第4单元 长方体（二）（预习讲义）数学五年级下册北师大版

长方体（二） 知识深度解析 体积 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 容积 容器所能容纳物体的体积叫做物体的容积。 长方体的体积 长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 补充 长方体（正方体）的体积=底面积×高 长方体（正方体）的体积=横截面面积×长 反求 长方体的高=体积÷长÷宽 长方体的长=体积÷高÷宽 长方体的宽=体积÷高÷长 不规则物体体积的测量方法 方法一：将不规则物体投入有一定量水的长方体容器中，测量长方体的长和宽以及水位升高了多少，然后把数据代入到长方体的长×宽×水位升高高度中，即得到不规则物体的体积。 方法二：将不规则物体投入装满水的容器中，将溢出的水倒入长方体容器中，测量长方体的长、宽以及水位高度，然后把数据代入到长方体的长×宽×水位高度中，即得到不规则物体的体积。 典例一讲即透 典例1：体积计算 1．求下图长方体的体积。 2．计算下面图形的体积和表面积。    典例2：水中浸物 1．如图，石块的体积是多少立方厘米？   2．如图，将下边铁块放入左边水槽中，水槽中水面上升的高度最多是多少厘米？ 典例3：体积的实际应用 1．淘气家有一个纸巾盒（如下图，单位：厘米）。一包纸巾长22厘米、宽10厘米，体积为2200立方厘米。这包纸巾能装进这个纸巾盒吗？请说明理由。 2．萧清16：40放学到家时，发现家中一个水龙头坏了，正在滴水，他赶紧用一个容量为20升的水盆放在水龙头下接水。如果水龙头每3分钟滴水100毫升，至爸爸19：40下班到家修水龙头时，盆里的水滴满了吗？ 典例4：体积不变问题 1．一个正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成横截面积是9平方厘米的长方体钢材，钢材的长是多少分米？ 2．有一块棱长为4分米的正方体钢坯，现要把它锻造成底面积为40平方分米的长方体钢条。钢条的高是多少分米？ 核心考点特训 一、选择题 1．工人叔叔在装修过程中，为嵌入式烤箱预留空间的大小由烤箱的（    ）决定；烤箱一次能烤多少东西是由（    ）决定。 A．表面积；侧面积 B．体积；容积 C．容积；体积 D．侧面积；容积 2．下列各选项中，与3立方分米不相等的是（    ）。 A．0.003立方米 B．3升 C．3000立方厘米 D．300毫升 3．乐乐将一个铁球完全浸没在一个底面积是50dm2的长方体容器中，水面升高了2dm。这个铁球的体积是（    ）dm3。 A．100 B．52 C．48 D．25 4．活字印刷术是用胶泥做成规格一致的毛坯并在一面刻上反体单字，再涂墨印刷。王叔叔用胶泥做了一个棱长为2cm的正方体毛坯，这个毛坯的表面积和体积分别是（    ）。 A．24cm2；16cm3 B．8cm2；24cm3 C．24cm2；8cm3 D．16cm2；24cm3 5．一个长方体水箱的容积是100L，这个水箱的底面从里面量是一个边长为5dm的正方形，这个水箱高（    ）dm。 A．20 B．4 C．14 D．0.4 6．张老师用一些正方体木块做教具，学校现有长21cm、宽18cm、高12cm的长方体木料，要使木料充分利用（不能有剩余），又要锯成尽可能大的同样的正方体，正方体的体积应是（    ）cm3。 A．64 B．27 C．54 D．96 二、填空题 7．在括号里填上合适的单位： 一张课桌的面积约24( )；一瓶眼药水的容量约10( )。 8．2.08立方米＝( )立方分米；360毫升＝( )升 9．一个长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、2cm，它的棱长总和是( )cm，体积是( )cm3。 10．把沿虚线切成两个正方体，表面积增加了50dm2。这个长方体的体积是( )dm3。 11．一个长方体的体积是160cm3，它的高是5cm，它的底面积是( )cm2。 12．一个长方体容器中装有一些水，把一个马铃薯完全浸没在水中，水满了且没有溢出（如下图），这个马铃薯的体积是( )cm3。 三、判断题 13．现有眼药水8L。若每2mL装1小瓶，则可装4小瓶。( ) 14．36立方厘米比36平方厘米大。( ) 15．用8个或27个相同的小正方体都能拼成一个大正方体。( ) 16．要用小正方体搭成一个更大的正方体，最少需要4个。( ) 17．将一块正方体的橡皮泥捏成长方体，长方体的表面积等于正方体的表面积。( ) 四、计算题 18．计算下面图形的体积。（单位：cm） 19．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 五、解答题 20．一个长方体油桶，从里面量长5分米，宽4分米，高3分米。如果每升汽油重0.72千克，这个油桶最多能装汽油多少千克？ 21．一个长方体木块，长10厘米，宽6厘米，高4厘米。把它切成棱长为2厘米的小正方体，一共能切成多少个小正方体？ 22．王师傅要利用一张长50厘米、宽40厘米的长方形铁皮做一个深10厘米的无盖长方体铁盒，这个长方体铁盒的容积是多少？（不计铁皮的厚度） 23．红领巾小学要建一个长60m、宽40m的长方形操场，先铺10cm厚的三合土，再铺4cm厚的煤渣。需要三合土、煤渣各多少立方米？ 24．一个封闭的长方体容器里面装有一部分水，从里面量长方体的长、宽、高分别是10cm，10cm，15cm。小宇不小心把容器碰倒了，长方体容器由图①变为图②。现在水面的高是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例一讲即透解析 典例1：体积计算 1．求下图长方体的体积。 【答案】2400dm3 【分析】根据长方体的体积V＝abh，代入数据解答即可。 【详解】 （dm3） 长方体的体积为2400dm3。 2．计算下面图形的体积和表面积。    【答案】表面积：320cm2；体积：304cm3 【分析】由于正方体与长方体粘合在一起，所以求表面积时，上面的正方体只求4个侧面的面积，下面的长方体求它的表面积，然后合并起来；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积公式：面积＝棱长×棱长×4，代入数据，即可求出组合体的表面积； 它的体积等于正方体与长方体的体积和；根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高；正方体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】（12×4＋12×5＋4×5）×2＋4×4×4 ＝（48＋60＋20）×2＋16×4 ＝（108＋20）×2＋64 ＝128×2＋＋64 ＝256＋64 ＝320（cm2） 12×4×5＋4×4×4 ＝48×5＋16×4 ＝240＋64 ＝304（cm3） 典例2：水中浸物 1．如图，石块的体积是多少立方厘米？   【答案】4000立方厘米 【分析】石块的体积等于放入石块后水上升的体积，水上升的体积可根据长方体的体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为水上升的高度）计算，这里水上升的高度为放入石块前后水面高度之差。 【详解】40×25×（20－16） ＝40×25×4 ＝4000（立方厘米） 答：石块的体积是4000立方厘米。 2．如图，将下边铁块放入左边水槽中，水槽中水面上升的高度最多是多少厘米？ 【答案】0.3厘米 【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁块的体积，即水面上升的体积，水面上升的体积÷水槽底面积＝水面上升的高度。 【详解】6×2×1÷（8×5） ＝12÷40 ＝0.3（厘米） 答：水槽中水面上升的高度最多是0.3厘米。 典例3：体积的实际应用 1．淘气家有一个纸巾盒（如下图，单位：厘米）。一包纸巾长22厘米、宽10厘米，体积为2200立方厘米。这包纸巾能装进这个纸巾盒吗？请说明理由。 【答案】不能，纸巾盒高度9厘米＜纸巾高度10厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，则长方体的高＝长方体的体积÷长÷宽，根据公式代入数据计算出纸巾的高，并和纸巾盒的高9厘米作比较。如果纸巾盒高度＞纸巾高度，则这包纸巾能装进这个纸巾盒，反之则装不进去。据此列式解答即可。 【详解】2200÷22÷10 ＝100÷10 ＝10（厘米） 纸巾盒高度9厘米＜纸巾高度10厘米，这包纸巾放不进纸巾盒。 答：这包纸巾不能装进这个纸巾盒。 2．萧清16：40放学到家时，发现家中一个水龙头坏了，正在滴水，他赶紧用一个容量为20升的水盆放在水龙头下接水。如果水龙头每3分钟滴水100毫升，至爸爸19：40下班到家修水龙头时，盆里的水滴满了吗？ 【答案】没滴满 【分析】先用19：40减16：40可算出水龙头滴多长时间的水，根据1时＝60分可算出滴水时间的分钟数，再计算这些时间里有多少个3分钟，再乘100毫升即可，最后根据1升＝1000毫升将单位换算成升，对比20升可知是否滴满。 【详解】19：4016：40＝3（小时）     3×60÷3 ＝180÷3 ＝60         100×60＝6000（毫升） 6000毫升＝6升         6＜20         答：盆里的水没滴满。 典例4：体积不变问题 1．一个正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成横截面积是9平方厘米的长方体钢材，钢材的长是多少分米？ 【答案】2400分米 【分析】由题意可知，正方体体积与长方体体积相等，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据先求出正方体体积，也是长方体体积； 再根据长方体的体积＝底面积×高的逆运算，用长方体体积除以横截面积，即可求出钢材的长度。注意单位的换算：1平方分米＝100平方厘米。 【详解】9平方厘米＝0.09平方分米 （分米） 答：钢材的长是2400分米。 2．有一块棱长为4分米的正方体钢坯，现要把它锻造成底面积为40平方分米的长方体钢条。钢条的高是多少分米？ 【答案】1.6分米 【分析】正方体体积公式为V＝a×a×a（a表示棱长）。已知正方体钢坯棱长为4分米，将数据代入公式可得：4×4×4＝64（立方分米）。因为锻造前后体积不变，所以长方体钢条的体积也是64立方分米。长方体体积公式为V＝S×h（S表示底面积，h表示高），则h＝V÷S，已知长方体钢条底面积为40平方分米，体积为64立方分米，把数据代入公式计算即可。 【详解】4×4×4＝64（立方分米） 64÷40＝1.6（分米） 答：钢条的高是1.6分米。 核心考点特训解析 1．B 【分析】预留空间的大小由物体所占空间的大小决定，即体积；烤箱一次能烤多少东西由其内部能容纳物体的体积决定，即容积。 【详解】嵌入式烤箱预留空间的大小需要根据烤箱所占空间的大小确定，即由烤箱的体积决定； 烤箱一次能烤多少东西取决于其内部可容纳物体的体积，即由烤箱的容积决定。 故答案为：B 2．D 【分析】根据进率：1立方米＝1000立方分米，1升＝1立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升；据此把各选项的单位换算成“立方分米”，找出与3立方分米不相等的选项即可。 【详解】A．0.003×1000＝3（立方分米），则0.003立方米＝3立方分米，不符合题意； B．3升＝3立方分米，不符合题意； C．3000÷1000＝3（立方分米），则3000立方厘米＝3立方分米，不符合题意； D．300÷1000＝0.3（立方分米），则300毫升＝0.3立方分米，符合题意。 故答案为：D 3．A 【分析】一个铁球完全浸没在一个底面积是50dm2的长方体容器中，水面升高了2dm，水上升的体积等于铁球的体积；根据长方体的体积＝底面积×高求出水升高的体积，即可求出铁球的体积，据此解答。 【详解】铁球的体积＝水上升的体积：（dm3） 故答案为：A 4．C 【分析】已知正方体的棱长为2cm，根据正方体的表面积公式、正方体的体积公式，即可求出正方体的表面积和体积，据此解答。 【详解】表面积：（cm2） 体积：（cm3） 故答案为：C 5．B 【分析】一个长方体水箱的容积是100L，这个水箱的底面从里面量是一个边长为5dm的正方形，先根据正方形的面积＝边长×边长，求出底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，反推出高＝体积÷底面积，求出水箱的高，据此解答。 【详解】100升＝100立方分米 （分米） 所以这个水箱高4分米。 故答案为：B 6．B 【分析】要使锯成的正方体尽可能大且木料无剩余，正方体的棱长需是长方体木料长、宽、高的公因数，即21、18、12的公因数，最大棱长即为这三个数的最大公因数。求最大公因数可通过列举各数的因数，找出共有的最大因数。 21的因数有：1、3、7、21；18的因数有：1、2、3、6、9、18；12的因数有：1、2、3、4、6、12；因此它们的最大公因数：3，所以正方体的棱长为3厘米，根据正方体的体积公式求出正方体的体积，即立方厘米，据此解答。 【详解】由分析可知，张老师用一些正方体木块做教具，学校现有长21厘米、宽18厘米、高12厘米的长方体木料，要使木料充分利用（不能有剩余），又要锯成尽可能大的同样的正方体，正方体的体积应是27立方厘米。 故答案为：B 7． 平方分米/ 毫升/ 【分析】常用的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米，一个指甲盖的大小大约是1平方厘米，一个手掌的大小大约是1平方分米，一扇窗户的大小大约是1平方米；“升”是较大的容积单位，1大瓶果汁约是1升，可用于测量冰箱容积、水桶容量等，“毫升”是比较小的容积单位，1毫升水大约只有十几滴，可用于测量如药水、饮料容量等。据此解答。 【详解】课桌的面积通常用平方分米来度量，24平方分米符合一张课桌面积的实际大小，所以一张课桌的面积约24平方分米。 眼药水的容量较小，通常用毫升作为单位，10毫升符合一瓶眼药水容量的实际情况，所以一瓶眼药水的容量约10毫升。 8． 2080 0.36 【分析】单位换算的方法：低级单位换算成高级单位除以进率，高级单位换算成低级单位乘进率，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，据此换算单位即可。 【详解】2.08×1000＝2080（立方分米） 360÷1000＝0.36（升） 2.08立方米＝2080立方分米；360毫升＝0.36升。 9． 52 60 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据列式计算即可。 【详解】（6＋5＋2）×4 ＝（11＋2）×4 ＝13×4 ＝52（cm） 6×5×2 ＝30×2 ＝60（cm3） 一个长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、2cm，它的棱长总和是52cm，体积是60cm3。 10．250 【分析】长方体切割后表面积的变化规律，增加的面积为2个切面的面积，正方体棱长与长方体长宽高的关系，长方体体积公式。长方体切成两个正方体，说明长方体的长是宽（高）的2倍，切面是正方体的一个面；利用增加的表面积求出正方体一个面的面积，进而得到正方体棱长；根据长方体长宽高与正方体棱长的关系，计算长方体体积。 【详解】（dm2）， ， （dm） （dm3） 长方体体积是250dm3。 11．32 【分析】长方体的底面积＝体积÷高，根据公式解答。 【详解】（cm2） 一个长方体的体积是160cm3，它的高是5cm，它的底面积是32cm2。 12．360 【分析】观察图形可知，长方体容器的长为15cm，宽为8cm，原来的水位为7cm，放入马铃薯后水满了且没有溢出，则水位上升了10－7＝3cm，再根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【详解】15×8×（10－7） ＝15×8×3 ＝120×3 ＝360（cm3） 则这个马铃薯的体积是360cm3。 13．× 【分析】题干中眼药水总量为8L，每2mL装1小瓶，需要计算实际可装瓶数并与给出的4小瓶比较。根据单位换算，，因此。每小瓶装2mL，可装瓶数为（瓶）。4000瓶不等于4瓶，故说法错误。 【详解】已知眼药水总量为8L。 因为，所以。 每小瓶装2mL，因此可装瓶数为：（瓶）。 题干中说可装4小瓶，但实际可装4000瓶，，所以该说法错误。 故答案为：× 14．× 【分析】体积单位和面积单位属于不同类的量，无法直接比较大小，据此解答。 【详解】由分析可得：立方厘米是体积单位，平方厘米是面积单位，二者属于不同类的量；不同类的量不能直接比较大小。因此，36立方厘米和36平方厘米无法比较，原题说法错误。 故答案为：× 15．√ 【分析】根据正方体的特征可知，拼成大正方体的每条棱上需要有相同数量的小正方体。如每条棱上有2个、3个……小正方体时，则可以拼成一个大正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，求出需要小正方体的个数，据此判断。 【详解】如图： 2×2×2＝8（个） 3×3×3＝27（个） 用8个或27个相同的小正方体都能拼成一个大正方体。 原题说法正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】根据小正方体拼组大正方体的规律，明确大正方体每条棱上最少所需小正方体的数量，进而计算出最少总共需要的小正方体数量。 【详解】正方体有12条棱，且每条棱长度相等，用小正方体拼大正方体时，要保证拼成后的大正方体每条棱长度一致，所以每条棱长上至少需要2个相同的小正方体，根据正方体体积公式V＝（a为棱长），此时大正方体由两个小正方体的棱长组成，此时所需小正方体的总数为个，而非4个。所以要用相同的小正方体搭成更大的正方体，4个小正方体只能拼成长方体，无法构成更大的正方体。 故答案为：×。 17．× 【分析】将正方体橡皮泥捏成长方体时，体积保持不变，但表面积可能发生变化。根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此举例说明即可。 【详解】假设橡皮泥的体积是64立方厘米。 长方体：64＝8×4×2 长方体的长宽高可以是8厘米、4厘米、2厘米。 表面积：（8×4＋8×2＋4×2）×2 ＝（32＋16＋8）×2 ＝56×2 ＝112（平方厘米） 正方体：64＝4×4×4 正方体的棱长是4厘米。 表面积：4×4×6＝96（平方厘米） 112≠96，长方体的表面积不一定等于正方体的表面积，原题说法错误。 故答案为：× 18．120cm3 【分析】从图中可知长方体长是10cm、宽是3cm、高是4cm，长方体体积＝长×宽×高，根据公式计算解答。 【详解】（） 所以该图形的体积是120。 19．表面积：730平方厘米 体积：1000立方厘米 【分析】计算立体图形的表面积时，先按完整大长方体计算表面积，再减去凹槽处两个小正方形面积，加上凹槽处两个小长方形面积； 计算体积时，用大长方体的体积减去凹槽处小长方体的体积，据此解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 20． 43.2千克 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据求出长方体的容积，再根据1升＝1立方分米把单位换算成升，再乘每升汽油的重量即可解答。 【详解】5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×0.72＝43.2（千克） 答：这个油桶最多能装汽油43.2千克。 21．30个 【分析】分析题目，根据长方体和正方体的特征：可以分别用长方体的长、宽、高除以切成的小正方体的棱长即可得到沿着长、宽、高方向分别可以切的个数，再把长、宽、高方向上的数量相乘即可解答。 【详解】（10÷2）×（6÷2）×（4÷2） ＝5×（6÷2）×（4÷2） ＝5×3×（4÷2） ＝5×3×2 ＝15×2 ＝30（个） 答：一共能切成30个小正方体。 22．6000毫升 【分析】由题可知，这个铁盒的高是10厘米，即图中四个被剪去的小正方形的边长为10厘米；根据“长方体铁盒的长＝50－正方形的边长×2、长方体铁盒的宽＝40－正方形的边长×2”计算出长方体的长和宽；再根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算；最后根据“1立方厘米＝1毫升”将体积单位换算成容积单位即可。 【详解】（50－10×2）×（40－10×2）×10 ＝（50－20）×（40－20）×10 ＝30×20×10 ＝6000（立方厘米） 6000立方厘米＝6000毫升 答：这个长方体铁盒的容积是6000毫升。 23．240m3；96m3 【分析】根据1米＝100厘米，统一单位，煤渣和三合土的厚相当于长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出三合土、煤渣的体积即可。 【详解】 三合土：（立方米） 煤渣：（立方米） 答：需要三合土240立方米，需要煤渣96立方米。 24． 6厘米 【分析】根据题意可知，图①中的水深9厘米，此时容器的长是10厘米、宽是10厘米，根据长方体的体积公式，即可求出水的体积；长方体容器由图①变成图②，容器内水的体积不变，此时容器的长是15厘米、宽是10厘米，再根据，求出现在水面的高，据此解答。 【详解】水的体积：（立方厘米） 现在水面的高：（厘米） 答：现在水面的高是6厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $