精品解析：四川南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高二下学期第一次学情调研数学试卷

嘉陵一中高二第一次学情调研数学试卷 一、单选题（每题5分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 3. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数b的值为（ ） A. B. C. 2 D. 18 4. “”是直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（ ） A. 该组数据的平均数为7，众数为 B. 该组数据的第60百分位数为6 C. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分方差变小 6. 一个口袋中装有大小形状相同的个红球和个白球，现从中不放回地依次取出两个小球，记事件“第一次取出红球”，事件“第二次取出红球”，事件“两次取出颜色相同的小球”，事件“两次取出颜色不同的小球”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 7. 与圆及圆都内切的动圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 已知两椭圆和，则（ ） A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 两椭圆有4个公共点 D. 两椭圆有相同对称轴和对称中心 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若向量和向量都是单位向量，则 B. 若向量与向量的夹角为钝角，则 C. 若四点共面，对空间中任意一点，有，则 D. 若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 11. 在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（    ） A. 轨迹的方程 （） B. 存在点使得 C. 点，则的最小值为 D. 斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为 三、填空题（每题5分） 12. 过，两点的直线的倾斜角为________. 13. 已知向量，,则___________． 14. 已知椭圆T：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过椭圆T的右焦点且斜率不为零的一条直线交椭圆T于M，N两点，若两直线和的斜率分别为，则的最小值为______． 四、解答题 15. 2023年中国田协召开了2023路跑工作会议，会议对《2022年中国田径协会路跑管理文件汇编》进行了修订.新版在年龄组别上调整为8个：34岁以下组、35-39岁组、40-44岁组、45-49岁组、50-54岁组、55-59岁组、60-64岁组、65岁以上组.现抽取了1000名年龄在35-64岁的参赛人员，得到各年龄段人数的频率分布直方图如下： （1）求图中的值，并估计这1000人年龄的中位数； （2）用分层抽样的方法从年龄在内的人数中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这两人中至少一人的年龄在中的概率. 16. 已知等差数列前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：． 17. 已知圆C关于y轴对称且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 18. 在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知椭圆，抛物线：，点是与一个交点，过点的直线与分别交于点B，M（B，M不同于点）． （1）若点的横坐标为1，求的方程； （2）若过的右焦点，坐标原点关于的对称点为，求四边形面积取得最大值时的的方程； （3）若存在不过原点的使得，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉陵一中高二第一次学情调研数学试卷 一、单选题（每题5分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴正半轴上，从而可求得准线方程. 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 2. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 故圆的半径为2. 故选：B. 3. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数b的值为（ ） A B. C. 2 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先求出渐近线的方程，再由直线方程与一条渐近线垂直结合直线方程、渐近线方程的结构特征明确垂直相关的渐近线，再由两直线垂直的表示方法即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 直线即与双曲线的一条渐近线垂直， 则直线与渐近线垂直， 所以. 4. “”是直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 当时，两直线为和直线，平行，符合； 当时，两直线为和直线， 则， 综上，直线与直线平行的充要条件是. 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A 5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（ ） A. 该组数据的平均数为7，众数为 B. 该组数据的第60百分位数为6 C. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 【答案】D 【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数，众数，中位数，方差定义计算可得. 【详解】选项A,这组数据从小到大排列为， 故平均数为， 众数为和，中位数为，故A错误； 选项B，，则第百分位数为，故B错误； 选项C：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故C错误； 选项D，方差为， 如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7， 此时的方差为，故D正确. 6. 一个口袋中装有大小形状相同的个红球和个白球，现从中不放回地依次取出两个小球，记事件“第一次取出红球”，事件“第二次取出红球”，事件“两次取出颜色相同的小球”，事件“两次取出颜色不同的小球”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件，互斥事件的定义进行判断，运用古典概型的概率计算即可. 【详解】设红球为，白球为，不放回取两次，所以可能的样本点为 共个， 对于选项A，事件包含的样本点为， 事件包含的样本点为， 包含的样本点为，两者可同时发生，不互斥，故A错误； 对于选项B，， 事件包含的样本点为共 个，， 表示第一次取红球且两次不同色有，所以. 因为，所以不独立，故B错误； 对于选项C，事件的样本点为，，的样本点为， ，则，故C正确； 对于选项D，表示两次不同色且第二次取红球的概率，满足的样本点为， 所以，，则，故D错误. 故选：C 7. 与圆及圆都内切的动圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都内切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案. 【详解】设所求圆的半径为，圆心为， 圆：的圆心，半径， 圆化为标准方程得，则圆心，半径， 因为，所以两圆内含， 因为该动圆与两圆都内切，易知， 由题意可得，两式相加得， 所以圆心在椭圆上. 故选：A. 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线l的方程得到直线l恒过定点，根据曲线C的方程曲线C表示半圆，然后结合图形求k的范围即可. 【详解】直线l恒过定点， 曲线C的方程可整理为， 所以曲线C表示以为圆心，半径为2的半圆，图象如下所示： ，为两种临界情况，由题意得，则， 令圆心到直线l的距离，解得，则， 所以当时，直线l与曲线C有两个不同的交点. 故选：D. 二、多选题（每题6分） 9. 已知两椭圆和，则（ ） A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 两椭圆有4个公共点 D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】化为标准方程，求出焦点，离心率，公共点依次分析选项即可 【详解】设椭圆，则； 设椭圆，则． 对于A，椭圆的焦点分别在x，y轴上．故A不正确； 对于B，的离心率的离心率．故B正确； 对于C，联立，解得，所以与有2个公共点．故C不正确； 对于D，两椭圆都关于x，y轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心，故D正确. 故选：BD 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若向量和向量都是单位向量，则 B. 若向量与向量的夹角为钝角，则 C. 若四点共面，对空间中任意一点，有，则 D. 若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据单位向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，根据空间共面定理的推论判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量和向量都是单位向量，所以模相等，但是方向不一定相同，因此与不一定相等，故A错误； 对于B，若、的夹角为钝角，显然向量和向量都不是零向量， 则为负数，因此，故B正确； 对于C，由四点共面，且，所以， 解得，故C正确； 对于D，因为，， 所以，， 所以向量在向量方向上的投影向量为，故D正确． 故选：BCD． 11. 在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（    ） A. 轨迹的方程 （） B. 存在点使得 C. 点，则的最小值为 D. 斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程可判断A； 根据圆的直径所对圆周角为判断B；由椭圆的定义表示出，再利用三点共线取出最值可判断C；设，则由题意可得，两式相减化简结合斜率公式可求判断D. 【详解】对于A，由已知设点的坐标为，由题意知 ， 化简得点的轨迹方程为，故A正确； 对于B，由椭圆方程知，，，， 若，则点在以线段为直径圆上， 以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆外， 所以椭圆上不存在满足，B错误； 对于C，由设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义为， 所以，所以， 当且仅当为的延长线与椭圆的交点时，等号成立.故C错误. 对于D，设，因为点为的中点， 所以设，因为在椭圆上， 所以，两式相减得， ，即， 所以，所以， 则直线的斜率为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（每题5分） 12. 过，两点的直线的倾斜角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】设该直线的倾斜角为，易知， 由题意知，即； 可得. 故答案为： 13. 已知向量，,则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知椭圆T：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过椭圆T的右焦点且斜率不为零的一条直线交椭圆T于M，N两点，若两直线和的斜率分别为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线，，直线的斜率为，联立椭圆得，进而可得，，，，再代入计算最值即可． 【详解】设直线，， 联立椭圆方程， 可得， ， 设直线的斜率为， 则， 又， 所以， 又椭圆离心率，所以， 故， 所以，由二次函数性质易知最小值为， 当且仅当时取到． 故答案为：． 四、解答题 15. 2023年中国田协召开了2023路跑工作会议，会议对《2022年中国田径协会路跑管理文件汇编》进行了修订.新版在年龄组别上调整为8个：34岁以下组、35-39岁组、40-44岁组、45-49岁组、50-54岁组、55-59岁组、60-64岁组、65岁以上组.现抽取了1000名年龄在35-64岁的参赛人员，得到各年龄段人数的频率分布直方图如下： （1）求图中的值，并估计这1000人年龄的中位数； （2）用分层抽样的方法从年龄在内的人数中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这两人中至少一人的年龄在中的概率. 【答案】（1），中位数为46.5 （2） 【解析】 【分析】（1）由概率之和为1计算即可得，借助中位数的性质计算即可得中位数； （2）由分层抽样可确定两组的具体人数，再计算概率即可得. 【小问1详解】 由题可得， ∴， ∵的频率为， 的频率为， ∴中位数在之间，设中位数为，则， ∴，即中位数为46.5. 【小问2详解】 ∵的频率为，的频率为， ∴这两组的频率之比为， ∴抽取的人数为：（人），记为，，， 抽取的人数为：（人），记为，， 则5人中抽取2人的基本事件包含： 、，共10种， 其中至少1人在的基本事件包含： ，共有7种 ∴这两人中至少1人的年龄在中的概率为. 16. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）利用基本量计算即可； （2）利用裂项相消法求和得到即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以； 【小问2详解】 ， 所以， 因为，所以， 所以. 17. 已知圆C关于y轴对称且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解； （2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【小问1详解】 由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心； ∴设圆的标准方程为， 则解得： 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ∵ ∴圆心C到直线l的距离为； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即 则圆心C到直线l的距离， 解得 此时直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或． 18. 在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解； （3）根据点到平面距离的向量求法求解 . 【小问1详解】 取棱的中点，连接. 因为为的中点，所以∥，且. 因为，且，所以∥. 所以四边形平行四边形，所以∥. 因为平面，平面 所以平面； 【小问2详解】 因为底面是边长为2的正方形，平面， 所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题可知，. 则. 所以. 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）得. 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为. 19. 已知椭圆，抛物线：，点是与的一个交点，过点的直线与分别交于点B，M（B，M不同于点）． （1）若点的横坐标为1，求的方程； （2）若过的右焦点，坐标原点关于的对称点为，求四边形面积取得最大值时的的方程； （3）若存在不过原点的使得，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的方程； （2）设与椭圆的方程联立的表达式，利用基本不等式得到最大值时成立条件得到的方程； （3）点在线段中的位置在与轴不垂直时，与椭圆方程联立点M的坐标p的表达式的表达式的最大值． 【小问1详解】 设，因为点在上，所以，解得， 又因为点在上，所以，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 椭圆，所以右焦点为，显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得，， ， 设，则， 所以， 又坐标原点关于的对称点为， 所以， 当且仅当时取等号， 所以四边形面积取得最大值时的的方程为． 【小问3详解】 因为存在不过原点的使得， 所以，所以点为线段的中点，如图． 当与轴垂直时，点与点重合，不满足题意． 当的斜率存在时，设的方程为， 由消去可得， 则，即，， 所以，则． 因为点在上，所以． 由解得， 代入的方程得， 解得，而， 所以， 因此，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $