从左向右水平飞入，则受电场力和洛伦兹力均向下，则其运动轨迹是曲线，但由于洛伦兹力大小方向均发生变化，所以轨迹不是抛物线，故D错误。 能力提升2　带电粒子在电磁重力叠加场中的运动 对于微观粒子,如电子、质子、离子等,因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小,可以忽略;而对于一些实际物体,如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 带电粒子在电磁重力叠加场中的常见运动 静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时,将处于静止状态或匀速直线运动状态 匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动 较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线 【典例3】（2025·福建泉州期末）如图，空间中存在沿水平方向且互相垂直的匀强磁场B和匀强电场E，一带电液滴以一定速度沿斜向上的虚线做直线运动，则液滴（　　） A.带负电 B.一定做匀速直线运动 C.可能做匀减速直线运动 D.电势能减小 答案：BD 解析：带电液滴以一定速度沿斜向上的虚线做直线运动，由于洛伦兹力会随速度变化而变化，所以带电液滴一定做匀速直线运动，则油滴的受力如图所示，由于静电力与电场方向相同，所以液滴带正电，故B正确，A、C错误；由于静电力对带电液滴做正功，可知带电液滴的电势能减小，故D正确。 【典例4】（2024·安徽高考10题）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（　　） A.油滴a带负电，所带电量的大小为 B.油滴a做圆周运动的速度大小为 C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 答案：ABD 解析：油滴a做圆周运动，故其所受的重力与电场力平衡，可知油滴带负电，有mg＝Eq，解得q＝，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝m，得R＝，解得油滴a做圆周运动的速度大小为v＝，故B正确；设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R＝，解得v1＝＝，周期为T＝＝，故C错误；带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv＝v1＋v2，解得v2＝－，由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。 【典例5】（2025·四川宜宾模拟）如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5 T，还有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E＝2 N/C。在其第一象限空间有沿y轴负方向的、电场强度大小也为E的匀强电场，并在y＞h＝0.4 m的区域有磁感应强度也为B的、垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做匀速直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°），并从原点O进入第一象限。已知重力加速度g＝10 m/s2，求： （1）油滴在第三象限运动时受到的重力、静电力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷； （2）油滴在P点得到的初速度大小； （3）油滴在第一象限运动的时间。 答案：（1）1∶1∶　油滴带负电荷　（2）4 m/s　（3）0.828 s 解析：（1）对油滴受力分析及作出油滴的运动轨迹如图所示。 根据油滴受力平衡可知油滴带负电荷，设油滴质量为m，由平衡条件得mg∶qE∶F＝1∶1∶。 （2）由第（1）问得qvB＝qE， 解得v＝＝4 m/s。 （3）进入第一象限，电场力和重力平衡，可知油滴先做匀速直线运动，进入y≥h的区域后做匀速圆周运动，最后从x轴上的N点离开第一象限。 油滴由O→A做匀速运动的位移为 s1＝＝h， 其运动时间t1＝＝0.1 s， 由qvB＝m，T＝得T＝ 由mg＝qE，得＝， 油滴从A→C做圆周运动的时间为t2＝T＝≈0.628 s， 由对称性知，油滴从C→N运动的时间t3＝t1， 所以油滴在第一象限运动的总时间t＝t1＋t2＋t3＝2×0.1 s＋0.628 s＝0.828 s。 课堂巩固训练 1.（2025·福建福州模拟）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子H）以速度v0自O点沿中轴线射入，恰好沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（所有粒子均不考虑重力的影响）（　　） A.以速度射入的正电子e） B.以速度v0射入的电子e） C.以速度2v0射入的氘核H） D.以速度4v0射入的α粒子He） 答案：B 解析：质子H）以速度v0自O点沿中轴线射入，恰好沿中轴线做匀速直线运动，质子将受到向上的洛伦兹力和竖直向下的静电力，满足qv0B＝qE，解得v0＝，即质子的速度满足速度选择器的条件，以速度射入的正电子e），所受的洛伦兹力小于静电力，正电子将向下偏转，故A错误；以速度v0射入的电子e），依然满足静电力等于洛伦兹力，做匀速直线运动，即速度选择器不选择电性而只选择速度，故B正确；以速度2v0射入的氘核H）和以速度4v0射入的α粒子He），其速度都不满足速度选择器的条件v0＝，所以都不能做匀速直线运动，故C、D错误。 2.（2025·四川绵阳模拟）如图所示是利用霍尔效应测量磁场的传感器，由运算芯片LM393和霍尔元件组成，LM393输出的时钟电流（交变电流）经二极管整流后成为恒定电流I从霍尔元件的A端流入，从F端流出。磁感应强度为B的匀强磁场垂直于霍尔元件的工作面水平向左，测得C、D两端间电压为U。已知霍尔元件的载流子为自由电子，单位体积的自由电子数为n，电子的电荷量为e，霍尔元件沿AF方向的长度为d1，沿C、D方向的宽度为d2，沿磁场方向的厚度为h，下列说法正确的是（　　） A.C端的电势高于D端 B.若将匀强磁场的磁感应强度减小，C、D间的电压将增大 C.自由电子的平均速率为v＝ D.可测得此时磁感应强度B＝ 答案：AD 解析：已知霍尔元件的载流子为自由电子，电流方向从A流向F，根据左手定则可得电子偏向D端，则C端的电势高于D端，故A正确；根据Bev＝，可得U＝Bd2v，若将匀强磁场的磁感应强度减小，C、D间的电压将减小，故B错误；根据电流微观表达式I＝neSv，可得v＝＝，故C错误；由Bev＝，v＝，联立可得B＝，故D正确。 3.（2025·黑龙江哈尔滨期末）一带电小球在相互垂直的匀强电场、匀强磁场中做匀速圆周运动，匀强电场竖直向上，匀强磁场水平且垂直纸面向里，如图所示，下列说法正确的是（　　） A.沿垂直纸面方向向里看，小球的绕行方向为逆时针方向 B.小球一定带正电且小球的电荷量q＝ C.由于合外力做功等于零，故小球在运动过程中动能不变 D.由于洛伦兹力不做功，故小球在运动过程中机械能守恒 答案 ABC　 解析：带电小球在正交场中做匀速圆周运动，则向下的重力和向上的静电力平衡，可知小球带正电，由左手定则可知，沿垂直纸面方向向里看，小球的绕行方向为逆时针方向，根据qE＝mg，可知，小球的电荷量q＝，选项A、B正确；由于静电力和重力平衡，则两力的合力做功为零，洛伦兹力不做功，则合外力做功等于零，故小球在运动过程中动能不变，选项C正确；洛伦兹力不做功，但是除重力以外还有静电力做功，故小球在运动过程中机械能不守恒，选项D错误。 4.（2025·北京清华附中质检）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y轴正方向，电场强度大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为＋q的粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，释放后，粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P的纵坐标为h，曲线在P点附近的一小部分，可以看作是半径为2h的圆周上的一小段圆弧，则（　　） A.粒子在y轴方向做匀加速运动 B.粒子在最高点P的速度大小为 C.磁场的磁感应强度大小为 D.磁场的磁感应强度大小为 答案 C 解析：　对粒子受力分析可知，粒子受到洛伦兹力沿y轴方向的分力是变化的，故粒子在y轴方向的合力是变化的，加速度也是变化的，A错误；从O到P，洛伦兹力不做功，由动能定理得qEh＝m，解得vP＝，B错误；粒子经过最高点时，洛伦兹力和静电力的合力提供向心力，即qvPB－qE＝m，联立解得B＝，C正确，D错误。 5.空间中存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的匀强磁场(图中未画出),一质量为m、电荷量为q的带电小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,最高点为a,最低点为b,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　) A.小球带正电,且电场强度E= B.磁场方向垂直纸面向外 C.小球在从a点运动到b点的过程中,电势能增加 D.运动过程突然将磁场反向,小球仍能做匀速圆周运动 答案　ACD 解析　小球在竖直平面内做匀速圆周运动,受到重力、静电力和洛伦兹力作用,静电力与重力平衡,则知小球带正电,且qE=mg,则E=,故A正确;小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由左手定则可知,磁场方向垂直纸面向里,故B错误;小球在从a点运动到b点的过程中,静电力做负功,小球的电势能增大,故C正确;运动过程突然将磁场反向,重力与静电力仍平衡,洛伦兹力反向,小球仍做匀速圆周运动,故D正确。 6.质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区,该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下,恰好沿直线运动到A点,下列说法中正确的是(　　) A.该微粒可能带正电荷 B.微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C.该磁场的磁感应强度大小为 D.该电场的电场强度为 答案　C 解析　微粒沿OA做直线运动,则垂直OA方向上合力一定为零,由于洛伦兹力F=qvB与OA垂直,故微粒做匀速直线运动,B错误; 由平衡条件知,微粒受的洛伦兹力垂直OA斜向左上方,由左手定则可知,微粒带负电,A错误;微粒受力分析如图所示,根据平衡条件得qE=mgtan θ,mg=qvBcos θ,由以上两式解得磁场的磁感应强度大小B=,电场的电场强度E=,C正确,D错误。 7. 地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和匀强磁场,已知磁场方向垂直纸面向里,一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线MN运动,如图所示,由此可以判断(　　) A.油滴一定做匀速运动 B.油滴可以做变速运动 C.如果油滴带正电,它是从N点运动到M点　 D.如果油滴带正电,它是从M点运动到N点　 答案　AD 解析　油滴做直线运动,受重力、静电力和洛伦兹力作用,因为重力和静电力均为恒力,根据油滴做直线运动条件可知,油滴所受洛伦兹力亦为恒力。根据F=qvB可知,油滴必定做匀速直线运动,A正确,B错误;根据做匀速直线运动的条件可知油滴的受力情况如图所示,如果油滴带正电,由左手定则可知,油滴从M点运动到N点,C错误,D正确。 8.(2025·江西景德镇高二期中)如图,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里,三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等,质量分别为ma、mb、mc,已知在该区域内,a在纸面内做匀速圆周运动,b在纸面内向右做匀速直线运动,c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是(　　) A.mb>ma>mc B.mb>mc>ma C.ma>mb>mc D.mc>mb>ma 答案　A 解析　带正电微粒a在纸面内做匀速圆周运动,静电力等于重力,洛伦兹力提供做圆周运动的向心力,则有mag=qE,带正电微粒b在纸面内向右做匀速直线运动,受到竖直向下的重力、竖直向上的静电力和洛伦兹力,有mbg=qE+qvbB,带正电微粒c在纸面内向左做匀速直线运动,受到竖直向下的重力和洛伦兹力、竖直向上的静电力,有mcg=qE-qvcB,则质量关系为mb>ma>mc,故A正确。 9.(2025·陕西宝鸡高二期末)如图所示,一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动,其轨道半径为R,已知电场的电场强度为E,方向竖直向下;磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,不计空气阻力,设重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　) A.液滴带正电 B.液滴受到重力、静电力、洛伦兹力、向心力作用 C.液滴所受合外力为零 D.液滴比荷= 答案　D 解析　液滴在重力场、匀强电场和匀强磁场组成的复合场中做匀速圆周运动,液滴受到的重力和静电力是一对平衡力,故液滴受到的静电力方向竖直向上,与电场方向相反,可知液滴带负电,故A错误;液滴受到重力、静电力、洛伦兹力作用,洛伦兹力提供向心力,液滴所受合外力不为零,故B、C错误;液滴做匀速圆周运动,即mg=qE,解得液滴比荷=,故D正确。 10.(多选)如图所示,空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场,一带电液滴从静止开始自A沿曲线ACB运动,到达B点时,速度为零,C点是运动轨迹最低点,则下列说法中正确的是(　　) A.液滴带正电 B.液滴在C点时速度最大 C.液滴之后会经C点返回A点 D.B点和A点一定等高 答案　BD 解析　带电液滴由静止开始向下运动,说明重力和静电力的合力向下,洛伦兹力指向轨迹内侧,根据左手定则知,液滴带负电,A错误;从A到C的过程中,重力做正功,而静电力做负功,洛伦兹力不做功,但合力仍做正功,动能增大,从C到B的过程中,重力做负功,静电力做正功,洛伦兹力不做功,但合力做负功,动能减小,所以液滴在C点的动能最大,速度最大,B正确;液滴到达B处后,不能再由B点返回A点,C错误;液滴从A点到达B点,动能变化量为零,则重力做功与静电力做功之和为零,重力方向和电场方向的位移始终相同,故B点和A点一定等高,D正确。 11. （2024黑龙江重点高中质检）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A. 入射速度小于v0时，电子在最高点与在最低点速度大小相等 B. 若电子入射速度为，则速度大小为时位置的纵坐标 C. 若将电子变为质量和电量不变的正电荷，入射速度小于v0时，轨迹与图中虚线相同 D. 入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，则能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的80% 【答案】BD 【解析】．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，向上运动到最高点，电场力做正功，电子速度变大，向下运动到最低点，电场力做负功，电子速度变小，电子在最高点与在最低点速度大小不相等，故A错误； 入射速度v0时，电子沿x轴做直线运动则有Ee=ev0B，解得E=v0B，电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，速度大小为时，根据动能定理有，解得，故B正确； 若将电子变为质量和电量不变的正电荷，正电荷向上的洛伦兹力和向下的电场力，力的大小不变，入射速度小于v0时，轨迹与图中虚线关于x轴对称，故C错误； 若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有F合=evmB－eE，在最低点有F合=eE－evB，联立有，，要让电子达纵坐标位置，即y≥y2，解得，则若电子入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的80%，故D正确。 12. （2024海南海口市质检）如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，y轴竖直向上。 第Ⅲ、Ⅳ象限内有垂直于坐标面向里的匀强磁场，第Ⅳ象限同时存在方向平行于y轴的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、带电量为q的小球从x轴上的A点由静止释放，恰好从 P点垂直于y轴进入第Ⅳ象限，然后做圆周运动，从Q 点垂直于x轴进入第Ⅰ象限，Q 点距O 点的距离为d，重力加速度为g。 则（　　） A. 电场强度的大小为 方向沿y轴负半轴 B. 做圆周运动的周期为 C. 从P运动到Q过程中小球电势能减小 D. 磁感应强度大小为 【答案】BC 【解析】小球在第Ⅳ做匀速圆周运动，则电场强度为 解得 结合左手定则可知粒子带正电，则电场强度向上，故A错误； 小球在第三象限运动，只有重力做功，有 小球在第Ⅳ象限做匀速圆周运动，根据几何关系可知 则运动的周期为 故B正确； 小球受电场力做功为 所以从P运动到Q过程中小球电势能减小，故C正确； 小球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 故D错误 13. （2024江苏扬州期末） 如图1所示，在真空中有一光滑水平面xOy，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B；在第四象限存在沿－y轴方向的匀强电场，电场强度为E．质量为m，电荷量为－q的小滑块在xOy平面内从y轴上的P点进入磁场，速度大小为，方向与＋y轴方向成30°角，刚好垂直于x轴进入由两平行挡板构成的狭缝MN中，狭缝足够长，宽度略大于滑块．已知滑块与挡板间动摩擦因数为，从M处离开狭缝时的速度大小为，在运动过程中电荷量保持不变。求： （1）P点的纵坐标y； （2）滑块克服摩擦力所做的功W； （3）在图2中定性画出滑块从进入狭缝到离开狭缝过程的速度—时间图像；并利用此图像计算滑块在此过程中所受电场力的冲量大小I。 【参考答案】（1）；（2）；（3）见解析， 【名师解析】 （1）设滑块在磁场中圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律有 解得 根据几何关系可得 （2）滑块带负电荷，从M点进入狭缝再从M点离开，电场力做功为0；而洛伦兹力不做功。由动能定理可得 解得克服摩擦力做功为 （3）对滑块受力分析，滑块所受摩擦力为 滑块向－y方向运动过程中，根据牛顿第二定律有 做加速度逐渐减小的减速运动。滑块向＋y方向运动过程中，根据牛顿第二定律有 做加速度减小的加速运动，则小球运动的速度—时间图像如图所示 摩擦阻力的大小与粒子速率成正比，故“阻力—时间”图像与“速度—时间”图像相似，速度-时间图像与时间轴所围面积表示位移，滑块进入狭缝到离开狭缝运动的总位移为零。而阻力—时间曲线与时间轴所围的面积表示阻力的冲量，类比可得摩擦阻力的总冲量为零。以＋y方向为正方向，根据动量定理可得，电场力冲量的大小为 14. （2024福建泉州质检2） 如图，在直角坐标系中，y轴竖直，左侧存在一个垂直纸面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场；右侧存在沿x轴负方向的匀强电场，y轴左侧场强大小为右侧的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），从点以某一初速度沿y轴正方向射出，恰好经过原点O且此时速度方向刚好沿x轴负方向，继续运动一段时间后到达点。已知重力加速度大小为g。求： （1）小球从M点运动到原点O过程中的水平加速度大小； （2）y轴左侧电场强度的大小； （3）匀强磁场的磁感应强度大小B。 【参考答案】（1）；（2）；（3） 【名师解析】 （1）设小球从M点运动到点的时间为，水平方向的加速度大小为，则有水平方向 竖直方向 解得 （2）设右侧场强大小为，左侧场强大小为，由牛顿第二定律得 又 解得 （3）小球在轴左侧电场中受到的电场力 方向竖直向上，所以带电小球在磁场中做匀速圆周运动，做出小球的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 则可知 ， 设小球运动半径为，根据几何关系有 设小球经过时的速度大小为，由（1）可知 根据洛伦兹力充当向心力有 联立解得 15. （2024江苏镇江质检）如图所示，自左向右的三个区域依次为竖直向下场强为E的匀强电场、场强为B的垂直纸面向里的匀强磁场以及由这两种场叠加形成的复合场。电场和磁场区域宽度相同均为d，复合场区域的宽度足够大。带电粒子在运动过程中不会离开复合场区。一带正电的粒子向右以一定的初速度由A处进入电场，经电场和磁场的偏转后再水平向右进入复合场区域。不计粒子重力。求： （1）粒子刚进入A处的初速度的大小； （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，请计算粒子刚进入复合场时，相对于A处在竖直方向偏移的距离以及该电荷的比荷； （3）若取粒子刚进入复合场区域时为零时刻，其速度是刚进入A处初速度的两倍，计算该粒子在该场区运动时速度的最小值以及对应的时刻t。 【参考答案】（1）；（2），；（3）， 【名师解析】 （1）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子离开电场时的速度大小为，速度方向相对入射方向偏转的角度为，速度的竖直分量为，在电场中的运动时间为，则有 ，，， 由几何关系可得，粒子在磁场中的转动半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得 联立上述方程可以得到 （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，则有 解得 则粒子在电场中位移与水平方向夹角的正切值为 由几何关系有 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中竖直方向的偏移 所以相对于A处在竖直方向偏移的距离为 粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向上有 又有 联立解得 （3）由于 则有 若粒子刚进入复合场区域时速度是刚进入A处初速度的两倍，利用配速法把其速度分为 可知，粒子在复合场中水平方向以做匀速运动，同时以做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示 由 可得，其对应的旋轮半径为 在最高点速度最小为 对应的时间是摆线的半周期的奇数倍，即 16. (2024年3月福建泉州质检)如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy，y轴竖直向上。一个带正电小球A从O点以速率沿x轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小为g，A受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B； （2）若大量与A相同的小球仍从O点以速率在xOy平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度； （3）若撤去电场，小球仍从O点以某一速率沿y轴正方向射出，恰好不会打到地面。 i.求小球从O点射出时的速率； ii.已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。 【参考答案】（1）；（2）；（3）i.，ii.（n=1，2，3…） 【名师解析】（1）由于小球所受电场力大小等于重力，则有 可知，电场力与重力平衡，小球做匀速圆周运动，则有 根据几何关系有 解得 （2）结合上述可知，当小球在第二象限与y轴正方向夹角射出时，可运动到左侧最远落地点，此时落地与O点连线为轨迹直径，则其水平位移 当小球沿方向射出时，可运动到右侧最远落地点，此时轨迹与地面相切，则其水平位移 则落地点区间的长度为 结合上述解得 （3）i.将小球的运动分解为圆周运动与匀速运动，如图所示 则匀速运动的速度为 圆周运动的速度 圆周运动的半径 根据几何关系有 ， 解得 ii.小球速度达到最小时的位置之间的距离 （n=1，2，3…） 其中周期 解得 17. （2024河北衡水名校协作体期末联考）如图所示，竖直面内的三个区域中分别存在电场和磁场。在区域内匀强电场方向沿轴正方向，在轴右侧分布着相邻的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴正向，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。一质量为、带电量为的油滴从轴上的点无初速释放，到达轴上的点时，速度与轴负方向夹角；到达竖直电场右边界的点时，速度与轴正方向夹角仍为。两点间距离两点的竖直高度差。已知重力加速度取，带电油滴的运动均在真空中。求： （1）水平电场的大小及油滴到达到点时的速度； （2）竖直电场的大小及油滴到达点时的速度； （3）油滴在磁场中运动的速度的最大值。 【参考答案】（1），；（2），；（3） 【名师解析】 （1）由题可知，油滴从P到Q做匀加速直线运动，即 解得 根据可知 （2）由题可知，油滴在电场内做类抛体运动，可将其分解为沿x方向的匀速直线运动和沿y方向的匀加速直线运动，故 ， 到达M点时的速度为 由动能定理可知 代入数据解得 （3）如图所示将速度进行分解 其中 故油滴的运动可分解为沿水平方向的匀速直线运动和一个匀速圆周运动 由余弦定理可得 联立解得 当两速度方向相同时，油滴的速度最大 18 （2025·八省联考晋陕青宁卷）如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求： （1）电场强度的大小和P点距y轴的距离； （2）小球第一次到达最低点时速度的大小； （3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。 答案：（1）　　（2）（1＋）v0　（3） 解析：（1）依题意，小球从P点运动到坐标原点O，速率没有改变，即动能变化为零，由动能定理可知合力做功为零，所以，电场力与重力等大反向，可得qE＝mg 解得E＝ 可知小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图 根据qv0B＝m 解得r＝ 由几何关系，可得xP＝r＋rcos 30° 联立，解得xP＝。 （2）把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x轴负方向成45°的v0，如图 其中沿x轴正方向的v0对应的洛伦兹力恰好与小球重力平衡，即F洛＝qv0B＝mg，小球沿x轴正方向做匀速直线运动， 与x轴负方向成45°的v0对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运动的向心力，可知小球第一次到达最低点时速度的大小为v＝v0＋v0＝（1＋）v0。 （3）由第二问分析可知小球在撤去电场后做匀速圆周运动的分运动轨迹如图所示 由几何关系，可得小球从过坐标原点到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°，则所用时间为t＝T 根据q·v0·B＝m 又T＝ 联立，解得t＝。 19. (2024·贵州卷,14)如图,边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场,ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域,切点为ef的中点,该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动,经cd边的中点进入cdef区域,并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内,粒子始终在该纸面内运动,不计粒子重力。求: (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小; (2)粒子的电荷量与质量之比; (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 答案　(1)　(2)　(3)60° 解析　(1)粒子在cdef区域做匀速直线运动,由平衡条件有qv0B=qE 解得粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小v0=。 (2)由粒子的运动轨迹知,粒子带正电,粒子在cdef区域做匀速直线运动,粒子受力平衡,静电力方向竖直向下,洛伦兹力方向竖直向上,粒子速度方向水平向右,在abcd区域的逆运动为类平抛运动,则 水平方向有L=v0t 竖直方向有=·t2 结合(1)问联立解得粒子的电荷量与质量之比 =。 (3)粒子在圆形区域中,由洛伦兹力提供向心力有 qv0B=m 解得粒子在圆形区域中做圆周运动的轨迹半径r=L 设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为θ,作出粒子在圆形区域的运动轨迹如图所示 由几何关系有tan== 解得θ=60°。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理人教版选择性必修二 第一章 安培力与洛伦兹力 培优专题6 带电粒子在电磁叠加场中的运动 学习目标 1. 知道电磁叠加场的概念。 2. 能分析带电粒子在叠加场中的受力情况和运动情况,能够正确选择物理规律解答问题。 【专题解读】 在同一区域电场、磁场、重力场三场共存或其中某两场共存。 1.三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关；重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd；电场力做功改变带电粒子的电势能 磁场 大小：F＝qvB（v⊥B） 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2.带电粒子在叠加场中常见的运动形式及特点 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 电场力与重力平衡，即qE＝mg，洛伦兹力提供向心力 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律等 3.带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法 能力提升1　带电粒子在电磁叠加场中的运动 【典例1】（2022高考全国甲）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（xOy平面）向里，电场的方向沿y轴正方向.一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动.下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　　） A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 【典例2】（2024黑龙江重点高中3月质检）如图所示，两平行金属板之间有竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B，一带负电的粒子（重力不计）以速度水平向左飞入两板之间，恰能沿直线飞出。下列判断正确的是（ ） A. 粒子一定做匀速直线运动 B. 若只增大粒子速度，其运动轨迹将向下偏转 C. 若只增加粒子的电量，其运动轨迹仍是直线 D. 若粒子以速度从左向右水平飞入，其运动轨迹是抛物线 能力提升2　带电粒子在电磁重力叠加场中的运动 对于微观粒子,如电子、质子、离子等,因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小,可以忽略;而对于一些实际物体,如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 带电粒子在电磁重力叠加场中的常见运动 静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时,将处于静止状态或匀速直线运动状态 匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动 较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线 【典例3】（2025·福建泉州期末）如图，空间中存在沿水平方向且互相垂直的匀强磁场B和匀强电场E，一带电液滴以一定速度沿斜向上的虚线做直线运动，则液滴（　　） A.带负电 B.一定做匀速直线运动 C.可能做匀减速直线运动 D.电势能减小 【典例4】（2024·安徽高考10题）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（　　） A.油滴a带负电，所带电量的大小为 B.油滴a做圆周运动的速度大小为 C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 【典例5】（2025·四川宜宾模拟）如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5 T，还有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E＝2 N/C。在其第一象限空间有沿y轴负方向的、电场强度大小也为E的匀强电场，并在y＞h＝0.4 m的区域有磁感应强度也为B的、垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做匀速直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°），并从原点O进入第一象限。已知重力加速度g＝10 m/s2，求： （1）油滴在第三象限运动时受到的重力、静电力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷； （2）油滴在P点得到的初速度大小； （3）油滴在第一象限运动的时间。 课堂巩固训练 1.（2025·福建福州模拟）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子H）以速度v0自O点沿中轴线射入，恰好沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（所有粒子均不考虑重力的影响）（　　） A.以速度射入的正电子e） B.以速度v0射入的电子e） C.以速度2v0射入的氘核H） D.以速度4v0射入的α粒子He） 2.（2025·四川绵阳模拟）如图所示是利用霍尔效应测量磁场的传感器，由运算芯片LM393和霍尔元件组成，LM393输出的时钟电流（交变电流）经二极管整流后成为恒定电流I从霍尔元件的A端流入，从F端流出。磁感应强度为B的匀强磁场垂直于霍尔元件的工作面水平向左，测得C、D两端间电压为U。已知霍尔元件的载流子为自由电子，单位体积的自由电子数为n，电子的电荷量为e，霍尔元件沿AF方向的长度为d1，沿C、D方向的宽度为d2，沿磁场方向的厚度为h，下列说法正确的是（　　） A.C端的电势高于D端 B.若将匀强磁场的磁感应强度减小，C、D间的电压将增大 C.自由电子的平均速率为v＝ 3.（2025·黑龙江哈尔滨期末）一带电小球在相互垂直的匀强电场、匀强磁场中做匀速圆周运动，匀强电场竖直向上，匀强磁场水平且垂直纸面向里，如图所示，下列说法正确的是（　　） A.沿垂直纸面方向向里看，小球的绕行方向为逆时针方向 B.小球一定带正电且小球的电荷量q＝ C.由于合外力做功等于零，故小球在运动过程中动能不变 D.由于洛伦兹力不做功，故小球在运动过程中机械能守恒 4.（2025·北京清华附中质检）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y轴正方向，电场强度大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为＋q的粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，释放后，粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P的纵坐标为h，曲线在P点附近的一小部分，可以看作是半径为2h的圆周上的一小段圆弧，则（　　） A.粒子在y轴方向做匀加速运动 B.粒子在最高点P的速度大小为 C.磁场的磁感应强度大小为 D.磁场的磁感应强度大小为 5.空间中存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的匀强磁场(图中未画出),一质量为m、电荷量为q的带电小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,最高点为a,最低点为b,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　) A.小球带正电,且电场强度E= B.磁场方向垂直纸面向外 C.小球在从a点运动到b点的过程中,电势能增加 D.运动过程突然将磁场反向,小球仍能做匀速圆周运动 6.质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区,该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下,恰好沿直线运动到A点,下列说法中正确的是(　　) A.该微粒可能带正电荷 B.微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C.该磁场的磁感应强度大小为 D.该电场的电场强度为 7. 地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和匀强磁场,已知磁场方向垂直纸面向里,一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线MN运动,如图所示,由此可以判断(　　) A.油滴一定做匀速运动 B.油滴可以做变速运动 C.如果油滴带正电,它是从N点运动到M点　 D.如果油滴带正电,它是从M点运动到N点　 8.(2025·江西景德镇高二期中)如图,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里,三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等,质量分别为ma、mb、mc,已知在该区域内,a在纸面内做匀速圆周运动,b在纸面内向右做匀速直线运动,c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是(　　) A.mb>ma>mc B.mb>mc>ma C.ma>mb>mc D.mc>mb>ma 9.(2025·陕西宝鸡高二期末)如图所示,一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动,其轨道半径为R,已知电场的电场强度为E,方向竖直向下;磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,不计空气阻力,设重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　) A.液滴带正电 B.液滴受到重力、静电力、洛伦兹力、向心力作用 C.液滴所受合外力为零 D.液滴比荷= 10.(多选)如图所示,空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场,一带电液滴从静止开始自A沿曲线ACB运动,到达B点时,速度为零,C点是运动轨迹最低点,则下列说法中正确的是(　　) A.液滴带正电 B.液滴在C点时速度最大 C.液滴之后会经C点返回A点 D.B点和A点一定等高 11. （2024黑龙江重点高中质检）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A. 入射速度小于v0时，电子在最高点与在最低点速度大小相等 B. 若电子入射速度为，则速度大小为时位置的纵坐标 C. 若将电子变为质量和电量不变的正电荷，入射速度小于v0时，轨迹与图中虚线相同 D. 入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，则能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的80% 12. （2024海南海口市质检）如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，y轴竖直向上。 第Ⅲ、Ⅳ象限内有垂直于坐标面向里的匀强磁场，第Ⅳ象限同时存在方向平行于y轴的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、带电量为q的小球从x轴上的A点由静止释放，恰好从 P点垂直于y轴进入第Ⅳ象限，然后做圆周运动，从Q 点垂直于x轴进入第Ⅰ象限，Q 点距O 点的距离为d，重力加速度为g。 则（　　） A. 电场强度的大小为 方向沿y轴负半轴 B. 做圆周运动的周期为 C. 从P运动到Q过程中小球电势能减小 D. 磁感应强度大小为 13. （2024江苏扬州期末） 如图1所示，在真空中有一光滑水平面xOy，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B；在第四象限存在沿－y轴方向的匀强电场，电场强度为E．质量为m，电荷量为－q的小滑块在xOy平面内从y轴上的P点进入磁场，速度大小为，方向与＋y轴方向成30°角，刚好垂直于x轴进入由两平行挡板构成的狭缝MN中，狭缝足够长，宽度略大于滑块．已知滑块与挡板间动摩擦因数为，从M处离开狭缝时的速度大小为，在运动过程中电荷量保持不变。求： （1）P点的纵坐标y； （2）滑块克服摩擦力所做的功W； （3）在图2中定性画出滑块从进入狭缝到离开狭缝过程的速度—时间图像；并利用此图像计算滑块在此过程中所受电场力的冲量大小I。 14. （2024福建泉州质检2） 如图，在直角坐标系中，y轴竖直，左侧存在一个垂直纸面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场；右侧存在沿x轴负方向的匀强电场，y轴左侧场强大小为右侧的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），从点以某一初速度沿y轴正方向射出，恰好经过原点O且此时速度方向刚好沿x轴负方向，继续运动一段时间后到达点。已知重力加速度大小为g。求： （1）小球从M点运动到原点O过程中的水平加速度大小； （2）y轴左侧电场强度的大小； （3）匀强磁场的磁感应强度大小B。 15. （2024江苏镇江质检）如图所示，自左向右的三个区域依次为竖直向下场强为E的匀强电场、场强为B的垂直纸面向里的匀强磁场以及由这两种场叠加形成的复合场。电场和磁场区域宽度相同均为d，复合场区域的宽度足够大。带电粒子在运动过程中不会离开复合场区。一带正电的粒子向右以一定的初速度由A处进入电场，经电场和磁场的偏转后再水平向右进入复合场区域。不计粒子重力。求： （1）粒子刚进入A处的初速度的大小； （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，请计算粒子刚进入复合场时，相对于A处在竖直方向偏移的距离以及该电荷的比荷； （3）若取粒子刚进入复合场区域时为零时刻，其速度是刚进入A处初速度的两倍，计算该粒子在该场区运动时速度的最小值以及对应的时刻t。 16. (2024年3月福建泉州质检)如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy，y轴竖直向上。一个带正电小球A从O点以速率沿x轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小为g，A受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B； （2）若大量与A相同的小球仍从O点以速率在xOy平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度； （3）若撤去电场，小球仍从O点以某一速率沿y轴正方向射出，恰好不会打到地面。 i.求小球从O点射出时的速率； ii.已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。 17. （2024河北衡水名校协作体期末联考）如图所示，竖直面内的三个区域中分别存在电场和磁场。在区域内匀强电场方向沿轴正方向，在轴右侧分布着相邻的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴正向，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。一质量为、带电量为的油滴从轴上的点无初速释放，到达轴上的点时，速度与轴负方向夹角；到达竖直电场右边界的点时，速度与轴正方向夹角仍为。两点间距离两点的竖直高度差。已知重力加速度取，带电油滴的运动均在真空中。求： （1）水平电场的大小及油滴到达到点时的速度； （2）竖直电场的大小及油滴到达点时的速度； （3）油滴在磁场中运动的速度的最大值。 18 （2025·八省联考晋陕青宁卷）如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求： （1）电场强度的大小和P点距y轴的距离； （2）小球第一次到达最低点时速度的大小； （3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。 19. (2024·贵州卷,14)如图,边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场,ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域,切点为ef的中点,该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动,经cd边的中点进入cdef区域,并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内,粒子始终在该纸面内运动,不计粒子重力。求: (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小; (2)粒子的电荷量与质量之比; (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $