8.4整式乘法（二）：乘法公式 导学案2025－2026学年苏科版数学七年级下册

宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来! 初中数学辅导教案 学生姓名 年 级 学 校 上课时间 课 时 数 学习课题 整式乘法(二)——乘法公式 学习目标 1、 能正确识别完全平方式和平方差公式的特征与构成要素。 2、 能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算。 3、 能正确利用乘法公式公式求代数式的值。 4、 学习用配方法求最值。 教学内容 知识点一、完全平方公式 1、完全平方公式 (1)完全平方公式:两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍。 可巧记为:“首平方,末平方,首末两倍中间放”。 (2) 完全平方公式有以下几个特征: ①左边是两个数的和的平方; ②右边是一个三项式,其中首末两项分别是两项的平方,都为正,中间一项是两项积的2倍,其符号与左边的运算符号相同。 (3) 应用完全平方公式时,要注意: ①公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式。 ②对形如两数和(或差)的平方的计算,都可以用这个公式。 ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后,也可以用完全平方公式。 2、完全平方公式的几何背景 (1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程,通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释。 (2)常见验证完全平方公式的几何图形 ①完全平方和公式: ②完全平方差公式: 3、完全平方公式常见变形 (1) (2) (3) 4、补充公式 (1) (2) (3) (4) (5) 例: 1、已知,则值是_. 2、若a+b=3,ab=2,则a-b=_. 3、小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是4x2+ +25y2,但中间一项不慎被污染了,这一项应是 。 4、已知,,则的值等于 。 5、9月25日8时44分,中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域,成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹,准确落入预定海域。某校的一个数学兴趣小组看到新闻后,产生浓厚的兴趣,参加了学校科技节比赛,制作了如图1所示航天火箭模型,为了向全校同学宣传自己的科技作品,用KT板制作了如图2所示的宣传版画,它是由一个三角形,两个梯形组成,已知KT板(阴影部分)的尺寸如图2所示。 (1)用含a、b的代数式表示图2的KT板模型的总面积 (结果需化简); (2)若a + b = 7,ab =,求KT板总面积。 6、阅读材料:如果一个数的平方等于-1,记为i =-1,这个数i叫做虚数单位,那么形如a +bi ( ,b为实数)的数 就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它有如下特点: ①它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似,例如计算: (2+i )+(3-4i )=(2+3)+(1-4)i =5-3i;(3+i ) i = 3i + i =3i-1. ②若两个复数,它们的实部和虚部分别相等,则称这两个复数相等;若它们的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数共轭;如1+ 2i的共轭复数为1-2i. (1)填空:①(2+i)(2-i) = ;②(2+i)2= ; (2)若a +bi是(1+2i)2的共轭复数,求(b-a)2的值。 知识点二、平方差公式 1、平方差公式 (1)平方差公式:两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差。 (2)应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题: ①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。 ②右边是相同项的平方减去相反项的平方。 ③公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式。 ④对形如两数和与这两数差相乘的算式,都可以运用这个公式计算,且会比用多项式乘以多项式法则简便。 2、平方差公式的几何背景 (1)常见验证平方差公式的几何图形(利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式)。 (2)运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程,通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释。 3、平方差公式常见的变式有以下类型: (1)位置变化:如 (2)系数变化:如 (3)指数变化:如 (4)符号变化:如 (5)增项变化:如 (6)增因式变化:如 例: 1、若,则 ( ) A. 3 B. 6 C. 3 D. 6 2、(2024 江苏无锡江阴期中)数形结合是数学解题中常用的思想方法,可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。在学习整式运算乘法公式的过程中,每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证.如图图形中能验证的是( ) A. B. C. D. 3、某小区有一正方形草坪ABCD如图所示,小区物业现对该草坪进行改造,将该正方形草坪AB边方向的长度增加4米,AD边方向的长度减少4米,则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比( ) A.增加8平方米 B.增加16平方米 C.减少16平方米 D.保持不变 4、已知,且,则 . 5、如图,大正方形与小正方形的面积之差是80,则阴影部分的面积是 . 6、比较大小:2024 2026与2022 2028 7、计算:(1) (2) 8、观察下列算式,完成问题: 算式①:42 - 22= 12 = 4 3, 算式②:62 - 42= 20 = 4 5, 算式③:82 - 62= 28 = 4 7, 算式④:102 - 82= 36 = 4 9, …… (1) 按照以上四个算式的规律,请写出算式⑤: ; (2) 上述算式用文字表示为:“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”,请证明上述命题成立。 知识点三、乘法公式及其综合运用 、 通常叫作乘法公式。在计算时可以直接使用。 例: 1、为了运用平方差公式计算,下列变形正确的是 ( ) A. B. C. D. 2、如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形,把余下的部分拼成一个长方形 (无重叠部分),通 过计算两个图形中阴影部分的面积,可以验证的一个等式是 ( ) A. B. C. D. 3、若,则代数式的值是 . 4、利用乘法公式进行简便运算 (1)972 (2)100.22 - 99.82 (3) 5、先化简,再求值:,其中. 6、如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上,四边形EFGB也是正方形,它的边长为b(a>b),连接AF、CF、AC. (1)用含a,b的代数式表示GC= . (2)若两个正方形的面积之和为60,即,且,求图中线段 GC的长。 (3)若a=8, AFC的面积为S,则S= . 7、【阅读理解】若x满足(32 - x) (x - 12) = 100,求(32 - x) 2+ (x - 12) 2的值。 解:设32 - x = a,x - 12 = b, 则(32 - x) (x - 12) = ab = 100,a + b = (32 - x) + (x - 12) = 20, (32 - x) 2 + (x - 12)2= a2+b2= (a + b) 2- 2ab = 202- 2 100 = 200。 我们把这种方法叫做换元法。利用换元法达到简化方程的目的,体现了转化的数学思想。 【解决问题】 (1)若x满足 (100 - x) (x - 95) = 5,则 (100 - x) 2+ (x - 95) 2 = ; (2)若x满足(2023 - x) 2+ (x - 2000) 2= 229,求(2023 - x) (x - 2000)的值; (3) 如图,在长方形ABCD中,AB = 24cm,点E,F是边BC,CD上的点,EC =12cm,且BE= DF= x cm,分别以FC,CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN,若长方形CBQF的面积为320cm2,求图中阴影部分的面积和。 8、如图①,美丽的弦图,蕴含着四个完全重合的直角三角形。 (1)①弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边长为c,大正方形的面积为 ,小正方形的面积为 ,直角三角形的面积为 。 ②请结合大正方形,小正方形,直角三角形的面积关系,写出a,b,c三者的数量关系 (化为最简形式)。 (2)如图②,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知直角三角形斜边长为5,OC=3,求该飞镖状图案的面积; (3)如图③,在图①的基础上再拼接上四个完全重合的直角三角形,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=16,则S2 = 。 知识点四、用配方法求最值 1、配方法:是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。 2、解决方法:加上一次项系数一半的平方。 3、通常结合非负数的意义来解决问题。 例: 1、【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法。它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题。我们定义:一个整数能表示成(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”。例如,5是“完美数”。理由:因为5=22+1 ,所以5是“完美数”。 【解决问题】 (1)数53 “完美数”(填“是”或“不是”); 【探究问题】 (2) 已知,则x + y = ; (3) 已知(x,y是整数,k是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的k值,并说明理由; 【拓展结论】 (4)已知实数x,y满足,求的最大值。 2、阅读材料:若,求m,n的值。 解:∵, ∴ , ∴, ∴,, ∴ n = 4,m = 4. 根据你的观察,探究下面的问题: (1)已知,则a = ,b = ; (2)已知 ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足,求c的值; (3) 若,,试比较A与B的大小关系,并说明理由。 参考答案: 知识点一、完全平方公式 1、 已知,则值是14. 2、若a+b=3,ab=2,则a-b= 1 . 3、小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是4x2+ +25y2,但中间一项不慎被污染了,这一项应是 20xy. 4、已知,,则的值等于 。(利用3个完全平方公式) 5、9月25日8时44分,中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域,成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹,准确落入预定海域。某校的一个数学兴趣小组看到新闻后,产生浓厚的兴趣,参加了学校科技节比赛,制作了如图1所示航天火箭模型,为了向全校同学宣传自己的科技作品,用KT板制作了如图2所示的宣传版画,它是由一个三角形,两个梯形组成,已知KT板(阴影部分)的尺寸如图2所示。 (1) 用含a、b的代数式表示图2的KT板模型的总面积 (结果需化简); (2)若a + b = 7,ab =,求KT板总面积。 解:(1)总面积为: (2) , ∴KT板模型的总面积为 6、阅读材料:如果一个数的平方等于-1,记为i =-1,这个数i叫做虚数单位,那么形如a +bi ( ,b为实数)的数 就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它有如下特点:①它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似,例如计算:(2+i )+(3-4i )=(2+3)+(1-4)i =5-3i;(3+i ) i = 3i + i =3i-1. ②若两个复数,它们的实部和虚部分别相等,则称这两个复数相等;若它们的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数共轭;如1+ 2i的共轭复数为1-2i. (1) 填空:①(2+i)(2-i) = 5 ;②(2+i)2= 3+4i; (2) 若a +bi是(1+2i)2的共轭复数,求(b-a)2的值。 解:(2),又是的共轭复数, 知识点二、平方差公式 1、 若,则( B ) A. 3 B. 6 C. 3 D. 6 2、(2024 江苏无锡江阴期中)数形结合是数学解题中常用的思想方法,可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。在学习整式运算乘法公式的过程中,每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证.如图图形中能验证的是( A ) A. B. C. D. 3、某小区有一正方形草坪ABCD如图所示,小区物业现对该草坪进行改造,将该正方形草坪AB边方向的长度增加4米,AD边方向的长度减少4米,则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比( C ) A.增加8平方米 B.增加16平方米 C.减少16平方米 D.保持不变 4、已知,且,则 -6 . 5、如图,大正方形与小正方形的面积之差是80,则阴影部分的面积是 40 . 6、比较大小:2024 2026与2022 2028 解:2024 2026>2022 2028 7、计算:(1)=4x+10 (2)=12xy-18y2 8、 观察下列算式,完成问题: 算式①:42 - 22= 12 = 4 3, 算式②:62 - 42= 20 = 4 5, 算式③:82 - 62= 28 = 4 算式④:102 - 82= 36 = 4 9, …… (1) 按照以上四个算式的规律,请写出算式⑤: 122-102=44=4 11; (2) 上述算式用文字表示为:“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”,请证明上述命题成立。 解:(2) 证明:设两个连续偶数分别为2m和2m + 2,则 (2m + 2) 2 - (2m) 2 = 4(2m + 1), ∵ 2m + 1是奇数, ∴“任意两个连续偶数的平方差都是 4 的奇数倍”成立. 知识点三、乘法公式 1、为了运用平方差公式计算,下列变形正确的是 (C ) A. B. C. D. 2、如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形,把余下的部分拼成一个长方形 (无重叠部分),通 过计算两个图形中阴影部分的面积,可以验证的一个等式是 ( A ) A. B. C. D. 3、若,则代数式的值是 3 . 4、利用乘法公式进行简便运算 (1)972 =9409 (2)100.22 - 99.82 =80 (3)=232-1 5、先化简,再求值:,其中. 解:原式=4-6a=2 6、如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上,四边形EFGB也是正方形,它的边长为b(a>b),连接AF、CF、AC. (1)用含a,b的代数式表示GC= a+b . (2)若两个正方形的面积之和为60,即,且,求图中线段 GC的长。10 (3)若a=8, AFC的面积为S,则S= 32 . 解:(2),又∵,∴,即GC=10 7、【阅读理解】若x满足(32 - x) (x - 12) = 100,求(32 - x) 2+ (x - 12) 2的值。 解:设32 - x = a,x - 12 = b,则(32 - x) (x - 12) = ab = 100,a + b = (32 - x) + (x - 12) = 20,(32 - x) 2 + (x - 12)2= a2+b2= (a + b) 2- 2ab = 202- 2 100 = 200。 我们把这种方法叫做换元法。利用换元法达到简化方程的目的,体现了转化的数学思想。 【解决问题】(1)若x满足 (100 - x) (x - 95) = 5,则 (100 - x) 2+ (x - 95) 2 = 15 ; (2)若x满足(2023 - x) 2+ (x - 2000) 2= 229,求(2023 - x) (x - 2000)的值; (3) 如图,在长方形ABCD中,AB = 24cm,点E,F是边BC,CD上的点,EC =12cm,且BE= DF= x cm,分别以FC,CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN,若长方形CBQF的面积为320cm2,求图中阴影部分的面积和。 解:(2)设,,则,而, ,, 即 (3)由题意得:CF=CD-DF=24-x,BC=CE+BE=x+12,设CF=a,BC=b, ,∵长方形CBQF的面积是,, ∴图中阴影部分的面积和 8、如图①,美丽的弦图,蕴含着四个完全重合的直角三角形。 (1)①弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边长为c,大正方形的面积为 c2 ,小正方形的面积为 (a-b)2 ,直角三角形的面积为 2ab 。 ②请结合大正方形,小正方形,直角三角形的面积关系,写出a,b,c三者的数量关系 a2 +b2=c2 (化为最简形式)。 (2)如图②,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知直角三角形斜边长为5,OC=3,求该飞镖状图案的面积;24 (3)如图③,在图①的基础上再拼接上四个完全重合的直角三角形,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=16,则S2 = 。 知识点四、用配方法求最值 1、 【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法。它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题。我们定义:一个整数能表示成(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”。例如,5是“完美数”。理由:因为5=22+1 ,所以5是“完美数”。【解决问题】 (1)数53 是“完美数”(填“是”或“不是”);(53= 22 + 72.) 【探究问题】(2)已知,则x + y = 1 ; (3)已知(x,y是整数,k是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的k值,并说明理由; 【拓展结论】(4)已知实数x,y满足,求的最大值。 解:(2)已知等式变形得:,即 解得: 则 所以答案是1。 (3) 当k=36时,S为“完美数”,理由如下: ∵S是完美数 ∴是完全平方式 ∴k=36 (4) ∵ ∴,即 ∴当x=2时,x-2y最大,最大值为2 2、阅读材料:若,求m,n的值。解:∵,∴ ,∴,∴,, ∴ n = 4,m = 4. 根据你的观察,探究下面的问题: (1)已知,则a = 6 ,b = -3 ; (2) 已知 ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足,求c的值; (3) 若,,试比较A与B的大小关系,并说明理由。 解:(2) ∴, 解得: ∵a,b,c是 ABC的三边长, ∴ ∵c是正整数 ∴c=2 (3)A>B,理由如下 Yanln5 学科网(北京)股份有限公司 $